全等三角形是初中幾何的基礎(chǔ),是中考命題的熱點(diǎn)之一,全等三角形是兩個(gè)三角形之間最簡(jiǎn)單、最常見(jiàn)的關(guān)系.它不僅是后面學(xué)習(xí)相似三角形、平行四邊形、圓等知識(shí)的基礎(chǔ),并且是證明線段相等、角相等常用的方法,也是證明兩直線互相垂直、平行的重要依據(jù).因此必須熟練地掌握全等三角形的性質(zhì)及判定方法,并且能靈活應(yīng)用.由于同學(xué)們剛剛接觸,故選取近年來(lái)中考中出現(xiàn)的最基本的全等三角形的題目,介紹一下全等三角形在中考中的基本考法.
考點(diǎn)一:全等三角形的性質(zhì)
例1 (2009·清遠(yuǎn))如圖1,若△ABC≌△A1B1C1,且∠A=110°,∠B=40°,則∠C1= .
解:∵△ABC≌△A1B1C1,
∴ ∠C1=∠C.
∵∠A=110°,∠B=40°,
∴∠C1=∠C=180-110-40=30°.
例2 (2009·海南)已知圖2中的兩個(gè)三角形全等,則∠α度數(shù)是( ).
A.72° B.60° C.58° D.50°
解:因?yàn)閮蓚€(gè)三角形全等,∠α為a與c的夾角,所以∠α=50°,故答案選D.
【點(diǎn)評(píng)】全等三角形的性質(zhì)有對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、周長(zhǎng)、面積相等,即所有的對(duì)應(yīng)元素都相等.中考中直接考三角形全等性質(zhì)的題目一般難度不大,找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵,現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)以夯實(shí)基礎(chǔ)為首要任務(wù).
考點(diǎn)二:全等三角形的判定
例3 (2012·福州)如圖3,點(diǎn)E、F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF.求證:△ABF≌△CDE.
證明:∵AB∥CD,
∴ ∠A=∠C,
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE.
在△ABF與△CDE中,
AB=CD,∠A=∠CAF=CE,,
∴△ABF≌△CDE(SAS).
例4 (2012·南京)如圖4,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上,且BD=AB,過(guò)B作BE⊥AC,與BD的垂線DE交于點(diǎn)E,求證△ABC≌△BDE.
證明:∵BE⊥AC,
∴ ∠ABE=∠A=90°,
∵∠ABE+∠EBD=90°,
∴∠A=∠EBD.
在△ABC與△BDE中,
∠A=∠EBD,AB=BD,∠ABC=∠BDE,
∴△ABC≌△BDE(ASA).
【點(diǎn)評(píng)】中考考全等三角形的證明是基本要求,所以掌握好全等的判定方法是特別重要的一環(huán).對(duì)“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”以及“HL”這五種判定方法都要熟練掌握好.對(duì)間接條件的處理尤為重要,比如例3的證明用的是“SAS”,其中AF=CE這個(gè)條件的獲得就需要通過(guò)已知條件AE=CF進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例4中∠A=∠EBD的獲得是利用同角的余角相等得到的.
考點(diǎn)三:判定和性質(zhì)的綜合
例5(2012·北京)已知:如圖5,點(diǎn)E,A,C在同一條直線上,AB∥CD,AB=CE,AC=CD.求證:BC=ED.
解:∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠ECD.
在△ABC≌△ECD中,
AB=CE,∠BAC=∠ECDAC=CD,,
∴△ABC≌△ECD(SAS).
∴BC=ED.
例6 (2012廣州)如圖6,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求證:BE=CD.
解:在△ABE與△ACD中,
∠B=∠C,AB=AC,∠A=∠A,
∴△ABE≌△ACD(ASA).
∴BE=CD.
【點(diǎn)評(píng)】證相等找全等是這種題型的常規(guī)思維,先用全等三角形的判定再用全等三角形的性質(zhì)是這類題型的常用步驟.全等作為題目的基本組成部分在中考中屢見(jiàn)不鮮,全等與后面同學(xué)們要學(xué)的圖形平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等知識(shí)是緊密相連的,所以一定要加強(qiáng)全等三角形的學(xué)習(xí).
考點(diǎn)四:全等三角形的應(yīng)用
例7 (2012·柳州)如圖7,小強(qiáng)利用全等三角形的知識(shí)測(cè)量池塘兩端M,N的距離,如果△PQO≌△NMO,則只需測(cè)出其長(zhǎng)度的線段是( ).
A.PO B.PQ
C.MO D.MQ
解:利用全等三角形的性質(zhì):全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得MN=PQ,本題答案B.
例8 (2010·河南)如圖8,要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離,可以在AB的垂線l上取兩點(diǎn)C、D,使BC=CD,再定出l的垂線DE,使A、C、E在一條直線上,這時(shí)測(cè)得DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng).請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:∵AB⊥BD,DE⊥BD,
∴∠ABC=∠EDC=90°.
在△ABC與△EDC中,
∠ABC=∠EDC=90°,BC=DC,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC≌△EDC(ASA).
∴AB=ED,即DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng).
【點(diǎn)評(píng)】這兩道例題介紹中考中全等三角形的應(yīng)用的考法,利用全等三角形的性質(zhì)和判定來(lái)解決 “不可測(cè)”的問(wèn)題.“不可測(cè)”問(wèn)題是指那些在生活中直接測(cè)量不方便或者就是直接測(cè)無(wú)法測(cè)量的一類問(wèn)題,利用全等三角形的知識(shí)解決這類問(wèn)題只是冰山一角,在初中階段后面的學(xué)習(xí)中,還將介紹其他的測(cè)量方法.
考點(diǎn)五:開放性題型
例9 (2012·黑河)如圖9,已知AC=BD,要使△ABC≌△DCB,則只需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是 (填一個(gè)即可).
解:此題兩三角形已有兩條邊相等,除已知條件外,線段BC是共有的,所以有兩種添法,其一是添AB=DC,利用“SSS”證全等,其二是添∠ACB=∠DBC,利用“SAS”證全等.
例10 (2012·濰坊)如圖10所示,AB=DB,∠ABD=∠CBE,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 ,使△ABC≌△DBE. (只需添加一個(gè)即可)
解:根據(jù)∠ABD=∠CBE可以證明得到∠ABC=∠DBE,所以本題可添加∠BDE=∠BAC或添加BE=BC或添加∠ACB=∠DEB.
【點(diǎn)評(píng)】開放性的題目是中考中的熱點(diǎn),開放性問(wèn)題答案不唯一,可以有很多答案,只要是合理的就行.這種添加條件對(duì)某個(gè)結(jié)論做出判斷的類型是數(shù)學(xué)開放性問(wèn)題的典型考法之一,由于答案不止一個(gè),只要寫出一個(gè)符合題目意思的答案即可.