基金項目： 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目（SWJTU12BR012）

作者簡介： 黃強（1986-），男，博士研究生，研究方向為衛(wèi)星重力測量，電話：15102885641，E-mail：406599573@qq.com

文章編號： 0258-2724（2013）03-0455-06DOI： 10.3969/j.issn.0258-2724.2013.03.010

摘要：

為比較短弧長積分法和平均加速度法在衛(wèi)星重力反演中的效果，用Fortran程序語言分別基于短弧長積分法和平均加速度法編寫了2套計算程序，對GOCE（重力場和靜態(tài)海洋環(huán)流探測）衛(wèi)星精密科學(xué)軌道進行了反演計算，得到了2組90階次的重力場模型Model_Arc（短弧長積分法）和Model_Acc（平均加速度法）.結(jié)果表明：Model_Acc大地水準(zhǔn)面階誤差最大在80階僅4 cm，而Model_Arc在90階處達到10 cm；2個模型總體上都比用CHAMP和GRACE衛(wèi)星的軌道數(shù)據(jù)反演的模型精度高，Model_Acc在80階次以前比GO_CONS_GCF_2_TIM_R3精度高，但平均加速度法耗時比短弧長積分法長.

關(guān)鍵詞：

短弧長積分法；平均加速度法；重力反演；GOCE（重力場和靜態(tài)海洋環(huán)流探測）

中圖分類號： P223文獻標(biāo)志碼： A

利用軌道數(shù)據(jù)反演重力場模型的方法中，較常用的方法有能量守恒法、點加速度法、平均加速度法、短弧長積分法和動力學(xué)法等[1-4].其中，短弧長積分法和平均加速度法在反演過程中不需要速度向量，避免了數(shù)值微分計算后得到的低精度速度向量代入到反演計算中.另外，這2種方法得到的觀測方程本身就是線性的，不需要先驗重力場模型，也不需要迭代計算.因此，在軌道反演方法中，平均加速度法和短弧長積分法比其他方法具有一定的優(yōu)勢.

短弧長積分法和平均加速度法都基于牛頓運動方程，并且平均加速度法可以在短弧長積分法的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來，因此平均加速度法又稱為超短弧長積分法（每段弧長僅3個歷元），但這2種方法的數(shù)值積分計算較復(fù)雜.游為等對短弧長積分法進行了研究，并提出了改進的短弧長積分法[5]；趙齊樂、柳響林等對平均加速度法進行了研究，取得了不錯的效果[6].

GOCE（gravity field and steady-state ocean circulation explorer）[6-14]衛(wèi)星已于2009年3月17日發(fā)射升空，采集的數(shù)據(jù)包括衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)和重力梯度數(shù)據(jù)，結(jié)合2種類型的觀測數(shù)據(jù)，可以反演出兼顧中長波和中短波信息的高精度重力場模型，在數(shù)據(jù)釋放以前武漢大學(xué)鐘波等就開始了對GOCE衛(wèi)星的模擬研究[15].

由于短弧長積分法與平均加速度法存在一定程度的聯(lián)系，因此分別基于短弧長積分法和平均加速度法編寫了2套Fortran計算程序，計算了62 d的GOCE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)，反演了2組90階次的重力場模型，對2種方法的計算結(jié)果進行了比較，并將計算模型同基于CHAMP（challenging mini-satellite payload）、GRACE（gravity recovery and climate experiment）、GOCE的一些高精度模型進行了比較分析，可供進一步聯(lián)合GOCE衛(wèi)星軌道和梯度數(shù)據(jù)反演重力場模型參考.

1

計算方法

1.1

短弧長積分法

短弧長積分法是基于牛頓運動方程，將衛(wèi)星軌道表示成Fredholm積分方程形式的邊界值問題，并采用積分方程的方法求解地球重力場模型.短弧長積分法的思想最初應(yīng)用于軌道的確定，1969年Schneider 和 Reigber將該方法應(yīng)用于地球重力場模型的確定，2005年Mayer首次將短弧長積分法應(yīng)用于CHAMP衛(wèi)星真實數(shù)據(jù)的處理，隨后被應(yīng)用到GRACE衛(wèi)星數(shù)據(jù)確定重力場模型.這里略去繁瑣的公式推導(dǎo)過程，直接給出短弧長積分法的觀測方程：

值得注意的是，非保守力只在局部指北坐標(biāo)系下具有一定的規(guī)律性，而方程又是在慣性系下聯(lián)立的，因此，必須進行相關(guān)坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換.

1.2

平均加速度法

加速度法分為點加速度法和平均加速度法2種，前者需要通過軌道內(nèi)插和微分計算，后者則不需要，因此平均加速度法比點加速度法更嚴(yán)密.

平均加速度法可以在短弧長積分法的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來.假設(shè)短弧長積分法每個弧段僅有3個歷元，將其代入到短弧長積分法的方程中，經(jīng)過對積分時間的轉(zhuǎn)換，可以得到平均加速度法的觀測方程：

平均加速度法的加速度由相鄰3個歷元差分計算，從而避免了點加速度法中數(shù)值微分計算和因數(shù)據(jù)缺失導(dǎo)致的大量歷元信息不能使用的情況.另外，平均加速度法的積分計算仍采用移動窗口多項式插值，平均加速度法定權(quán)的問題見文獻[3].平均加速度法的方程雖由3個歷元組成，但仍可化簡為式（2）的矩陣形式.為消除非保守力的影響，同樣采取每個弧段消除一個局部參數(shù)的方法.

1.3

連續(xù)最小二乘平差

由于重力衛(wèi)星觀測數(shù)據(jù)量巨大，以10 s采樣間隔為例，60 d的數(shù)據(jù)就超過50萬個歷元，若反演90階的重力場模型，未知參數(shù)可達8 277個，如直接對數(shù)據(jù)形成法方程矩陣，普通電腦難以承受.為此，本文采用了連續(xù)最小二乘平差的方法，以每個弧段的數(shù)據(jù)作為一個單位形成法方程，最后將所有弧段法方程累加再求解.矩陣形式的短弧長積分法和平均加速度法形成的弧段方程為：

從圖3可見：

（1） Model_Arc在30階次以前與國際上用時域法反演的GOCE衛(wèi)星高精度重力場模型Model_GOCE精度一致，30階次以后精度較低.

（2） Model_Acc精度在80階次以前比Model_GOCE精度高，80階次以后精度略低，其主要原因是Model_GOCE模型包含了精密科學(xué)軌道數(shù)據(jù)和重力梯度數(shù)據(jù)2種重力信息，在低階處梯度數(shù)據(jù)反演精度較低，高階處梯度數(shù)據(jù)發(fā)揮了其包含豐富中短波信息的特點，反演精度較高.

（3） 由于GOCE衛(wèi)星軌道高度比CHAMP低，更能感知地球重力場模型的信息，因此，Model_Acc和Model_Arc都比CHAMP衛(wèi)星反演的模型EIGEN-champ03s精度高.

（4） Model_GRACE是由GRACE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)反演的模型，由于GRACE衛(wèi)星軌道全球覆蓋，因此，與利用GOCE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)反演的重力場模型相比，在低階處精度更高.但GOCE衛(wèi)星軌道高度比GRACE軌道高度低，更能感知地球重力場模型的信息，因此在高階處Model_GRACE精度較差.

為了進一步評價幾個模型的精度及可靠性，取上述模型前90階次計算全球5°×5°的大地水準(zhǔn)面高，并且計算與EIGEN-5C計算的大地水準(zhǔn)面高的差，結(jié)果見表1.

從表1可見，利用平均加速度法反演的模型Model_Acc的精度僅比Model_GOCE差，主要原因是Model_GOCE反演計算的數(shù)據(jù)量大，并且含有梯度數(shù)據(jù)信息.從以上數(shù)據(jù)精度評定結(jié)果可以驗證2套Fotran計算程序的正確性，為進一步系統(tǒng)利用GOCE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)和梯度數(shù)據(jù)反演出高精度的高階地球重力場模型奠定了基礎(chǔ).

3

結(jié)論

（1） 短弧長積分法和平均加速度法分別利用GOCE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)反演的重力場模型精度總體偏低，尤其是低階次的精度低.主要原因是GOCE衛(wèi)星并沒有全球覆蓋，在兩極分別有半徑約6.5°的空白區(qū)域.

（2） 短弧長積分法的反演模型Model_Arc比平均加速度法的反演模型Model_Acc的精度低，原因可能是短弧長積分法在弧段兩端采用了低階插值，導(dǎo)致兩端積分的精度偏低.

（3） 在相同的硬件條件下，短弧長積分法的計算速度更快，平均加速度法速度稍慢.

（4） GOCE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)反演的重力場模型比CHAMP衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)反演的模型精度高，在低階處比GRACE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)反演的地球重力場模型精度低，高階則優(yōu)于GRACE衛(wèi)星軌道反演的結(jié)果.

參考文獻：

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