沈新權(quán) 陳平 許志鋒

★★ 難度中等

★★★難度較高

★★ 1. 如圖1所示，已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ<的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，-1），它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x0，2）和x0+，-2.

（1） 求函數(shù)f（x）的解析式及x0的值；

（2） 若θ∈，π且sinθ=，求f（θ）的值.

★★ 2. △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=2a，cos（B-A）=2sin2.

（1） 求sinAsinB的值；

（2） 若a2+b2=c2，求tanC的值.

★★ 3. 如圖2所示，在平面凸四邊形ABCD中，

AB=a，BC=b，CD=c，DA=d.CA平分∠BCD.

（1） 求證： a·sinB=d·sinD；

（2） 若a=3，b=5，c=7，·=，求cos∠BCD的值.

★★ 4. 某單位從A，B兩套試題中選擇一套對(duì)應(yīng)聘者進(jìn)行面試.他們約定：應(yīng)聘者通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的六面骰子決定自己用哪套試題，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人用A套試題進(jìn)行面試，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人用B套試題進(jìn)行面試.現(xiàn)有4個(gè)人參加面試.

（1） 求這4個(gè)人中用A套試題進(jìn)行面試的人數(shù)大于用B套試題進(jìn)行面試的人數(shù)的概率；

（2） 用X，Y分別表示這4個(gè)人中用A，B套試題進(jìn)行面試的人數(shù)，記？孜=X-Y，求隨機(jī)變量？孜的分布列與數(shù)學(xué)期望E？孜.

★★ 5. 已知箱中裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，現(xiàn)從箱中任取一個(gè)球（每個(gè)球取到的機(jī)會(huì)均等）.如果取到的是白球，就把白球放回，并向箱中另加2個(gè)黑球；如果取到的是黑球，就把黑球放回，并向箱中另加1個(gè)黑球和1個(gè)白球.記隨機(jī)變量X為取球3次后箱中白球的個(gè)數(shù).

（1） 求X=3的概率；

（2） 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）.

★★ 6. 設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)一切n∈N*，4Sn=+2an-3恒成立.

（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 設(shè)bn=2Sn·3n-1，試比較++…+與3n的大小關(guān)系.

★★ 7. 如圖3所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，且AE=4，CF=1.

（1） 求證：CE⊥平面BDF；

（2） 求二面角E-DF-B的正切值.

★★ 8. 如圖4所示，在△ABC中，AB=4，AC=4，∠BAC=45°，BD為AC邊上的中線(xiàn)，將△ABD沿BD折起，構(gòu)成二面角A′-BD-C.在平面BCD內(nèi)作CE⊥CD，CE=.

（1） 求證：CE∥平面A′BD；

（2） 如果二面角A′-BD-C的大小為90°，求二面角B-A′C-E的余弦值.

★★ 9. 如圖5所示，D，E是△ABC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，EC=2AE=2，∠ACB=90°.把△ADE沿DE折起，使BC的位置轉(zhuǎn)至B′C′，此時(shí)AC′=.

（1） 求證：AC′⊥平面ADE；

（2） 若平面AB′D與平面AC′E所成的角為45°，求B′C′的長(zhǎng).

★★ 10. 如圖6所示，菱形ABCD與矩形BDEF所在的平面互相垂直，∠BAD=.

（1） 求證：CF∥平面ADE；

（2） 若BF=k·BD，當(dāng)二面角A-EF-C為直二面角時(shí)，求k的值；

（3） 在（2）的條件下，求直線(xiàn)BC與平面AEF所成角θ的正弦值.

★★★ 11. 如圖7所示，AC是圓O的直徑，點(diǎn)B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點(diǎn)M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1.

（1） 證明： EM⊥BF；

（2） 求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的大小.

★★★ 12. 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為12.過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)且斜率為1，AB的中點(diǎn)M在直線(xiàn)x+2y=0上.

（1） 求橢圓的方程；

（2） 已知點(diǎn)P是橢圓上在y軸右側(cè)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓O：x2+y2=36的切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q，求PQ·PF的最大值.

★★★ 13. 橢圓+=1 （a>b>0）的離心率為，長(zhǎng)軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為. P是橢圓上橫坐標(biāo)大于1的點(diǎn)，直線(xiàn)y= kx+t （k≠0）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)PA，PB與x軸交于C，D兩點(diǎn).

（1） 求橢圓的方程；

（2） 若對(duì)于任意的t∈R，PC=PD恒成立，求k的取值范圍.

★★★ 14. 橢圓+=1 （a>b>0）上的點(diǎn)1，到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，PA，PB是橢圓的兩條切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn).

（1） 求橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2） 若P在以AB為直徑的圓上，求△PF1F2的周長(zhǎng)的最大值.

★★★ 15. 設(shè)函數(shù)f（x）=cosx-+2sinx-sinx+.

（1） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2） 如果函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，求y=g（x）在[0，2]上的最小值.

★★★ 16. 已知 f（x）=xlnx.

（1） 求 f（x）的最小值；

（2） 若正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a+b+c=3e，求證： alna+blnb+clnc≥3e.

★★★ 17. 設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax+sinx.

（1） 當(dāng)x≥0時(shí)，如果a=1，求 f（x）的最小值；

（2） 證明：當(dāng)x≥0時(shí)，如果a=2，則不等式f（x）≥f（-x）恒成立；

（3） 當(dāng)x≥0時(shí)，如果不等式f（x）≥f（-x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

★★★ 18. 設(shè)函數(shù)f（x）=x-lnx+，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1， f（1））處的切線(xiàn)方程為2x+y-5=0.

（1） 求實(shí)數(shù)a的值，并證明當(dāng)x≥2時(shí)， f（x）>0；

（2） 是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù) f（x）的圖象在區(qū)間[2，+∞）上與函數(shù)y=的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？如果存在，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；如果不存在，說(shuō)明理由.

★★★ 19. 已知函數(shù) f（x）=ax2-2x+lnx.

（1） 若 f（x）無(wú)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù) f′（x）有零點(diǎn)，求a的值；

（2） 若 f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍，并證明 f（x）的極小值小于-.