現(xiàn)代航天器的復(fù)雜任務(wù)常常要求衛(wèi)星能夠進(jìn)行大角度快速機(jī)動，而有限的燃料或執(zhí)行機(jī)構(gòu)能力常常造成衛(wèi)星控制輸入受限.很多實(shí)際的物理系統(tǒng)都存在飽和問題，飽和嚴(yán)重時(shí)直接導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降，有的甚至系統(tǒng)不穩(wěn)定.飽和控制一直都是控制理論及應(yīng)用中的熱點(diǎn)問題，這個(gè)問題已經(jīng)有半個(gè)多世紀(jì)的研究歷史.在上世紀(jì)八九十年代中，很多研究人員已經(jīng)提出了比較完備的研究理論.在連續(xù)系統(tǒng)中，Sontag和Sussmann[1]很早指出只有在開環(huán)極點(diǎn)中沒有正實(shí)部根的穩(wěn)定線性系統(tǒng)才能在有界輸入控制下達(dá)到全局漸近穩(wěn)定.Fuller[2]和Sussmann等[3]也分別論證了對于一個(gè)n階飽和積分系統(tǒng)，只要n≥3，就無法通過設(shè)計(jì)線性控制律來使系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定.理論研究說明對于一個(gè)輸入飽和線性系統(tǒng)，只有系統(tǒng)所有極點(diǎn)都在左半閉平面內(nèi)才能夠控制達(dá)到全局漸近穩(wěn)定，而且，除了極少數(shù)的簡單情況外通常都要用到非線性控制律.Lin和Saberi[4-7]提出了一種低增益反饋的方法，這種方法通過設(shè)計(jì)線性反饋控制律來使系統(tǒng)達(dá)到半全局指數(shù)穩(wěn)定.這類控制器通過解一個(gè)與對象相關(guān)的Riccati方程來決定控制器增益矩陣，從而使輸入飽和系統(tǒng)穩(wěn)定.這種方法不僅設(shè)計(jì)簡單，而且大幅削弱了由飽和所導(dǎo)致的性能下降的影響.但是這種方法也有它的局限性，主要是對一些復(fù)雜的、甚至對象本身是非線性的系統(tǒng)，當(dāng)無法用狀態(tài)方程方便地描述系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)用這個(gè)方法就會遇到困難.而對于三軸衛(wèi)星姿態(tài)控制就面臨控制非線性對象這樣一個(gè)難題，這時(shí)候這種低增益方法無法直接應(yīng)用.

特征模型是吳宏鑫院士在上世紀(jì)八十年代提出的一種新的模型描述方法[8].隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)發(fā)展，被控對象的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，精確動力學(xué)建模也越來越難，而且控制器的設(shè)計(jì)希望在滿足性能指標(biāo)的要求下越簡單越好，以利于低階控制器的設(shè)計(jì).特征建模能夠根據(jù)對象動力學(xué)特征、環(huán)境特征和控制性能要求相結(jié)合來建模.這種建模方法的特點(diǎn)是：(1)在同樣的輸入控制下，對象特征模型和實(shí)際對象在輸出上是等價(jià)的(即在動態(tài)過程中能保持在允許的輸出誤差范圍內(nèi))，在穩(wěn)定情況下，輸出是等價(jià)的；(2)特征模型的形式和階次除考慮對象特征外，主要取決于控制性能要求；(3)特征模型建立的形式應(yīng)比原對象的動力學(xué)方程簡單，易于控制器設(shè)計(jì)，工程實(shí)現(xiàn)容易、方便；(4)特征建模與高階系統(tǒng)的降階模型不同，它是把高階模型有關(guān)信息都壓縮到幾個(gè)特征參量之中，并不丟失信息.通過結(jié)合特征模型和低增益飽和控制方法可以有效地解決低增益飽和控制方法的不足之處，擴(kuò)展了這種方法的應(yīng)用范圍，本文以一個(gè)衛(wèi)星對象的三軸姿態(tài)機(jī)動控制為例說明應(yīng)用方法，并仿真驗(yàn)證方法的有效性.

1 撓性衛(wèi)星動力學(xué)模型及特征建模

三軸衛(wèi)星姿態(tài)控制對象為非線性系統(tǒng)，為了應(yīng)用低增益方法進(jìn)行飽和控制器設(shè)計(jì)，首先建立其相應(yīng)的特征模型.根據(jù)特征建模理論，特征模型和原對象動力學(xué)模型具有在相同控制輸入下輸出等價(jià)的特點(diǎn)，因此可以將低增益方法應(yīng)用在二階差分方程形式的對象特征模型上.特征模型的典型形式是以一個(gè)二階時(shí)變差分方程描述[8]：

y(k+1)=f1(k)y(k)+f2(k)y(k-1)+g0(k)u(k)+g1(k)u(k-1)

(1)

根據(jù)這種模型描述方法的特點(diǎn)及結(jié)構(gòu)形式，可以進(jìn)一步設(shè)計(jì)簡單的控制器，而且通過文獻(xiàn)[9]證明了控制器對原復(fù)雜系統(tǒng)有效.

三軸穩(wěn)定的剛體衛(wèi)星動力學(xué)模型可以描述為[10]

(2)

定義衛(wèi)星三軸歐拉姿態(tài)角X=[φθψ]T，其中φ，θ，ψ分別為航天器的滾動、俯仰和偏航角.運(yùn)動學(xué)采用3-2-1轉(zhuǎn)序，得到姿態(tài)運(yùn)動學(xué)關(guān)系

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，建立以上三輸入三輸出線性定常系統(tǒng)的特征模型.

對式(3)兩邊求導(dǎo)

(4)

將式(4)代入式(2)并且左乘ST，并記

(5)

整理得三軸歐拉姿態(tài)角與力矩關(guān)系

(6)

式中M為正定矩陣.

根據(jù)特征建模機(jī)理，在系統(tǒng)采樣時(shí)間Ts情況下對式(6)進(jìn)行歐拉近似離散

式(6)所對應(yīng)特征模型

X(k)=f1(k)X(k-1)+f2(k)X(k-2)+

g0(k)T(k-1)+Δd

(7)

于是式(7)可變?yōu)?/p>

X(k)=f1(k)X(k-1)+f2(k)X(k-2)+g0(k)T(k-1)

(8)

2 低增益飽和控制方法

根據(jù)Lin[7]的低增益控制器設(shè)計(jì)理論，對于一個(gè)輸入飽和的單輸入單輸出線性系統(tǒng)

x(k+1)=Ax(k)+Bσ(u(k))

(9)

y(k)=Cx(k)

(10)

當(dāng)飽和函數(shù)σ(u)滿足下列條件：

(1)當(dāng)s≠0時(shí)，sσ(s)>0而且σ(0)=0；

(3)飽和函數(shù)是局部Lipschitz的.

而且系統(tǒng)矩陣滿足下列條件:

(1)矩陣A的特征根全都在單位圓內(nèi)或圓上；

(2)矩陣(A,B)是可控的；

(3)矩陣(A,C)是可觀測的.

那么可以通過設(shè)計(jì)線性反饋控制器使得系統(tǒng)半全局指數(shù)穩(wěn)定.

存在唯一的正定矩陣K使得下面代數(shù)Riccati方程成立

ATK(ε)A-K(ε)-ATK(ε)B(BTK(ε)B+1)-1BTK(ε)A+εE=0

(11)

而且K-ATKB(BTKB+ 1)-1BTKA是漸近穩(wěn)定的，其中ε∈(0,1].

令控制律u=-(BTKB+1)-1BTKAx(k)，則式(9)和(10)描述的系統(tǒng)將半全局指數(shù)穩(wěn)定.

根據(jù)文獻(xiàn)[7]中方法確定ε的范圍.首先給定一有界區(qū)域W?Rn，根據(jù)文獻(xiàn)[7]中引理3.2選擇c滿足條件

c≥xTK(ε)xε∈(0,1],x∈W

(12)

再根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性原理確定ε*，ε*是使下列不等式組成立的最大ε值.

(13)

則對任意ε∈(0,ε*)所設(shè)計(jì)控制律都能使得系統(tǒng)吸引域包含區(qū)域W，即達(dá)到半全局指數(shù)穩(wěn)定.

3 基于特征模型的低增益飽和控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]理論，待確定的特征模型參數(shù)形式可具體為

根據(jù)已知條件及推導(dǎo)過程求解部分參數(shù)范圍為

a11(k)∈(1.997,2)，a12(k)∈(1.99987,2)，

a13(k)∈(1.9985,2)，a21(k)∈(-1,-0.997)，

a22(k)∈(-1,-0.99987)，a23(k)∈(-1,-0.9985)，

b11(k)∈(3.118×10-8,3.167×10-8)，

b22(k)∈(2.322×10-8,2.685×10-8)，

b33(k)∈(1.642×10-8,3.786×10-8).

在上述各值的范圍內(nèi)取中間值附近一定值，可以將所得到的二階差分方程分別近似寫成滾動、俯仰、偏航三軸對應(yīng)狀態(tài)方程形式

(14)

(15)

(16)

求解下面的Riccati方程：

(17)

(18)

將所得到的控制律分別代入各軸飽和函數(shù)即可.

4 數(shù)學(xué)仿真

衛(wèi)星滾動、俯仰、偏航三軸各自機(jī)動軌跡為(單位(°))

(19)

(20)

(21)

其中t為仿真時(shí)間,采樣時(shí)間Ts=0.01s.控制輸入飽和函數(shù)形式如下(單位N·m):

(22)

(23)

(24)

這是常見的飽和環(huán)節(jié)函數(shù)，顯然符合第二部分關(guān)于飽和函數(shù)的基本假設(shè).

當(dāng)沒有輸入受限時(shí)，采用未加飽和控制的普通控制方法控制系統(tǒng)效果如圖1和圖2所示.

當(dāng)飽和環(huán)節(jié)存在時(shí)，若不用低增益方法控制，系統(tǒng)將不再收斂，如圖3和圖4所示.

通過本文所設(shè)計(jì)的基于特征模型的低增益控制方法，在飽和環(huán)節(jié)存在時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定，而且控制效果很好，如圖5和圖6所示.

圖6 低增益方法進(jìn)行飽和控制跟蹤效果

5 結(jié)束語

本文建立三軸衛(wèi)星的動力學(xué)模型并推導(dǎo)了特征模型，分析推導(dǎo)了特征模型參數(shù)范圍。給出了低增益飽和控制方法，并設(shè)計(jì)了基于特征模型的低增益飽和控制器，通過設(shè)計(jì)的控制器使輸入力矩飽和的衛(wèi)星三軸姿態(tài)機(jī)動控制收斂，仿真驗(yàn)證了控制器有效。這種基于特征模型的控制器設(shè)計(jì)方法拓展了低增益飽和控制方法的適用范圍，有效解決了一類非線性對象的飽和控制問題。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]Sontag E D, Sussmann H J. Nonlinear output feedback design for linear systems with saturating controls[C]. The 29thIEEE Conference on IEEE,Honolulu，1990

[2]Fuller A T. In-the-large stability of relay and saturating control systems with linear controllers[J]. International Journal of Control, 1969,11(4):457-480

[3]Sussmann H J, Yang Y. On the stabilizability of multiple integrators by means of bounded feedback controls[C]. The 30thIEEE Conference, Brighton, 1991

[4]Lin Z L, Saberi A. Semi-global exponential stabilization of linear systems subject to “input saturation” via linear feedbacks[J]. Systems and Control Letters, 1993, 21(3):225-239

[5]Lin Z L. Low gain feedback[M].London: Springer,1999

[6]Saberi A, Lin Z, Teel A. Control of linear systems with saturating actuators[J].Automatic Control, 1996, 41(3):368-378

[7]Lin Z L, Saberi A, Stoorvogel A A. Semi-global stabilization of linear discrete-time systems subject to input

saturation via linear feedback-an ARE-based approach[J]. Automactic Control,1996,41(8):1203-1207

[8]吳宏鑫. 全系數(shù)自適應(yīng)控制理論及其應(yīng)用[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1990

[9]吳宏鑫,胡軍,解永春. 基于特征模型的智能自適應(yīng)控制[M]. 北京:中國科學(xué)技術(shù)出版社, 2009

[10]雷擁軍,談樹萍,劉一武.一種航天器姿態(tài)快速機(jī)動及穩(wěn)定控制方法[J]. 中國空間科學(xué)技術(shù),2010,30(5):48-53

Lei Y J,Tan S P,Liu Y W.Spacecraft control method for fast attitude maneuver and stabilization[J]. Chinese Space Science and Technology, 2010,30(5):48-53