本刊試題研究組

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）

1.已知集合M={x|x≠0，x∈R}∪{y|y≠1，y∈R}，集合P={x|x<0或01，x∈R}，則集合M與P之間的關(guān)系是.

2.已知等差數(shù)列{an}中，a4=3，a6=9，則該數(shù)列的前9項(xiàng)的和S9=.

3.若命題“x∈R，x2+（a-1）x+1<0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

4.如圖，給出一個(gè)算法的偽代碼，

Readx

Ifx≤0Then

f（x）←4x

Else

f（x）←2x

EndIf

Printf（x）

則f（-3）+f（2）=.

5.已知直線l1：x+ay+6=0和l2：（a-2）x+3y+2a=0，則l1∥l2的充要條件是a=.

6.高三（1）班共有56人，學(xué)號(hào)依次為1，2，3，…，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知學(xué)號(hào)為6，34，48的同學(xué)在樣本中，那么還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)應(yīng)為.

7.直線ax+by=1過點(diǎn)A（b，a），則以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓的面積的最小值是.

8.在一次招聘口試中，每位考生都要在5道備選試題中隨機(jī)抽出3道題回答，答對(duì)其中2道題即為及格，若一位考生只會(huì)答5道題中的3道題，則這位考生能夠及格的概率為.

9.設(shè)方程2x+x=4的根為x0，若x0∈（k-12，k+12），則整數(shù)k=.

10.已知下列兩個(gè)命題：

p：x∈[0，+∞），不等式ax≥x-1恒成立；

q：1是關(guān)于x的不等式（x-a）（x-a-1）≤0的一個(gè)解.

若兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

11.定義一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f：P（m，n）→P′（m，n），（m≥0，n≥0）.現(xiàn)有點(diǎn)A（2，6）與點(diǎn)B（6，2），點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，按定義的對(duì)應(yīng)法則f：M→M′.當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上從點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B結(jié)束時(shí)，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′所經(jīng)過的路線長(zhǎng)度為.

12.設(shè)曲線y=（ax-1）ex在點(diǎn)A（x0，y1）處的切線為l1，曲線y=（1-x）e-x在點(diǎn)B（x0，y2）處的切線為l2，若存在0≤x0≤32，使得l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

13.在計(jì)算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：

先改寫第k項(xiàng)：k（k+1）=13[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得

1×2=13（1×2×3-0×1×2），

2×3=13（2×3×4-1×2×3），

…

n（n+1）=13[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）].

相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=13n（n+1）（n+2）.

類比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，其結(jié)果為.

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A、B、C是圓x2+y2=1上相異三點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)λ，μ，使得OC=λOA+μOB，則λ2+（μ-3）2的取值范圍是 .

二、解答題（本大題共6小題，共90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f（x）=2cosx2（3cosx2-sinx2）.

（1）設(shè)θ∈[-π2，π2]，且f（θ）=3+1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1，f（C）=3+1，且△ABC的面積為32，求sinA+sinB的值.

16.（本小題滿分14分）

如圖，四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=12AD.

（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；

（2）在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE∥平面PAB？

若存在，請(qǐng)確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

17.（本小題滿分15分）

已知某食品廠需要定期購(gòu)買食品配料，該廠每天需要食品配料200千克，配料的價(jià)格為1.8元/千克，每次購(gòu)買配料需支付運(yùn)費(fèi)236元.每次購(gòu)買來的配料還需支付保管費(fèi)用，其標(biāo)準(zhǔn)如下：7天以內(nèi)（含7天），無論重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天數(shù)，根據(jù)實(shí)際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.

（1）當(dāng)9天購(gòu)買一次配料時(shí)，求該廠用于配料的保管費(fèi)用P是多少元？

（2）設(shè)該廠x天購(gòu)買一次配料，求該廠在這x天中用于配料的總費(fèi)用y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求該廠多少天購(gòu)買一次配料才能使平均每天支付的費(fèi)用最少？

18.（本小題滿分15分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，上、下頂點(diǎn)分別為B1、B2.設(shè)直線A1B1的傾斜角的正弦值為13，圓C的圓心與OA2的中點(diǎn)關(guān)于直線A1B1對(duì)稱且圓C的直徑等于線段OA2的長(zhǎng)度.

（1）求橢圓E的離心率；

（2）判斷直線A1B1與圓C的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）若圓C的面積為π，求圓C的方程.

19.（本小題滿分16分）

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0.

（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]上的最小值；

（2）如果f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（3）是否存在最小的正整數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，不等式lnn+1n>n-1n3恒成立.

20.（本小題滿分16分）

一個(gè)三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成：第一行依次寫上n（n≥4）個(gè)數(shù)，在上一行的每相鄰兩數(shù)的中間正下方寫上這兩數(shù)之和，得到下一行，依此類推.記數(shù)表中第i行的第j個(gè)數(shù)為f（i，j）.

（1）若數(shù)表中第i （1≤i≤n-3）行的數(shù)依次成等差數(shù)列，求證：第i+1行的數(shù)也依次成等差數(shù)列；

（2）已知f（1，j）=4j，求f（i，1）關(guān)于i的表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，若f（i，1）=（i+1）（ai-1），bi=1aiai+1，試求一個(gè)函數(shù)g（x），使得Sn=b1g（1）+b2g（2）+…+bng（n）<13，且對(duì)于任意的m∈（14，13），均存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)n>？時(shí)，都有Sn>m.

f（1，1）f（1，2）…f（1，n-1）f（1，n）

f（2，1）f（2，2）…f（2，n-1）

f（3，1）…f（3，n-2）

…

f（n，1）

數(shù)學(xué)（Ⅱ）（附加題）

21.（選修4—2：矩陣與變換）

設(shè)M=1002，N=12001，試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程.

22.（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）

已知圓的極坐標(biāo)方程為：ρ2-42ρcos（θ-π4）+6=0.

（1）將極坐標(biāo)方程化為普通方程；

（2）若點(diǎn)P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值.

23.如圖所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.

（1）求異面直線PC與BD所成的角；

（2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使PC⊥平面ADE？

若存在，確定E點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.

24.甲、乙兩人玩一種游戲：甲從放有x個(gè)紅球、y個(gè)白球、z個(gè)（x，y，z≥1，x+y+z=10）黃球的箱子中任取一球，乙從放有5個(gè)紅球、3個(gè)白球、2個(gè)黃球的箱子中任取一球.規(guī)定：當(dāng)兩球同色時(shí)為甲勝，當(dāng)兩球異色時(shí)為乙勝.

（1）用x，y，z表示甲勝的概率；

（2）假設(shè)甲勝時(shí)甲取紅球、白球、黃球的得分分別為1分、2分、3分，甲負(fù)時(shí)得0分，求甲得分?jǐn)?shù)ξ的概率分布，并求E（ξ）最小時(shí)的x，y，z的值.

參考答案

一、填空題

1. PM2. 543. [-1，3]4. -85. a=-16. 20

7. π8. 7109. 110. [1，14）∪（1，+∞）11. 2π3

12. [1，32]13. 14n（n+1）（n+2）（n+3）14. （2，+∞）

二、解答題

15.（1）f（x）=23cos2x2-2sinx2cosx2=3（1+cosx）-sinx=2cos（x+π6）+3.

由2cos（x+π6）+3=3+1，得

cos（x+π6）=12，

于是x+π6=2kπ±π3（k∈Z），因?yàn)閤∈[-π2，π2]

所以x=-π2或π6.

（2）因?yàn)镃∈（0，π），由（1）知C=π6.

在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對(duì)邊分別是a，b.

因?yàn)椤鰽BC的面積為32，所以32=12absinπ6，于是ab=23.①

由余弦定理得1=a2+b2-2abcosπ6=a2+b2-6，所以a2+b2=7.②

由①②可得a=2，b=3或a=3，b=2.

于是a+b=2+3.

由正弦定理得sinAa=sinBb=sinC1=12，

所以sinA+sinB=12（a+b）=1+32.

16.設(shè)PA=1

（1）由題意PA=BC=1，AD=2

∵AB=1，BC=12AD，由∠ABC=∠BAD=90°，易得CD=AC=2

由勾股定理得AC⊥CD，又∵PA⊥面ABCDCD面ABCD

∴PA⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，又CD面PCD，∴面PAC⊥面PCD

（2）證明：作CF∥AB交AD于F，作EF∥AP交PD于E，連接CE

∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF=F，PA∩AB=A，平面EFC∥平面PAB，

又CE在平面EFC內(nèi)，CE∥平面PAB

∵BC=12AD，AF=BC∴F為AD的中點(diǎn)，

∴E為PD中點(diǎn)，故棱PD上存在點(diǎn)E，且E為PD中點(diǎn)，使CE∥面PAB

17.解：（1）當(dāng)9天購(gòu)買一次時(shí)，該廠用于配料的保管費(fèi)用

P=70+0.03×200×（1+2）=88（元）

（2）①當(dāng)x≤7時(shí)

y=360x+10x+236=370x+236

②當(dāng)x>7時(shí)

y=360x+236+70+6[（x-7）+（x-6）+…+2+1]

=3x2+321x+432

∴y=370x+236，x≤73x2+321x+432，x>7且x∈N*

∴設(shè)該廠x天購(gòu)買一次配料平均每天支付的費(fèi)用為f（x）元

f（x）=370x+236x，x≤73x2+321x+432x，x>7

當(dāng)x≤7時(shí)

f（x）=370+236x當(dāng)且僅當(dāng)x=7時(shí)

f（x）有最小值28267≈404（元）

當(dāng)x>7時(shí)

f（x）=3x2+321x+432x=3（x+144x）+321≥393

當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)取等號(hào)

∵393<404

∴當(dāng)x=12時(shí)f（x）有最小值393元

18.解：（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c（c>0），

因?yàn)橹本€A1B1的傾斜角的正弦值為13，所以ba2+b2=13，

于是a2=8b2，即a2=8（a2-c2），所以橢圓E的離心率e=c2a2=78=144.

（2）由e=144可設(shè)a=4k（k>0），c=14k，則b=2k，

于是A1B1的方程為：x-22y+4k=0，

故OA2的中點(diǎn)（2k，0）到A1B1的距離d=|2k+4k|3=2k，

又以O(shè)A2為直徑的圓的半徑r=2k，即有d=r，

所以直線A1B1與圓C相切.

（3）由圓C的面積為π知圓半徑為1，從而k=12，

設(shè)OA2的中點(diǎn)（1，0）關(guān)于直線A1B1：x-22y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），

則nm-1·24=-1，m+12-22·n2+2=0.

解得m=13，n=423.

所以，圓C的方程為（x-13）2+（y-423）2=1.

19.解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），

b=-12時(shí)，由f′（x）=2x-12x+1=2x2+2x-12x+1=0，得x=2（x=-3舍去），

當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f′（x）<0，當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f′（x）>0，

所以當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，

所以f（x）min=f（2）=4-12ln3

（2）由題意f′（x）=2x+bx+1=2x2+2x+bx+1=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，

即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，

設(shè)g（x）=2x2+2x+b，則Δ=4-8b>0g（-1）>0，解之得0

（3）對(duì)于函數(shù)f（x）=x2-ln（x+1），令函數(shù)h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）

則h′（x）=3x2-2x+1x+1=3x3+（x-1）2x+1，∴當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，h′（x）>0

所以函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）>h（0）=0

即x21n2-1n3恒成立.

顯然，存在最小的正整數(shù)N=1，使得當(dāng)n≥N時(shí)，不等式ln（1n+1）>1n2-1n3恒成立

20.解：（1）數(shù)表中第i+1行的數(shù)依次所組成數(shù)列的通項(xiàng)為f（i+1，j），則由題意可得

f（i+1，j+1）-f（i+1，j）=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]-[f（i，j）+f（i，j+1）]

=f（i，j+2）-f（i，j）=2d（其中d為第i行數(shù)所組成的數(shù)列的公差）

（2）∵f（1，j）=4j

∴第一行的數(shù)依次成等差數(shù)列，由（1）知，第2行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，依次類推，可知數(shù)表中任一行的數(shù)（不少于3個(gè)）都依次成等差數(shù)列.

設(shè)第i行的數(shù)公差為di，則di+1=2di，則di=d1×2i-1=4×2i-1=2i+1

所以f（i，1）=f（i-1，1）+f（i-1，2）=2f（i-1，1）+2i=2[2f（i-2，1）+2i-1]+2i

=22f（i-2，1）+2×2i=…=2i-1f（1，1）+（i-1）×2i=2i-1×4+（i-1）×2i

=2i+1+（i-1）×2i=（i+1）×2i

（3）由f（i，1）=（i+1）（ai-1），可得ai=f（i，1）i+1+1=2i+1

所以bi=1aiai+1=1（2i+1）（2i+1+1）=12i（12i+1-12i+1+1）

令g（i）=2i，則big（i）=12i+1-12i+1+1，所以Sn=13-12n+1+1<13

要使得Sn>m，即13-12n+1+1>m，只要12n+1+1<13-m=1-3m3，

∵m∈（13，14），∴0<1-3m<14，所以只要2n+1+1>31-3m，

即只要n>log2（31-3m-1）-1，所以可以令λ=log2（31-3m-1）-1

則當(dāng)n>λ時(shí)，都有Sn>m.

所以適合題設(shè)的一個(gè)函數(shù)為g（x）=2x

21.MN=100212001=12002，

設(shè)（x，y）是曲線y=sinx上的任意一點(diǎn)，在矩陣MN變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x′，y′）.

則12002xy=x′y′，所以x′=12x，y′=2y，即 x=2x′，y=12y′，

代入y=sinx得：12y′=sin2x′，即y′=2sin2x′.

即曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程為y=2sin2x.

22.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）（1）x2+y2-4x-4y+6=0；

（2）圓的參數(shù)方程為x=2+2cosα，y=2+2sinα，

所以x+y=4+2sin（α+π4），那么x+y最大值為6，最小值為2.

23.解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），

A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），

（1）∵PC=（0，2，-2），DB=（2，2，0），（2分）

∴cos=PC·DB|PC|·|DB|=422·22=12，

∴=60°，∴異面直線PC與BD所成的角為60°

（2）假設(shè)在PB上存在E點(diǎn)，使PC⊥平ADE，記PE=λPB，

∵PB=（2，2，-2），∴PE=（2λ，2λ，-2λ），∴E（2λ，2λ，2-2λ），

∴AE=（2λ-2，2λ，2-2λ），若PC⊥平面ADE，則有PC⊥AE，

即PC·AE=8λ-4=0，∴λ=12，E（1，1，1），

又∵AD⊥面PDC，∴PC⊥AD，∴PC⊥平面ADE.

∴存在E點(diǎn)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，PC⊥平面ADE.

24.（1）甲取紅球、白球、黃球的概率分別為x10，y10，z10；

乙取紅球、白球、黃球的概率分別為510，310，210.

故甲勝的概率P=5x100+3y100+2z100=1100（5x+3y+2z）.

（2）ξ=0，1，2，3從而ξ的分布列為：

ξ0123

P1-5x+3y+2z1005x1003y1002z100

由x+y+z=10，

得E（ξ）=1100（5x+6y+6z）=1100（60-x）.

由x，y，z≥1，知1≤x≤8，

故當(dāng)x=8，y=z=1時(shí)，E（ξ）max=1325.