史 超，譚 楊，郭子君

(1．華南農(nóng)業(yè)大學應用數(shù)學研究所，廣東 廣州 510642；2．銅仁職業(yè)技術(shù)學院，貴州 銅仁 554300)

生物種群的狀態(tài)特征分析是數(shù)學生態(tài)學的中心工作之一。在數(shù)學生態(tài)學的研究中，種群的持續(xù)生存一直以來都是一個很受關(guān)注的重要問題。自從Lotka和Volterra提出標準的兩種群Lotka-Volterra系統(tǒng)以來，已經(jīng)有很多學者對此進行了大量的研究，并得到了很多研究成果。對于這個系統(tǒng)，如果其中的a12>0,a21<0，這就是標準的Lotka-Volterra型捕食者—食餌系統(tǒng)。近年來根據(jù)生物學和生理學中研究的數(shù)據(jù)表明：一個合乎實際且一般的捕食者—食餌系統(tǒng)模型應基于“比率依賴”理論。所謂“比率依賴”是指捕食者種群的平均增長率應與食餌種群密度及捕食者種群密度之比的函數(shù)有關(guān)?；诒嚷室蕾嚨牟妒痴摺仇D系統(tǒng)模型越來越受到數(shù)學生態(tài)學工作者的重視，在文[1]中Arditi和Ginzburg最早研究了基于比率依賴的捕食者-食餌系統(tǒng)模型，在文[2]中研究了基于比率依賴的具時滯的捕食者-食餌系統(tǒng)解的周期性，在文[3]中研究了在有時滯的情況下兩種群基于比率依賴的捕食者-食餌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和持續(xù)生存的條件,而文[4]則研究了在有時滯的情況下多種群基于比率依賴的捕食者-食餌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和持續(xù)生存的條件。

(1)

一般地，種群系統(tǒng)所處的環(huán)境是隨機變化的，環(huán)境中的許多因素都隨時間的改變而隨機地變化，種群系統(tǒng)狀態(tài)也就會受到環(huán)境隨機噪聲的影響。因此我們必須考慮種群系統(tǒng)所處環(huán)境的隨機性，隨機微分方程理論給我們提供了隨機環(huán)境下兩種群捕食者-食餌系統(tǒng)分析的重要理論基礎(chǔ)。文獻[5]研究了隨機Lotka-Volterra模型的性質(zhì)，文[6]研究了環(huán)境噪聲下兩種群系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有界性，文[7]研究了在有時滯的情況下隨機捕食者-食餌系統(tǒng)的全局正解、隨機最終有界等性質(zhì)，文[8]研究了在有時滯的情況下隨機多種群系統(tǒng)的全局正解、隨機最終有界和漸近穩(wěn)定等性質(zhì)。在文[9]中，我們研究了基于比率依賴的兩種群捕食者-食餌的隨機系統(tǒng)，得到了全局正解和解的有界性。到目前為止，還沒有文獻涉及到基于比率依賴的隨機兩種群捕食者-食餌系統(tǒng)解的漸近性質(zhì)。

在本文中，我們運用隨機微分方程的理論來討論隨機環(huán)境下基于比率依賴的兩種群捕食者-食餌系統(tǒng)解的幾個漸近性質(zhì)。

1 基礎(chǔ)知識

(2)

其中a,b,c,d,p,m為正常數(shù)，σ=(σij)2×2是隨機噪聲密度系數(shù)矩陣。為討論隨機干擾對種群系統(tǒng)的影響，假設(shè)(H1)σ11>0,σ22>0,σ12≥0,σ21≥0。 在文獻[9]中，我們證明了關(guān)于模型(2)解的存在唯一性的如下定理。

在模型(2)中，若取

a=0.1,b=0.05,c=0.02,m=0.4,d=0.08,p=0.01,σ11=0.01,σ12=0.02,σ21=0.02,σ22=0.01,易驗證假設(shè)條件(H1)成立，取初值x(0)=(x1(0),x2(0))=(5,5)，步長Δt=0.001，x1(t)和x2(t)的軌道模擬圖如圖1所示。

圖1 假設(shè)(H1)下模型的全局解的軌道模擬Fig.1 The pathwise of the global solution of (1) under the hypothesis (H1)

定理1和圖1都說明了系統(tǒng)(2)中所研究生物種群受到隨機環(huán)境干擾時，不論這個干擾多么小，模型(2)都不會出現(xiàn)爆炸解。

2 隨機最終有界

在本節(jié)中，我們將討論系統(tǒng)(2)的隨機最終有界性質(zhì)。首先我們給出隨機最終有界的定義[8]：

隨機最終有界說的是種群規(guī)模在大概率下低于某個值，不會發(fā)生爆發(fā)。下面給出它的證明。

(3)

d[etV(x(t))]=etV(x(t))dt+etdV(x(t))=

[et(LV(x(t))+V(x(t)))]dt+

(4)

其中:

(5)

(6)

對每個整數(shù)n≥|x(0)|,定義停時ρn=inf{t∈R+:|x(t)|≥n},

于是有

Ε(etV(x(t∧ρn)))=V(x(0))+

(7)

由式(6)-(7)得

etΕ(V(x(t∧ρn)))≤V(x(0))+ket

(8)

令n→∞得

etΕ(V(x(t)))≤V(x(0))+ket

兩邊同時除以et，得

ΕV(x(t))≤V(x(0))e-t+k

對任意的xi>0(i=1,2)，有

得

于是有

(9)

證明在引理3 中令θ=1/2,存在M>0使得

(10)

對任意的ε>0，令H=M2/ε2，則由Chebyshev不等式有

(11)

于是

即

(12)

證畢。

由引理3和定理4可稱系統(tǒng)(2)是隨機最終有界的。

3 漸近矩估計

由于無法獲得解析解，漸近矩估計說明的是解的平均值(相對時間t)的變化特征。

對于模型(2)，我們有關(guān)于漸近矩估計定理如下。

證明在式(3)中，容易得

(13)

(14)

(15)

由式(13)-(15)得

(16)

(17)

(18)

兩邊同時除以t得到

(19)

則有

(20)

因此得證。

4 軌道估計

由于無法獲得解析解，軌道估計說明的是依概率1下，解(軌道) (相對時間t)的變化特征。對于模型(2)，我們有關(guān)于軌道估計定理如下。

(21)

(22)

給定任意的ε∈(0,1)和θ>1,對于每一個正數(shù)k≥1,根據(jù)指數(shù)鞅不等式有

由Borel-Cantelli引理可知,存在Ωi?Ω滿足P(Ωi)=1,(i=1,2)且對任意的ω∈Ωi能找到一個整數(shù)ki=ki(ω)(i=1,2)使得,對所有的0≤t≤k和k≥ki(ω)有

則方程(21)-(22)可變?yōu)?/p>

(23)

(24)

對于任意的ω∈Ωi(i=1,2),當0≤t≤k和k≥ki(ω)(i=1,2)時，式(23)-(24)可以改寫成

(25)

(26)

存在正常數(shù)K,使

(27)

因此,對于任意給定的ω∈Ω0,如果k-1≤t≤k和k≥k0(ω)

(28)

則

(29)

在模型(2)中，取兩組值，

第一組值：a=0.08,b=0.03,c=0.02,m=0.02,d=0.03,p=0.01,σ11=0.02,σ12=0.01,σ21=0.03,σ22=0.025；

第二組值：a=0.1,b=0.05,c=0.02,m=0.4,d=0.08,p=0.01,σ11=0.01,σ12=0,σ21=0,σ22=0.01,

圖2 假設(shè)(H1)下軌道模擬under the hypothesis (H1)

參考文獻：

[1] ARDITI R, GINZBURG L R. Coupling in predator-prey dynamics: ratio-dependence[J]. Journal of Theoretical Biology, 1989, 139:311-326.

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[3] XU R, DAVIDSON F A, CHAPLAIN M A J. Persistence and stability for a two-species ratio-dependent predator-prey system with distributed time delay [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2002, 269:256-277.

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[7] ARIFAH B, MAO X R. Stochastic delay Lotka-Volterra model [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2004, 292:364-380.

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[9] 郭子君. 基于比率依賴的兩種群捕食者-食餌系統(tǒng)的隨機模型[J].中山大學學報：自然科學版, 2010,49(2):48-53.