數學學習內容是數學基礎知識和數學思想方法的有機結合.在數學課上，同學們往往只注意了對數學知識的學習，而忽視了聯結這些知識的觀點及由此產生的解決問題的方法與策略.下面，讓我們一起走近“全等三角形”，體會一下隱藏在知識背后的思想方法.

一、化歸思想

化歸是數學中用以解決問題的最基本的手段之一，可以理解為轉化、歸結的意思，是指把待解決的問題通過某種轉化，歸結到較易解決的問題中去的一種手段或方法.

證明線段相等或角相等等問題往往可以化歸為證明三角形的全等，相關輔助線也是為這一目的而添置的.

例1 如圖1，已知：在△ABC中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC的延長線上一點，連接DE交BC于G，DG=GE，求證：BD=CE.

證明：過點D作DF∥AC交BC于F. ∵DF∥AC，∴∠DFG=∠ECG，又∠DGF=∠EGC，DG=EG，∴△DFG≌△ECG，∴CE=DF.∵DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB，∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB，∴∠DFB=∠ABC，∴DB=DF，∴BD=CE.

【評注】本題要證BD=CE，然而BD和CE這兩條線段所在三角形卻不可能全等，這時就通過添加輔助線DF構造出全等三角形，從而使問題獲得解決.

例2 如圖2，已知：在△ABC中，AB=3，AC=5，求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解：延長AD到E，使DE=AD.

在△ABD和△ECD中，∵AD=ED， BD=CD，∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD. ∴AB=EC.

在△AEC中， AC-EC

即AC-EC<2AD

【評注】本例要解決的是邊與邊的不等關系，必須在同一三角形中運用三邊關系定理，然而在△ABD、△ADC和△ABC中均不能解決，勢必利用“倍長中線”構造全等三角形，將已知條件歸結到一起來解決問題.

二、整體思想

整體思想就是從問題的整體性質出發(fā)，突出對問題的整體結構的分析和改造，發(fā)現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的、有意識的整體處理.

例3 如圖3，已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，∠C=∠C′，△ABC和△A′B′C′的周長相等，求證：△ABC≌△A′B′C′.

本題待證的兩個三角形已有兩組角對應相等，但缺全等的必備條件“邊對應相等”，因此要把“周長相等”整體轉化成“邊相等”.

分別在直線BC和直線B′C′上截取BD=BA，CE=CA，B′D′=B′A′，C′E′=C′A′，則有DE=D′E′，易證△ADE≌△A′D′E′，可得AD=A′D′，從而△ABD≌△A′B′D′，于是AB=A′B′，這樣待證的兩個三角形全等的條件都已滿足.

三、方程思想

在幾何證明問題中，若能根據題目和圖形的特征，運用方程思想去處理，往往容易找到解決問題的切入點，收到奇效.

例4 設Rt△ABC與Rt△DEF的面積相等且斜邊相等，即AB=DE，求證：△ABC≌△DEF.

證明：設a，b，c為Rt△ABC的邊長，d，e，f為Rt△DEF的邊長，則有：

S△ABC=■ab，S△DEF=■de，于是由S△ABC=S△DEF知ab=de①，又知c=f，故c2=f 2，即a2+b2=d2+e2②（勾股定理將在第三章學習），由①②可得（a+b）2=（d +e）2， （a-b）2=（d-e）2，即a=d，b=e或a=e，b=d.不論哪種情況，都有△ABC≌△DEF.

運用數學符號形成的語言將相等關系轉化成方程或方程組，通過解方程或方程組，使問題得到解決.幾何問題代數化，事半功倍.

四、分類思想

分類思想是根據對象的相同點和差異點將對象劃分為不同種類的方法，分類的標準往往是根據不同的實際需要來確定的，分類必須做到不重不漏.

例5 已知兩個三角形有兩條邊及其一邊上的高對應相等，則第三邊所對角有怎樣的關系并說明理由.

本題用幾何語言敘述為：在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，D、D′為垂足，AD=A′D′，∠ABC和∠A′B′C′有怎樣的關系？

顯然，∠ABC和∠A′B′C′的關系，須通過兩個圖形的全等關系來說明.然而我們并不能直接判定這兩個三角形全等，必須根據數形結合來進行分類討論：

如果△ABC和△A′B′C′同為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時，易證△ABC≌△A′B′C′，從而∠ABC=∠A′B′C′；如果△ABC和△A′B′C′一為鈍角三角形，一為銳角三角形，如圖4所示，不妨設△ABC為鈍角三角形，△A′B′C′為銳角三角形，易證△ABD≌△A′B′D′，則∠ABD=∠A′B′C′，于是∠ABC和∠A′B′C′互補.

數學思想方法是數學的靈魂和精髓，是數學知識在更高層次上的抽象和概括，是知識轉化為能力的橋梁，是解題過程中披荊斬棘、劈山開路的寶劍.同學們要學會運用數學思想方法去分析問題和解決問題.