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        拓展習(xí)題,提升能力

        2013-04-12 00:00:00戴蔚
        初中生世界·八年級(jí) 2013年10期

        在學(xué)習(xí)過程中,相信同學(xué)們都有這樣的感覺:課本例題和習(xí)題看起來很簡單,似乎沒必要深入探究.事實(shí)上,同學(xué)們?nèi)缒芰私饨滩牡闹R(shí)結(jié)構(gòu)、例習(xí)題的地位和作用,學(xué)會(huì)對(duì)教材中的例習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣购脱由欤瑢⒂欣陂_拓思維,在夯實(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)提升解決問題的能力.

        例如,蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第52頁有這樣一道練習(xí)題:

        如圖1,要在公路旁設(shè)一個(gè)汽車站,車站應(yīng)設(shè)在什么地方,才能使A、B兩村到車站的距離相等?

        原題是對(duì)“線段垂直平分線性質(zhì)”的簡單運(yùn)用,只需作線段AB的垂直平分線,與直線CD的交點(diǎn)即為所求.對(duì)于這一作圖題可以有如下拓展與延伸:

        延展一:

        如圖2,在直線CD上求一點(diǎn)P,使得PA+PB最小.

        解題后反思:圖2與原題的區(qū)別是點(diǎn)A、B位于直線CD的兩側(cè),而不是在直線的一側(cè),所以根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,只需連接AB,與直線CD交點(diǎn)即為所求,見圖3.

        在學(xué)完“角的對(duì)稱性”后,可以進(jìn)行如下引申:

        延展二:

        如圖4,在∠COD的內(nèi)部求一點(diǎn)P,使P到點(diǎn)A、點(diǎn)B距離相等,且到OC、OD距離相等.

        解題后反思: 這題綜合考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì),分別作出∠COD的平分線OE和線段AB的垂直平分線MN,交點(diǎn)即為P點(diǎn).

        延展三:

        (1)觀察發(fā)現(xiàn):

        如圖(a),若點(diǎn)A、B在直線l同側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小.作法如下:作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′,與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.

        (2)實(shí)踐運(yùn)用:

        如圖(b),在等邊三角形ABC中,高AD=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),在AD上找一點(diǎn)P,使BP+PE的值最小,并求出最小值.

        (3)拓展延伸:

        如圖(c),在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P,使∠APB=∠APD.保留作圖痕跡,不必寫出作法.

        解題后反思:(2)的本質(zhì)是運(yùn)用了圖(a)的基本圖形,仿照(1),只要作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn),即點(diǎn)C,連接EC,與AD的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,所以BP+PE的最小值即CE=AD=2.

        (3)又進(jìn)行了提升,作法如下:作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接DB′并延長,與AC的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.

        其實(shí)課本中還有很多這樣的習(xí)題有拓展空間,再比如課本第66頁的習(xí)題:

        如圖6,在△ABC中,AB=AC,角平分線BD、CE相交于點(diǎn)O.求證:OB=OC.

        題目原本很簡單,是對(duì)等腰三角形性質(zhì)和角平分線定義的運(yùn)用,這題可以有如下拓展與延伸:

        延展一:

        已知:如圖7,BE和CF是等腰△ABC腰上的高,BE=CF,H是CF、BE的交點(diǎn).求證:HB=HC.

        解題思路:

        因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形,所以AB=AC,所以∠ECB=∠FBC.

        因?yàn)锳B邊上高為FC,AC邊上的高為BE,所以∠CFB=∠BEC,從而可以證明△EBC和△FCB全等(角角邊定理),可得∠EBC=∠FCB.所以HB=HC.

        解題后反思:類似的圖形,不同的條件、結(jié)論,課堂中進(jìn)行這種簡單的變式訓(xùn)練有利于鍛煉中等水平的同學(xué)的基本功,夯實(shí)基礎(chǔ).

        延展二:

        如圖8,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分別為∠ABC與∠ACB的角平分線,且相交于點(diǎn)F,則圖中的等腰三角形有( ).

        A. 6個(gè) B. 7個(gè)

        C. 8個(gè) D. 9個(gè)

        解題后反思:頂角為36°的等腰三角形是一個(gè)很重要的基本圖形,圖中的每一個(gè)銳角等腰三角形形狀相同(即后面將要學(xué)到的相似三角形),同樣每一個(gè)鈍角等腰三角形形狀也都相同,這里只是研究角度,事實(shí)上這個(gè)圖形適當(dāng)變化還可以放到梯形中.

        延展三:

        如圖9,△ABC中,D、E分別是AC、AB上的點(diǎn),BD與CE交于點(diǎn)O,給出下列三個(gè)條件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.

        (1)上述三個(gè)條件中,哪兩個(gè)條件可判定△ABC是等腰三角形(用序號(hào)寫出所有情形);

        (2)選擇第(1)小題中的一種情況,證明△ABC是等腰三角形.

        解題后反思:這是一道開放型的問題,所謂的開放型試題是指那些條件不完整,結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問題,通常需要經(jīng)過觀察、比較、分析、綜合后進(jìn)行必要的邏輯思考得出結(jié)論,對(duì)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)想象、發(fā)散性思維能力十分有利,開放型試題重在開發(fā)創(chuàng)新思維,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),利于考生發(fā)揮水平,是近幾年中考試題的熱點(diǎn)考題.開放題的特征很多,如條件的不確定性、結(jié)構(gòu)的多樣性、思維的多向性、內(nèi)涵的發(fā)展性等.

        本題第一問考查了同學(xué)們的分類思想和綜合分析問題的能力.在選擇條件時(shí)首先得學(xué)會(huì)有序排列,同時(shí)還要分析選擇的條件能否證明出等腰三角形.這題已知①、③或已知②、③均可推出等腰三角形.

        互動(dòng)練習(xí):

        1.等腰三角形底邊長為5cm,一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm,則腰長為( )

        A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm

        D. 以上都不對(duì)

        2.從等腰三角形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的一條直線將原三角形又分成兩個(gè)等腰三角形,求原等腰三角形的頂角度數(shù).

        3.(2012甘肅蘭州)如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,使△AMN周長最小,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為( ).

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