解本銘，王 磊

（中國民航大學，天津 300300）

0 引言

插補計算是實現(xiàn)并聯(lián)機床刀具高速、高精度軌跡控制的關(guān)鍵技術(shù)。在數(shù)控加工中，數(shù)控系統(tǒng)要解決控制刀具與工件運動軌跡的問題，在規(guī)定路徑上根據(jù)某一數(shù)學函數(shù)確定已知兩點間多個中間點坐標。插補的實質(zhì)其實是根據(jù)有限信息完成“數(shù)據(jù)密化”的工作[1]。

數(shù)控加工程序提供了刀具運動的起點、終點和運動軌跡，具體到刀具如何從起點沿運動軌跡走到終點則由數(shù)控系統(tǒng)的插補裝置來控制。原則上講，刀具運動軌跡應(yīng)該準確的按零件的輪廓形狀生成。但是，由于對于復(fù)雜的曲線輪廓，直接計算刀具運動軌跡非常復(fù)雜，計算工作量很大，不能滿足數(shù)控加工的實時控制要求。因此，在實際應(yīng)用中，是用一小段直線或圓弧去逼近零件輪廓曲線，即直線和圓弧插補。對于大多數(shù)數(shù)控系統(tǒng)來說，都具有直線和圓弧插補功能，只有在一些較高檔次的數(shù)控系統(tǒng)才具有拋物線、螺旋線插補功能[2]。本課題所需打磨的零件輪廓可以近似等效為直線與圓弧的組合，因此，如何設(shè)計直線和圓弧的插補算法是本系統(tǒng)的主要任務(wù)。

1 插補算法的選擇

插補方法常見的有脈沖增量插補和數(shù)據(jù)采樣插補兩大類。脈沖增量插補法適用于以步進電機為驅(qū)動裝置的開環(huán)數(shù)控系統(tǒng)。它僅僅適用于中等精度和中等速度、以步進電機為執(zhí)行機構(gòu)的機床數(shù)控系統(tǒng)。數(shù)據(jù)采樣插補方法適用于閉環(huán)和半閉環(huán)以直流或交流伺服電機為執(zhí)行機構(gòu)的數(shù)控系統(tǒng)。本系統(tǒng)打磨機采用了半閉環(huán)的交流伺服電機作為執(zhí)行機構(gòu)，在插補算法選擇中選擇數(shù)據(jù)采樣插補。時間分割插補法作為典型的數(shù)據(jù)采樣插補方法，它每次插補一小段直線，各坐標同時進給，具有更高的軌跡控制精度[3]。本系統(tǒng)要實現(xiàn)三軸聯(lián)動直線插補和圓弧插補的半閉環(huán)伺服控制功能，采用時間分割法，對插補過程進行分析研究，為后續(xù)軟件實現(xiàn)做好鋪墊。

2 時間分割直線插補算法的基本原理

設(shè)工件或刀具在三維空間中作直線運動，如圖1所示。 假設(shè)直線段的起點坐標為 Ps（Xs，Ys，Zs）， 終點坐標為Pe（Xe，Ye，Ze）， Pi（Xi，Yi，Zi）為一瞬時插補點， 插補周期為 t(ms)，采樣周期與插補周期相同，進給速度為v(mm/min)。

圖1 插補直線段

圖2 直線插補終點判別原理

程 序 段 在 各 坐 標 軸 的 單 位 分 量 為 ：X'=｜x2-x1｜/L，Y'=｜Y2-Y1｜/L，Z'=｜Z2-Z1｜/L。 在一個插補周期內(nèi)刀具在各坐標方向的進給為：X=s*X'，Y=s*Y'， Z=s*Z'。

在插補過程中，各坐標進給量是不變的，因此只需插補開始一次離線計算，插補過程中無需重復(fù)計算，之后每進行一次插補計算，輸出下一組插補點坐標并進行終點的判別。

直線插補的終點判別：直線插補的終點判別原理如圖2 所示。 已知插補起始點為 P0（x0,y0），終點為 Pe（xe,ye），中間瞬時插補點為Pi（xi,yi），OXY坐標系為直線插補參考坐標系。以插補起始點為原點建立輔助坐標系O'X'Y'，設(shè)Sx，Sy為終點判別參數(shù)。它們的取值取決于終點在輔助坐標系中的位置。

直線插補終點判別條件為：

如果式（1）成立，則表明插補點在X上的坐標超過了插補終點的坐標，因此，X軸的進給量應(yīng)該改為xe-xi-1；同理，如果式（2）成立，則Y軸的進給應(yīng)改為ye-yi-1。

直線插補終點判別方法中，Sx和Sy在插補開始前就已經(jīng)離線計算好，只需實時計算終點判別條件是否成立。

3 時間分割圓弧插補算法

圓弧插補的思想是在滿足精度要求的前提下，用弦或割線、切線代替圓弧進給，時間分割法采用的是用弦線代替圓弧進給。實際上也是用直線逼近圓弧，重要的是計算出下一個插補點的坐標和進給量。

圖3 時間分割圓弧插補原理

如圖3所示，圓上Pi，Pi+1是插補中第一象限相鄰兩點，在一次插補周期內(nèi)進給量PiPi+1即為進給步長。PiP是圓弧在Pi點的切線，M是弦PiPi+1的中點，OM⊥PiPi+1,ME⊥PiF，E為AF的中點。

因為 OPi⊥PiP， 所以有△PiOC～△PPiF， 則：

因為PiP為切線，所以：

計算tanα很困難。為此，用cos45°和sin45°來代替cosα和sinα。上式可改為：

因為Pi點的坐標值已知，若想求Pi+1點的坐標可通過求X軸的進給量：

又因為Pi，Pi+1是圓弧上兩點，所以滿足圓的方程式：

由此可以得出下一個插補點Pi+1的坐標為：

以上是以第一象限順時針插補計算得到的進給公式，其它象限推導(dǎo)過程同理。

圓弧插補終點判別：終點判斷是保證插補運動能順利實現(xiàn)的重要因素。在圓弧插補的過程中，終點判斷失效可能導(dǎo)致插補進入死循環(huán)。因此，終點判斷方法的合理設(shè)計直接關(guān)系到圓弧插補程序的可靠性。

現(xiàn)令已知圓弧插補起、終點坐標及I，K參數(shù)，由此得到圓弧圓心坐標為 xo=xs+I，yo=ys+J，（xs，ys）為輔助坐標系O'X'Y'的原點在坐標系OXY中的坐標值。設(shè)兩個終點判別參數(shù)Sx，Sy。

（1）順圓插補時，Sx，Sy的表達式為：

（2）逆圓插補時，Sx，Sy的表達式為：

其中，sgn（*）表示符號函數(shù)，定義：

設(shè)變量Psx與Psy用來判別插補點是否與插補終點處于輔助坐標系O'X'Y'中所定義象限的同一象限，定義為：

順圓插補時，Psx=-Sy，Psy=Sx；逆圓插補時，Psx=Sy，Psy=-Sx。 設(shè) Si為插補點 Pi（xi，yi）到終點 Pe（xe，ye）的距離， 為：

Si=。判斷插補點與插補終點在輔助坐標系同一象限的條件為： （xi-xo）Psx＞0， （yi-yo）Psy＞0。 終點判別的條件表達式為： （xi-xe）Sx＞0， （yi-ye）Sy＞0。

在插補開始時，首先檢查插補點與插補終點間距離是遞減還是遞增，這一過程只需比較大小，不需求出具體值，即只需進行符號判斷[4]。

在圓弧插補終點快速判別方法中，判別終點和象限所用的變量Sx，Sy，Psx與Psy的計算均為離線計算，在插補開始前計算好，由其表達式可知，在插補過程中它們的值不變。實時計算的值是象限判別式的計算，因為在插補過程中要時時判別插補點與插補終點是否到達同一象限，從而判斷是否進行終點判別。

4 誤差分析

數(shù)據(jù)采樣插補算法得出的不是進給脈沖，而是用二進制表示的進給量，也就是在下一插補周期中，輪廓曲線上的進給段在各坐標軸上的分矢量。計算機定時對坐標的實際位置進行采樣，采樣數(shù)據(jù)與指令位置進行比較，得出位置誤差，再根據(jù)位置誤差對伺服系統(tǒng)進行控制，達到消除誤差、使實際位置跟隨指令位置[5]。

在直線插補過程中,插補分割后的微小直線段與給定曲線是重合的（給定輪廓曲線是直線），所以不存在輪廓誤差。實例假設(shè)在OXY平面中插補起始點坐標（2,0），終點坐標（5,3），插補步長l=0.1。在MatLAB中編程后插補仿真如圖4所示，仿真結(jié)果與理論軌跡無誤差。

時間分割圓弧插補法是用弦線代替圓弧插補，插補實例仿真結(jié)果如圖5所示。雖然插補點均在所需插補圓弧上，由于相鄰插補點之間是直線進給逼近，所以插補過程中仍會產(chǎn)生徑向誤差。

圖4 直線插補運行軌跡與理論軌跡

圖5 圓弧插補理論與實際軌跡

圖6 時間分割圓弧插補誤差

其中：F—進給速度；T—插補周期。由式（4）可知，徑向誤差 與插補周期 、插補圓弧半徑 和進給速度 有關(guān)。在一臺確定的數(shù)控機床中，允許的插補誤差是確定的，它小于機床的分辨率，即小于一個脈沖當量[6]。因此，在誤差確定的基礎(chǔ)上，可以通過平衡進給速度和插補周期的關(guān)系以實現(xiàn)所優(yōu)先考慮的插補參數(shù)。值得一提的是，插補周期的選擇還要受計算機運算速度的限制，插補周期應(yīng)大于插補運算時間和完成其他如顯示等任務(wù)所用時間之和。在實際應(yīng)用中可據(jù)此根據(jù)要求合理設(shè)計插補參數(shù)，以期達到理想中的效果。

5 結(jié)論

針對所研究打磨機課題，對數(shù)控系統(tǒng)中關(guān)鍵環(huán)節(jié)插補算法的設(shè)計進行了研究。根據(jù)打磨機系統(tǒng)的半閉環(huán)交流伺服系統(tǒng)要求，插補方法選擇了數(shù)據(jù)采樣插補算法，對該算法的原理、插補過象限問題、終點判別及誤差分析進行了研究，通過在MatLAB中編程仿真驗證，證實了所采用算法的正確性及實現(xiàn)過程的可行性。從而為后續(xù)插補軟件的設(shè)計提供了參考。

[1]李恩林.數(shù)控系統(tǒng)插補原理通論[M].國防工業(yè)出版社，2008.

[2]孔德彭，張國平，等.基于圓弧插補的時間分割插補算法改進[J].機械與電子，2010，2.

[3]林本杰，石川，張輝，等.圓弧插補終點判斷方法研究[J].制造技術(shù)與機床，2007，6.

[4]張吉堂.現(xiàn)代數(shù)控原理及控制系統(tǒng)[M].國防工業(yè)出版社，2009.

[5]伍胡平,周亞軍.數(shù)據(jù)采樣插補算法的研究[J].組合機床與自動化加工技術(shù)，2008，9.

[6]陳東海，牛景麗，劉進錢.CNC系統(tǒng)數(shù)據(jù)采樣插補的新算法[J].制造業(yè)自動化，2009，9.