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        用好“組合拳”,攻克函數(shù)值域問(wèn)題

        2013-04-29 00:44:03傅建紅
        關(guān)鍵詞:組合拳值域圖象

        傅建紅

        值域問(wèn)題是函數(shù)中的重要內(nèi)容,其思想和應(yīng)用滲透于高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié). 然而由于基本初等函數(shù)的種類(lèi)繁多,由其所構(gòu)造的復(fù)合函數(shù)更是“千姿百態(tài)”,這就使得函數(shù)值域問(wèn)題的求法具有多樣性(比如配方法、分離常數(shù)法、判別式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)單調(diào)性法、圖象法等),而正是這種多樣性,導(dǎo)致了同學(xué)們?cè)诿鎸?duì)具體問(wèn)題時(shí),方法上難以抉擇,思想上難以理清,不知以何種方法作為思維的起點(diǎn). 這里就涉及了求函數(shù)值域時(shí)的思維路線問(wèn)題. 細(xì)心的讀者也許會(huì)發(fā)現(xiàn),這些方法其實(shí)可以分為兩類(lèi),一類(lèi)只是針對(duì)某些特定函數(shù)時(shí)的特殊方法(如配方法、分離常數(shù)法、判別式法),而另一類(lèi)是適合于所有函數(shù)的通法(如函數(shù)單調(diào)性法和圖象法);至于換元法和導(dǎo)數(shù)法,筆者以為,它們只是求函數(shù)值域的必要手段和工具,其本身并不能單獨(dú)求出函數(shù)值域. 那么,如何構(gòu)建函數(shù)值域問(wèn)題的思維路線呢?

        我們知道,單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),只要了解了一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,就可求出其值域. 同樣,了解了一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,即可作出函數(shù)的大致圖象,由圖象法求其值域. 因此,這兩種方法均可作為求函數(shù)值域的通法. 只是對(duì)于單調(diào)函數(shù)來(lái)說(shuō),作圖已經(jīng)沒(méi)有必要,直接由單調(diào)性法求值域更為輕松;而對(duì)于非單調(diào)函數(shù)來(lái)說(shuō),雖然也可由單調(diào)性法解決,但圖象法往往更為簡(jiǎn)單. 因此,筆者認(rèn)為,可將判斷函數(shù)的單調(diào)性作為思維的起點(diǎn),將作出函數(shù)的圖象作為思維的終點(diǎn),而將換元法和導(dǎo)數(shù)法作為溝通起點(diǎn)或終點(diǎn)之間的“使者”,以此來(lái)構(gòu)建函數(shù)值域問(wèn)題的思維路線. 具體步驟為:首先判斷函數(shù)y=f(x)(x∈D)在D(可以是函數(shù)的定義域,也可以是定義域的某個(gè)子區(qū)間)上是否單調(diào),若是,則用函數(shù)單調(diào)性法求解;若不是,對(duì)于基本初等函數(shù)或通過(guò)換元可轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù),用圖象法解決,而對(duì)于無(wú)法通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù),則先用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,然后再由圖象法求解. 下面筆者先介紹有關(guān)方法,然后舉例佐證.

        1. 函數(shù)單調(diào)性法求值域的依據(jù)

        (1)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D=[a,b](a

        (2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D=[a,b]=[a,c]∪[c,b](a

        2. 基本初等函數(shù)按單調(diào)性分類(lèi)

        透徹了解基本初等函數(shù)的單調(diào)性和圖象是運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性法和圖象法求值域的前提. 筆者將基本初等函數(shù)按其連續(xù)性和單調(diào)性分為如下兩類(lèi):

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