桑 波

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

當(dāng)線性孤立奇點(diǎn)是中心時(shí)其非線性項(xiàng)的影響可使相圖是非退化中心或是穩(wěn)定焦點(diǎn)或不穩(wěn)定焦點(diǎn)，這類判定問(wèn)題稱為中心焦點(diǎn)問(wèn)題。自1904年Dulac研究二次系統(tǒng)的中心判定以來(lái)，中心焦點(diǎn)問(wèn)題受到一些學(xué)者的廣泛關(guān)注。 它對(duì)Arnold問(wèn)題、可積性問(wèn)題和Hilbert第十六問(wèn)題后半部分的解決都具有重要意義。 Bautin完整解決了二次系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)判定問(wèn)題； Sibirskii 解決了缺少二次項(xiàng)的三次系統(tǒng)的中心判定問(wèn)題；Sadovskii[1]利用Cherkas方法解決了一類可約化為L(zhǎng)iénard系統(tǒng)的三次系統(tǒng)的中心判定問(wèn)題。但對(duì)于一般三次系統(tǒng)及三次以上系統(tǒng)，目前還沒有徹底的結(jié)論。

Zoladek[2]將中心問(wèn)題推廣到具有p:-q共振奇點(diǎn)的復(fù)多項(xiàng)式微分系統(tǒng)：

(1)

其中p,q∈N,(p,q)=1,x,y,t∈C, 而且

盡管對(duì)于p:-q=1:-1,p:-q=1:-2,p:-q=1:-3,p:-q=2:-3,p:-q=3:-q,p:-q=1:-q等情形下的特殊多項(xiàng)式系統(tǒng)的可積性問(wèn)題，已有大量的研究成果[3-11]，但對(duì)于高次多項(xiàng)式系統(tǒng)的可積性問(wèn)題，仍需作進(jìn)一步研究。

1 廣義奇點(diǎn)量算法及引理

對(duì)于系統(tǒng)(1)，由文[12]，可逐項(xiàng)確定形式冪級(jí)數(shù)

(2)

使得

(3)

其中Wn稱為系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)的第n階廣義奇點(diǎn)量。

下面介紹我們計(jì)算廣義奇點(diǎn)量的方法。對(duì)(3)式中間部分合并同類項(xiàng)得：

Vn(xqyp)n+1+h.o.t.

其中Vn,fl,j,f(p+q)(n+1),j都是關(guān)于諸參數(shù)ak,j,bk,j和諸變量Bk,j的多項(xiàng)式，且關(guān)于諸變量Bk,j是線性的；h.o.t.表示次數(shù)高于(p+q)(n+1)的項(xiàng)。

一方面，系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)的各階廣義奇點(diǎn)量都為零是系統(tǒng)在原點(diǎn)可積的充要條件；另一方面由Hilbert有限基定理，所有廣義奇點(diǎn)量生成的有理數(shù)域上的多項(xiàng)式理想是有限生成的，因此可積性問(wèn)題可在有限步內(nèi)解決。

考慮右端函數(shù)為n次復(fù)多項(xiàng)式的二維微分自治系統(tǒng)：

(4)

定義1[12]設(shè)f(x,y)是一個(gè)m>0次多項(xiàng)式，如果存在多項(xiàng)式h(x,y), 使得

(5)

則稱f=0是系統(tǒng)(4)的m次不變代數(shù)曲線，并稱f是系統(tǒng)(4)的代數(shù)積分，h稱為f的余因子。

引理1[12]設(shè)f1,f2,…,fm是系統(tǒng)(4)的m個(gè)獨(dú)立的代數(shù)積分，滿足

(6)

如果存在一組不全為零的復(fù)常數(shù)α1,α2,…,αm, 使得

(7)

引理2[13]系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)可積的充要條件是該系統(tǒng)存在形如(2)的形式首次積分。

2 主要結(jié)果

考慮一類以原點(diǎn)為4 ∶-5共振奇點(diǎn)的復(fù)三次Lotka-Volterra系統(tǒng)：

(8)

通過(guò)計(jì)算，我們得到系統(tǒng)(8)的前8階廣義奇點(diǎn)量W1,W2,…,W8，其中

W2k+1=0,k=0,1,2,3;

而第4階、第6階、第8階廣義奇點(diǎn)量的項(xiàng)數(shù)分別多達(dá)79項(xiàng)，179項(xiàng)，319項(xiàng)，在此不便給出。但讀者可根據(jù)上節(jié)廣義奇點(diǎn)量的計(jì)算方法，并通過(guò)符號(hào)計(jì)算軟件Maple 7以上版本編程得到這些廣義奇點(diǎn)量。

令I(lǐng)8=為廣義奇點(diǎn)量生成的多項(xiàng)式理想。首先我們使用符號(hào)計(jì)算軟件 Singular中的命令minAssGTZ[16]得到在有限域Z32003上多項(xiàng)式理想I8的最小相伴素理想分別為

J1=,

J2=,

J3=,

J4=,

J5=,

J6=,

J8=

然后根據(jù)文[17]的有理重構(gòu)算法，我們得到在有理數(shù)域上多項(xiàng)式理想I8的最小相伴素理想分別為

S1=,

S2=,

S3=,

S4=,

S5=,

S6=,

S8=

定理1 系統(tǒng)(8)在原點(diǎn)可積的必要條件是下列八組條件之一成立：

(i)b1=0;

(ii)a2=0;

(iii)a1=4/3b1;

(iv)a1=2b1,a2=6/5b2;

(v)a1=3/2b1,a2=6/5b2;

(vi)a2=-2b2,b1=7/4a1;

除條件(vii)外， 其它條件也是充分的。

證明(必要性) 只需求解多項(xiàng)式集G={W2,W4,W6,W8}，但由于這一過(guò)程非常復(fù)雜，我們無(wú)法在有理數(shù)域上直接給出零點(diǎn)分解。

(充分性)當(dāng)條件(i)成立時(shí)，系統(tǒng)(8)化為

(9)

系統(tǒng)(9)以函數(shù)

為積分因子，因此系統(tǒng)(9)在原點(diǎn)可積。

當(dāng)條件(ii)成立時(shí)，系統(tǒng)(8)化為

(10)

系統(tǒng)(10)以函數(shù)

為積分因子，因此系統(tǒng)(10)在原點(diǎn)可積。

當(dāng)條件(iii)成立時(shí)，系統(tǒng)(8)化為

(11)

(12)

設(shè)v1(x)=0，通過(guò)求解遞推方程并令積分常數(shù)為1可得

(13)

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n≥2時(shí)，

(14)

其中P2n+1(x)表示次數(shù)為2n+1次的多項(xiàng)式。

當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立。

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，

(15)

其中P2k+1(x)表示次數(shù)為2k+1次的多項(xiàng)式。

將n=k+1和(15)式代入遞推方程，我們得到

(16)

其中

2kP2k+1(x)b1(-b2+2a2)x2+

為2k+3次多項(xiàng)式。求解方程(16)并令積分常數(shù)為零，我們得到vk+1(x)具有如下形式

(17)

其中P2k+3(x)表示次數(shù)為2k+3次的多項(xiàng)式。即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立。

綜上，系統(tǒng)(11)具有形式首次積分

其中P2k+1(x)為2k+1次多項(xiàng)式，從而由引理2，系統(tǒng)(11)在原點(diǎn)可積。

當(dāng)條件(iv)成立時(shí)，系統(tǒng)(8)化為

(18)

同情形(iii)的證明類似，利用數(shù)學(xué)歸納法可證系統(tǒng)(18)具有形式首次積分

其中P2k(y)為2k次多項(xiàng)式，P4(y)=y4。 從而由引理2，系統(tǒng)(18)在原點(diǎn)可積。

當(dāng)條件(v)成立時(shí)，系統(tǒng)(8)化為

(19)

同情形(iii)的證明類似，利用數(shù)學(xué)歸納法可證系統(tǒng)(19)具有形式首次積分

其中P2k(y)為2k次多項(xiàng)式 ，P4(y)=y4。從而由引理 2，系統(tǒng)(19)在原點(diǎn)可積 。

當(dāng)條件(vi)成立時(shí)，系統(tǒng)(8)化為

(20)

同情形(iii)的證明類似，利用數(shù)學(xué)歸納法可證系統(tǒng)(20)具有形式首次積分

其中P4k-3(x)為4k-3次多項(xiàng)式，P5(x)=x5。從而由引理2，系統(tǒng)(20)在原點(diǎn)可積。

當(dāng)條件(vii)成立時(shí)，系統(tǒng)(8)化為

(21)

對(duì)于系統(tǒng)(21)，我們沒有找到其形式首次積分或積分因子，但通過(guò)計(jì)算可知其前30階廣義奇點(diǎn)量全部為零，因此我們猜想系統(tǒng)(21)在原點(diǎn)可積。

當(dāng)條件(viii)成立時(shí)，系統(tǒng)(8)化為

(22)

系統(tǒng)(22)以函數(shù)

為積分因子，因此系統(tǒng)(22)在原點(diǎn)可積。

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