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        中考早知道

        2013-04-12 00:00:00曹國婷
        初中生世界·八年級 2013年10期

        “軸對稱圖形”這一章涉及的知識點是各地中考的必考內(nèi)容,其中“軸對稱圖形的概念和性質(zhì)”、“線段垂直平分線的性質(zhì)”、“角平分線的性質(zhì)”、“等腰三角形的性質(zhì)和判定”更是考查的重點.

        例1 (2011·四川廣安)下列幾何圖形:①角;②平行四邊形;③扇形;④正方形.其中軸對稱圖形是( ).

        A.①②③ B.②③④

        C.①③④ D.①②③④

        【解析】C.本題考查了軸對稱圖形的概念.此類題型在中考試題中較為常見,常常見于選擇題的前5題中,為基本題.在中考中,也常常要求同學(xué)們能辨析它與“中心對稱圖形”的概念.

        例2 (2012·常州)已知等腰三角形兩條邊的長分別為4,9,則這個等腰三角形的周長為( ).

        A.13 B.17 C.22 D.17或22

        【解析】本題重點考查了“等腰三角形的性質(zhì) ”以及“三角形三邊關(guān)系”兩個知識點.由三角形兩條邊的長分別為4,9知三角形三邊的長分別為4,4,9或4,9,9兩種情形,但由于4,4,9與三角形的構(gòu)成條件 “兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”不符.因此,三角形三邊的長只能分別為4,9,9 ,周長為22.故本題選C.

        例3 (2011·廣東茂名)如圖1,已知△ABC是等邊三角形,點B、C、D、E在同一直線上,且CG=CD,DF=DE,則∠E= 度.

        【解析】本題考查了等腰三角形(包括等邊三角形)的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì).等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”以及“三線合一”是本章的重點內(nèi)容,也是中考試題中出現(xiàn)頻率很高的知識點.本題先由△ABC是等邊三角形可得∠ACB=60°,即∠CGD+∠CDG=60°,再由CD=CG,可得∠CDG=∠CGD=30°,而∠E+∠EFD=∠GDC=30°, 再由DF=DE,可得∠E=∠EFD=15° .

        例4 (2011·廣東株洲)如圖2, △ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分線交AB于E,D為垂足,連接EC.

        (1)求∠ECD的度數(shù);

        (2)若CE=5,求BC長.

        【解析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和判定.本題的第一問難度不大,可先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)(垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等)得到AE=CE;再由等腰三角形的性質(zhì)(等邊對等角)得到∠ECD=∠A=36°.第二問先由AB=AC根據(jù)“等邊對等角”以及“三角形內(nèi)角和為180°”得到∠B=∠ACB=72°;再根據(jù)“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”得到∠CEB=72°;從而得到∠B=∠CEB,最后根據(jù)等腰三角形的判定(等角對等邊)得到BC=CE=5.

        例5 (2011·湖北隨州) 如圖3,△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P,若∠BPC=40°,則∠CAP= .

        【解析】本題重點考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識.角平分線性質(zhì)的運用在中考題中較為常見,分布于各類題型中,通常難度不大.但本題難度較大,難點在于需要作出合適的輔助線.

        如圖4,延長BA、BC,過點P作PN⊥BD于點N,PF⊥BA于點F,PM⊥AC于點M,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問題的關(guān)鍵.再利用直角三角形全等的判定,得出∠CAP=∠FAP,即可得出答案.本題答案為50°.

        以上只是中考中涉及本章相關(guān)知識點的眾多試題的“冰山一角”,重點考查了同學(xué)們對相關(guān)概念和性質(zhì)的理解和運用.學(xué)好本章內(nèi)容對于后續(xù)學(xué)習(xí)“中心對稱圖形”有一定的指導(dǎo)和類比意義.

        揚州市梅嶺中學(xué)“軸對稱圖形”測試卷參考答案

        一、1.D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.D 8.C

        二、8.AEMU 9. 10. 12 30° 75° 120° 11.(1)30° 80°(2)53 12. 36° 13.等腰三角形三線合一 14. 2 15. 5 16. 126°

        三、17、18略

        四、19.相等.因為BD、CE為角平分線,且∠ABC=∠ACB,所以∠DBC=∠ECB,所以O(shè)B=OC.

        20.相等.連接OE、OF.因為BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB,所以∠OBC=∠OCB=30°,BO、CO的垂直平分線分別交BC于E、F,所以BE=OE,CF=OF,則∠OBE=∠EOB=30°,∠FOC=∠OCF=30°,所以∠OEF=∠OFE=60°,所以∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°,所以O(shè)E=OF=EF,所以BE=CF.

        21.AD與EF垂直.因為AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB,DF⊥AC, 所以DE=DF,易證△ADE與△ADF全等,則AE=AF ,又因為∠1=∠2,所以AD與EF垂直.

        22. BC=3.△BCD的周長為9.

        23. 等邊三角形.因為等邊三角形ABC,所以AB=AC,又因為∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,所以△ABP與△ACQ全等,所以∠BAP=∠CAQ,PA=AQ,所以∠PAQ=∠BAC=60°,所以△APQ是等邊三角形.

        24.證明:(1)①因為∠BAC=∠DAE,所以∠BAE=∠CAD.因為AB=AC,AD=AE,所以△ABE與△ACD全等,所以BE=CD.

        ②因為△ABE與△ACD全等,所以∠ABE=∠ACD,BE=CD.因為M、N分別為BE,CD的中點,所以BM=CN,又因為AB=AC ,所以△ABM與△ACN全等,所以AM=AN,即△AMN為等腰三角形.

        (2)(1)中的兩個結(jié)論仍然成立.

        (3)65°.

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