劉飛飛，張松松

(西安電子科技大學 電路CAD研究所，陜西 西安710071)

隨著電路工作頻率的升高及信號上升沿的減小，信號完整性(Signal Integrity，SI)，電源完整性(Power Integrity，PI)問題越來越突出。現代高速電路設計已不能單憑經驗來完成，必須借助EDA工具建模仿真實現。目前全波仿真工具雖然仿真精度高，但耗時大且不適于系統(tǒng)整體仿真。寬帶宏模型技術的出現為無源互連建模提供了一種高效精確的建模方法，并可獲得Spice兼容模型方便系統(tǒng)級仿真。延時宏模型(Delay－based Macromodel)是在宏模型基礎上發(fā)展而來的，主要針對電大尺寸互連建模，可以良好地建模電大尺寸互連延時特性，獲得低階宏模型以提高仿真效率。

延時提取(Delay Estimation)是延時宏模型建模的首要步驟，延時估計的精度直接影響延時宏模型建模的精度及模型復雜度。目前延時提取方法主要包括:時域中Hilbert變換法［1－2］和Wavelet變換法［3］、頻域中Gabor變換法［4－5］。Hilbert變換法利用最小相位系統(tǒng)概念，忽略了高階反射項，僅提取單個主要延時項。而實際中延時宏模型包含多個延時項，因此這種方法提取延時對于延時宏模型建模是不充分的。Wavlet變換法及Gabor變換法，采用時－頻域分解思想，可以實現多個延時項的提取，但是二維變換算法的性質決定其較為耗時。

針對目前延時提取中存在的缺陷，本文提出一種基于傅里葉反變換(Inverse Fourier Transform，IFT)的方法，主要用于從頻域離散數據中提取多個延時項。經驗證本方法較好地實現多個延時項提取并大幅提高了計算效率。

1 方法基本原理

1.1 基于Gabor變換的延時提取方法

Gabor變換法提取延時由S.Grivet－Talocia于2006年提出［4］，主要針對電大尺寸互連頻域離散數據延時宏模型建模中的延時項估算。Gabor變換是一種時－頻域分解，其算法實現流程［5］如下:

(1)對互連頻域離散數據H(jω)進行頻域Gabor變換，獲得時－頻域分解二維數據

其中基函數為

基函數已經經過歸一化。其中τ在物理意義上代表著系統(tǒng)時間或延時。實際計算中積分上下限按照頻域數據有效帶寬Ω計算。

(2)對式(1)所得結果沿頻域有效帶寬取平均值，從而將二維的時－頻域結果轉化為一維時域結果

上式中所得結果具有時域瞬態(tài)功率特性，但又不完全是時域瞬態(tài)功率。

(3)對式(2)所得具有時域瞬時功率特性結果進行局部峰值能量量化，即沿每個局部峰值兩邊的局部谷值構成的時域區(qū)間進行積分，這樣積分所得結果具有能量物理意義

其中，m表示第m個局部峰值。

(4)對于式(3)獲得的m個峰值及其量化能量，按照其能量大小，設定閾值δ，進行主要延時項篩選

通常閾值δ較小，被忽略的延時項能量貢獻小，不會對最終延時宏模型精度造成明顯影響，然而延時項減少后，所得宏模型仿真效率將得到較大提升。

基于Gabor變換的頻域延時提取方法中主要結果如圖1所示。

圖1 Gabor變換法提取延時流程主要結果圖

圖1(a)代表時－頻域坐標下的Gabor變換后所得數據，其具有能量密度的意義。圖中顏色越亮代表能量密度越高。圖1(b)中曲線具有類似時域瞬態(tài)功率的意義，其局部峰值處表征此時刻能量比較集中?？梢钥闯?圖1(a)與圖1(b)能量密集的時刻點是相對應的，這就是系統(tǒng)延時項對應時刻。

1.2 基于IFT的延時提取方法

由于Gabor變換法中采用了二維時－頻域分解，這正是其算法耗時的根源所在。通過對其算法流程研究，其時－頻域分解中獲得大量冗余信息，而真正用于延時提取的是沿頻域帶寬取均值后所得類似瞬時功率的時域數據。由此啟發(fā)可以繞過二維時－頻域分解，通過IFT法，直接獲得其時域瞬時功率用以提取主要延時項。本文提出的基于IFT的頻域延時提取方法流程具體如下:

(1)對原始頻域離散數據作傅里葉反變換，因實際中頻域數據具有一定帶寬限制，即在其全頻帶響應上添加一個門函數

其中，Ω為頻域數據帶寬;GΩ(ω－ω0)表示中心頻率位于ω0;門寬度為Ω的頻域門函數;H(jω)為理想全頻帶響應，其與GΩ(ω－ω0)乘積便是實際中頻域離散數據。由IFT性質可得

式中，h(t)為全頻帶響應H(jω)的傅里葉反變換，中括號內的Sinc函數GΩ(ω－ω0)為門函數的傅里葉反變換。對于電大尺寸無損互連來說，其全頻帶時域響應在延時項處對應一個脈沖波形，如圖2(a)所示。實際中的互連在其延時項處對應的不再是一個脈沖，而是退化為很窄的尖峰。式(5)中門函數的出現，即頻域帶寬特性，將在時域中引入Sinc函數，從而把延時項處尖峰值進一步展寬，如圖2(b)所示。并且在各延時項之間由Sinc函數旁瓣疊加產生許多噪聲峰值，對延時項處峰值的識別造成干擾。因此必須進行適當的后處理，從眾多噪聲干擾峰值中提取主要延時項。同時可以觀察到圖2(b)中延時項處的峰值能量比非延時項處能量大，這正是本文提出方法可以有效提取延時項的原因。

(2)提取時域瞬時功率的局部峰值，采取與Gabor變換法類似的峰值能量量化措施，如下式

圖2 電大尺寸互連時域響應

(3)對量化后能量包絡曲線進行峰值提取以獲得對應延時項

其中，En與tn分別表示二次峰值提取得到的第n個局部峰值對應能量量化值與時刻點。

(4)設定閾值選取主要延時項

其中，δ為設定閾值，通常此閾值范圍比較小，可以依照建模精度來選擇，一般選擇范圍0.01～0.05。

在本方法流程中，注意到因頻域帶限效應在時域中引入Sinc函數使延時項處尖峰展寬，而頻域帶寬越窄其時域展寬特性越明顯，甚至會出現主瓣疊加效應從而嚴重干擾延時項提取。因此為提高算法精度及魯棒性，本文進一步研究了該算法的適用條件，在此給出一個粗略的充分條件

其中，Ω表示頻域數據帶寬;τ表示互連基本延時。τ可通過下式進行估算

其中，l表示互連等效物理長度;c為真空中光速;εr為互連線中介質相對介電常數。在滿足條件式(10)的情況下，可以保證頻域帶限特性在時域中引入的Sinc函數第一旁瓣不重疊，如圖3所示，這樣可以保證主要延時項的估算精度。

圖3 基于傅里葉反變換的延時提取方法適用條件

圖3所示頻域帶限特性在時域延時項處引入Sinc函數效果，如圖中虛線與點線分別為延時項與處的Sinc函數。保持其第一旁瓣不重疊時獲得的疊加后瞬時功率曲線為實線，其在延時項處對應一個較大峰值。雖然因疊加效果造成處峰值偏移，但因其能量貢獻較小，仍然可以保證所提取延時項的精度足以滿足延時宏模型建模要求。

2 實驗驗證

根據提出的延時提取方法，選取一個不連續(xù)長傳輸線的例子來驗證其延時提取效果，并與基于Gabor變換的延時提取方法進行對比。通過HFSS建模仿真圖4所示不連續(xù)長傳輸線模型，獲得0.05～10 GHz范圍內的頻域響應Y參數離散數據。其中傳輸線長120 mm，線寬1 mm，在其中心60 mm處有一過孔，PCB參考平面尺寸為50 mm×120 mm。

圖4 不連續(xù)長傳輸線模型

將HFSS仿真所得Y參數離散數據分別進行Gabor變換與傅里葉反換提取延時。由于本模型滿足對稱互易特性，即Y21=Y12，Y11=Y22，故只對其中的Y11，Y21參數進行延時提取即可獲得整個二端口網絡延時結果。兩種延時提取方法對比結果如圖5和圖6所示。

圖5 Y11延時提取結果對比圖

圖6 Y21延時提取結果對比圖

如圖5和圖6所示，基于Gabor變換的延時提取方法獲得的時域功率曲線(黑線)與本文提出方法獲得的時域瞬時功率曲線具有高度一致性，并在相應延時項處都存在較大尖峰值。同時觀察到本文所提方法在延時項附近有較多旁瓣干擾峰值的存在。圖5和圖6所示兩種方法所提取延時結果幾乎完全重合。具體提取延時項值及兩種方法在計算速度上的對比如表1所示。

表1 兩種延時提取方法結果對比

如表1所示，文中提出的方法與基于Gabor變換的延時提取方法相比，所提取延時項結果一致。但在計算速度方面，本文方法具有明顯優(yōu)勢，約為Gabor變換法速度的580倍。由于Gabor變換屬于時－頻域二維分解，每一個時間點對應一次加窗傅里葉反變換。因此理論上利用Gabor變換提取延時的算法復雜度是本文方法的N倍(N為時域數據點數)。Gabor變換法的計算復雜度與精度之間存在矛盾，實際中必須以算法速度來換取延時提取的精度，這是Gabor變換法的另一弊端所在。而本文提出的方法不存在這種矛盾，采用傅里葉反變換，同時計算獲得所有時間點信息，計算復雜度主要取決于頻域數據點數。

3 結束語

文中提出了一種針對頻域離散數據的高效延時提取方法，并進行了實驗驗證。本方法基于傅里葉反變換(IFT)，與基于時－頻域分解的方法不同，其計算復雜度幾乎不受時域點數影響，主要取決于頻域響應數據點數。而其延時提取精度主要取決于頻域數據帶寬及時域采樣間隔與點數。本文在計算精度與速度上與基于Gabor變換的延時提取方法作了對比，對比結果表明本方法在提取延時效率方面的優(yōu)勢明顯，適合頻域延時宏模型建模中延時項的提取，會在較大程度上提高延時宏模型建模的整體效率，具有一定的實用價值。

［1］MANDREKAR R，SWAMINATHAN M.Causality enforcement in transient simulation of passive networks through delay extraction'［C］.9th IEEE Workshop Signal Propagate，2005:25－28.

［2］MANDREKAR R，SWAMINATHAN M.Delay extraction from frequency domain data for causal macro－modelling of passive networks［C］.IEEE International Symposium on Circuits and Systems，2005:5758－5761.

［3］CHAREST A，NAKHLA M S，ACHAR R，et al.Time domain delay extraction－based macromodeling algorithm for longdelay networks［C］.IEEE Transactions on Advanced Packaging，2010:219－235.

［4］GRIVET TALOCIA S.Delay based macromodels for long interconnects via time－frequency decompositions［C］.IEEE Topical Meeting Electrical Performance Electronic Package，Scottsdale，2006:199－202.

［5］CHINEA A，TRIVERIO P，GRIVET－TALOCIA S.Delaybased macromodeling of long interconnects from frequencydomain terminal responses［J］.IEEE Transactions on Advanced Packaging，2010，13(1):246－256.