王友保 祝 瀟

(1.南京信息工程大學(xué)江蘇省氣象傳感網(wǎng)技術(shù)工程中心，江蘇 南京 210044； 2.香港中文大學(xué)電子工程系，香港 999077)

引 言

在頻域上預(yù)測(cè)任意形狀導(dǎo)體的雷達(dá)散射截面，矩量法(Method of Moments，MoM)[1]是一種被廣泛采用的有效工具，但MoM只能逐個(gè)頻點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，其工作效率不高，因此許多科研人員一直在開(kāi)發(fā)電場(chǎng)積分方程MoM的快速求解技術(shù)[2-4].另外，特征函數(shù)具有一定的物理意義，研究人員常常利用它們對(duì)電磁問(wèn)題進(jìn)行分析[5-8].

基于在感興趣的源區(qū)域和場(chǎng)區(qū)域稻垣模具有正交性和完備性的特點(diǎn)[5]，提出了在一個(gè)頻帶上快速預(yù)測(cè)導(dǎo)體雷達(dá)散射截面的稻垣模和廣義漸近波形估計(jì)(General Asymptotic Waveform Evaluation，GAWE)[9]的混合技術(shù).在這個(gè)新技術(shù)中，用稻垣模作為基矢構(gòu)建矩陣方程的解空間，方程的解可通過(guò)一組系數(shù)將這些基矢組合得到，而這組系數(shù)在外推頻點(diǎn)通過(guò)廣義漸近波形估計(jì)技術(shù)得到.文中給出的幾個(gè)算例結(jié)果表明新算法是有效準(zhǔn)確的.

1 理論分析

導(dǎo)體表面的電場(chǎng)積分方程可以寫(xiě)成下列矩陣形式[10]

Z(k)x(k)=v(k)，

(1)

式中：Z(k)是已知的阻抗矩陣；v(k)是已知的入射場(chǎng)矢量；k是波數(shù).在求解方程(1)后，可得導(dǎo)體表面電流J為：

(2)

式中：xn是方程(1)中未知量x(k)的第n個(gè)分量；N是未知量總數(shù)；Fn是RWG (Rao Wilton Glisson)[10]矢量基函數(shù).通過(guò)電流J可確定散射電場(chǎng)，從而算出雷達(dá)散射截面(Radar Cross Section，RCS).

1.1 稻垣模

方程(1)可以變形為

Z(k)HZ(k)x(k)=Z(k)Hv(k)，

(3)

式中：Z(k)H是Z(k)的伴隨算子，上標(biāo)H表示矩陣的共軛和轉(zhuǎn)置.算子Z(k)HZ(k)是厄密特(Hermitian)算子，令M(k)=Z(k)HZ(k)，可選取電流gi滿足下列方程

M(k)gi=λigi，

(4)

式中：M(k)為特征值方程；λi是特征值；gi是特征函數(shù)(又稱稻垣模).厄密特算子M(k)的特性確保了特征值是實(shí)的且是半正定的，特征函數(shù)在源區(qū)是正交完備的[5]，因此方程(3)的解可寫(xiě)為

(5)

在給定頻點(diǎn)k0處，解空間G(k)的基矢(稻垣模)gi(k)可以寫(xiě)為[11]

gi(k)=gi(k0)+Vci(k)gi(k0),

i=1,2,…，N，

(6)

式中Vci(k)是k的函數(shù).將式(6)代人式(5)，可得

=G(k0)s(k)

(7)

式中

s(k)=[c1(1+Vc1(k)),c2(1+Vc2(k)),

…,cN(1+VcN(k))]T.

因此，在得到k0處的解空間G(k0)后，通過(guò)系數(shù)矢量s(k)可以得到方程(1)的解.

1.2 GAWE技術(shù)

將式(7)代入方程(1)有

Z′(k)s(k)=v(k)，

(8)

式中，Z′(k)=Z(k)G(k0)，求解方程(1)中x(k)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求解方程(8)中的s(k).根據(jù)GAWE技術(shù)[9]，在k0附近，方程(8)的解s(k)可以表示如下

(9)

式中：b0是每個(gè)分量均為1的N維列矢量；a0,a1,…,aL和b1,…,bM均為N維列矢量，并且由GAWE技術(shù)確定.詳細(xì)求解過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[9].另外，對(duì)于一個(gè)固定的導(dǎo)數(shù)階數(shù)L+M，當(dāng)取L=M或L=M+1時(shí)，誤差是最小的[12].一旦求得s(k)，通過(guò)式(8)就給出了x(k)，從而根據(jù)式(2)就可以給出導(dǎo)體表面的電流分布，進(jìn)而每個(gè)頻點(diǎn)的RCS就可以被確定了.

2 數(shù)值分析

本節(jié)算例均以頻率步長(zhǎng)為0.1 GHz，分別對(duì)6階導(dǎo)數(shù)(L=3,M=3)和8階導(dǎo)數(shù)(L=4,M=4)情況下的單站后向RCS的頻率響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算.入射平面波電場(chǎng)E的極化方向設(shè)定為y軸方向，傳播方向設(shè)定為k，相應(yīng)磁場(chǎng)H的極化方向沿y軸方向，入射波均畫(huà)在相應(yīng)算例頻率響應(yīng)圖中.為了比較，同時(shí)給出了通常的外推技術(shù)漸近波形估計(jì)(Asymptotic Waveform Evaluation，AWE)的結(jié)果和矩量法方法的結(jié)果.所有的計(jì)算都是在同一臺(tái)計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的.該計(jì)算機(jī)配置為Dell Sever PE6800，Intel(R) Xeon(TM)，3.00 GHz， 2.99 GHz ，31.9 GB of RAM.

2.1 算例1

將中心有一半徑為0.7 cm圓孔的方導(dǎo)體板(2 cm×2 cm)離散成712個(gè)小三角區(qū)域，這樣便有1 004個(gè)未知電流系數(shù).展開(kāi)頻點(diǎn)選在15 GHz，研究的頻率范圍為10～20 GHz.對(duì)于6階導(dǎo)數(shù)、8階導(dǎo)數(shù)情況的運(yùn)算，新技術(shù)計(jì)算耗時(shí)為203 s和297 s、 AWE技術(shù)計(jì)算耗時(shí)為188 s和280 s， MoM方法計(jì)算耗時(shí)為995 s.顯然，用新技術(shù)、AWE技術(shù)預(yù)測(cè)RCS的計(jì)算速度要比MoM方法快得多.這是因?yàn)镸oM方法中，每個(gè)頻點(diǎn)均需求解矩陣方程，得到電流分布后，再算出RCS；而在AWE方法中，只需在展開(kāi)頻點(diǎn)解矩陣方程，得到匹配系數(shù)，進(jìn)而求得各個(gè)頻點(diǎn)的電流分布及RCS；類似地，在新方法中，也只需在展開(kāi)頻點(diǎn)解矩陣方程，得到作為解空間基矢的稻垣模和匹配系數(shù)，進(jìn)而求得各個(gè)頻點(diǎn)的電流分布及RCS.由此可見(jiàn)，MoM方法因多次求解矩陣方程，求矩陣逆的過(guò)程中要花費(fèi)大量時(shí)間，所以，在預(yù)測(cè)一定頻率范圍的RCS時(shí)，MoM方法比AWE技術(shù)、新技術(shù)運(yùn)算均要慢得多.另外，新技術(shù)與傳統(tǒng)AWE技術(shù)相比，在同階導(dǎo)數(shù)情況下，運(yùn)算速度略慢，但外推頻率范圍更大(參見(jiàn)圖1).造成上述情況的原因是在新技術(shù)中需要計(jì)算展開(kāi)頻點(diǎn)處的稻垣模，從而比AWE技術(shù)多花一些時(shí)間；至于新技術(shù)展開(kāi)頻率范圍更大的原因在于稻垣模是根據(jù)矩陣方程中的阻抗矩陣求得的，阻抗矩陣元素與散射物的幾何特性有關(guān)，也就是說(shuō)，稻垣模帶有散射物的幾何特征信息，由此導(dǎo)致新技術(shù)比AWE技術(shù)外推頻率范圍更大.從圖1也可看出，用新技術(shù)進(jìn)行頻率外推是有效的.

圖1 帶孔方板的單站RCS頻率響應(yīng)

2.2 算例2

考慮一個(gè)由兩塊1 cm×1 cm導(dǎo)體方板組成的60°角板的散射情況.將該角板表面剖分為632個(gè)三角形子區(qū)域，相應(yīng)有918個(gè)電流未知系數(shù).頻率展開(kāi)點(diǎn)選在25 GHz，研究的頻率范圍為15～40 GHz.對(duì)于6階導(dǎo)數(shù)、8階導(dǎo)數(shù)情況的運(yùn)算，新技術(shù)計(jì)算耗時(shí)為155 s和 225 s、 AWE技術(shù)計(jì)算耗時(shí)為141 s和 207 s， MoM方法計(jì)算耗時(shí)為1 739 s.數(shù)值結(jié)果參見(jiàn)圖2，該算例所得結(jié)論類似帶孔導(dǎo)體方板算例1的結(jié)論.

圖2 角板的單站RCS頻率響應(yīng)

2.3 算例3

分析一個(gè)1 cm×1 cm×1 cm立方導(dǎo)體的散射情況.將該立方導(dǎo)體表面剖分為588個(gè)三角形子區(qū)域，相應(yīng)有882個(gè)電流未知系數(shù).頻率展開(kāi)點(diǎn)選在15 GHz，研究的頻率范圍為2～30 GHz.對(duì)于6階導(dǎo)數(shù)、8階導(dǎo)數(shù)情況的運(yùn)算，新技術(shù)計(jì)算耗時(shí)為131 s和 186 s、 AWE技術(shù)計(jì)算耗時(shí)為121 s和 171 s， MoM方法計(jì)算耗時(shí)為1 155 s.數(shù)值結(jié)果參見(jiàn)圖3，該算例所得結(jié)論類似上述兩個(gè)算例的結(jié)論.

圖3 立方體的單站RCS頻率響應(yīng)

3 結(jié) 論

提出了將稻垣模與GAWE技術(shù)相結(jié)合的快速分析任意形狀導(dǎo)體RCS的綜合技術(shù).從所給的算例來(lái)看，新技術(shù)是一個(gè)有效、準(zhǔn)確的算法.另外，需特別強(qiáng)調(diào)的是雖然數(shù)值最終結(jié)果給出的是RCS的頻率外推，但實(shí)際上在此之前，首先要進(jìn)行稻垣模的頻率外推，這就暗示了帶有一定物理意義的稻垣模分析其他電磁問(wèn)題時(shí)也將會(huì)有所幫助.

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