袁國(guó)軍　肖慶憲

摘要：考慮了CEV過(guò)程下含有交易對(duì)手違約風(fēng)險(xiǎn)的脆弱期權(quán)定價(jià)。根據(jù)無(wú)套利原理和偏微分方程方法，建立了CEV過(guò)程下脆弱期權(quán)定價(jià)模型，得到了定價(jià)方程。然后基于半離散化方法，給出了數(shù)值解法，并對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià)，脆弱期權(quán)，CEV過(guò)程

一、引言

近年來(lái)，期權(quán)的場(chǎng)外市場(chǎng)（OTC Market）發(fā)展迅速，但是，由于場(chǎng)外交易的期權(quán)不受交易所的擔(dān)保和保護(hù)，使得進(jìn)入期權(quán)交易的雙方都有可能違約，都面臨著對(duì)方的信用風(fēng)險(xiǎn)，從而導(dǎo)致期權(quán)可能得不到執(zhí)行。與交易所期權(quán)不同的是，場(chǎng)外市場(chǎng)上的期權(quán)持有者面臨著對(duì)手可能違約的信用風(fēng)險(xiǎn)，Johnson和Stulz[1]將在OTC上交易的含有信用風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)稱為脆弱期權(quán)。

2007年，美國(guó)爆發(fā)的“次貸危機(jī)”再次說(shuō)明，OTC市場(chǎng)上交易的金融衍生產(chǎn)品存在著嚴(yán)重的潛在信用風(fēng)險(xiǎn)，也使人們認(rèn)識(shí)到了對(duì)含有對(duì)手信用風(fēng)險(xiǎn)的金融衍生產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)的重要性及其現(xiàn)實(shí)意義。雖然，目前我國(guó)資本市場(chǎng)開(kāi)放受到限制，商業(yè)銀行的國(guó)內(nèi)業(yè)務(wù)發(fā)展迅猛，使得我國(guó)的金融市場(chǎng)在這次金融危機(jī)中受到的沖擊有限。但是，隨著經(jīng)濟(jì)金融全球一體化進(jìn)程的加劇和我國(guó)金融衍生產(chǎn)品市場(chǎng)的迅猛發(fā)展，金融機(jī)構(gòu)及其監(jiān)管部門越來(lái)越意識(shí)到了對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行管理并進(jìn)行合理定價(jià)的重要性。因此，合理評(píng)估OTC市場(chǎng)上含有信用風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)的價(jià)值，有助于為我國(guó)的信用風(fēng)險(xiǎn)管理及金融市場(chǎng)的健康發(fā)展提供理論上的指導(dǎo)和金融技術(shù)上的支持。

Johnson和Stulz[1]最先探討含有信用風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，他們首先引進(jìn)脆弱期權(quán)這個(gè)術(shù)語(yǔ)來(lái)定義那些含有交易對(duì)手違約風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)，并指出了此類期權(quán)的大量特征，他們的研究實(shí)際上是拓展了Merton[2]的公司債券定價(jià)模型。Hull和White[3]給出了關(guān)于脆弱期權(quán)的定價(jià)公式。Klein[4]考慮了期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)與對(duì)手資產(chǎn)的線性相關(guān)性，得到了歐式脆弱期權(quán)的定價(jià)公式?；诮Y(jié)構(gòu)化的方法，在隨機(jī)違約邊界與隨機(jī)利率的假設(shè)下，Manuel[5]得到了脆弱期權(quán)定價(jià)的顯示解，推廣了Klein模型。Hung等[6]、Chang等[7]分別將Klein的研究結(jié)果推廣至不完全市場(chǎng)和美式脆弱期權(quán)情形。陳超[8]建立了跳-擴(kuò)散結(jié)構(gòu)下的脆弱期權(quán)定價(jià)模型。烏畫(huà)等[9]研究了多元隨機(jī)波動(dòng)模型中的信用風(fēng)險(xiǎn)衍生品的定價(jià)問(wèn)題。李平等[10]運(yùn)用Frechet Copula和相關(guān)性測(cè)度Kendall 來(lái)刻畫(huà)脆弱期權(quán)行權(quán)概率與對(duì)手違約之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，給出了歐式脆弱看漲期權(quán)價(jià)格的閉形式表達(dá)式。理論研究和金融實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，期權(quán)價(jià)格中存在波動(dòng)率“微笑”特征，針對(duì)這一現(xiàn)象，Cox和Ross[11]最早提出了用Constant Elasticity of Variance（CEV）模型來(lái)刻畫(huà)波動(dòng)率的“微笑”特征。Davydo等[12]對(duì)障礙期權(quán)和回望期權(quán)建立了CEV模型，深入探討了估價(jià)及套期保值等問(wèn)題。本文在上述文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，利用期權(quán)定價(jià)的無(wú)套利原理和偏微分方程方法，建立了CEV過(guò)程下脆弱期權(quán)定價(jià)模型，然后利用半離散化方法，給出了數(shù)值解法，并對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了分析。

二、CEV過(guò)程下脆弱期權(quán)定價(jià)模型

為了推導(dǎo)CEV過(guò)程下脆弱期權(quán)定價(jià)模型，作如下假設(shè)：

三、半離散化及差分格式

四、數(shù)值算例

算例1. 考慮具有下列參數(shù)的歐式脆弱期權(quán)

圖1給出了期權(quán)價(jià)格與期權(quán)價(jià)值狀況（S/K）之間的關(guān)系，從圖1可以發(fā)現(xiàn)，期權(quán)的價(jià)格隨著期權(quán)價(jià)值狀況（S/K）值的增加而增加，這與市場(chǎng)實(shí)際情況相吻合。

算例2. 考慮具有下列參數(shù)的歐式脆弱期權(quán)

圖2給出了期權(quán)價(jià)格與其交易對(duì)手資產(chǎn)價(jià)格之間的關(guān)系，從圖2可以看出，期權(quán)交易對(duì)手資產(chǎn)價(jià)格越高，則期權(quán)的價(jià)格就越高，這與市場(chǎng)實(shí)際情況相吻合。

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基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171221）