數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開例、習(xí)題，而課本中許多例、習(xí)題都具有典型性、示范性和探索性，所蘊(yùn)含的內(nèi)容相當(dāng)豐富，對(duì)它們進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓⒁昱c發(fā)散，將能得到有價(jià)值的新問題、新結(jié)論.現(xiàn)以課本“全等三角形”一章復(fù)習(xí)參考題第5題為例略加改編.

如圖1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分別為E、D.圖中哪條線段與AD相等？并說明理由.

【分析】我們結(jié)合圖形從題目的結(jié)論出發(fā)，認(rèn)真觀察，可以猜想線段CE與AD相等.進(jìn)而尋找兩條線段所在載體——三角形，證明△ADC≌△CEB.

解：CE=AD.

因?yàn)锽E⊥CE ，AD⊥CE，

所以∠ADC=∠BEC=90°，

即∠DAC+∠ACD=90°，

又因?yàn)椤螦CB=90°，

即∠ACD+∠BCE=90°，

所以∠DAC=∠ECB.

又因?yàn)锳C=BC，

所以 △ADC≌△CEB（AAS）.

所以CE=AD.

【點(diǎn)評(píng)】此題目屬于全等問題里第二層次，從復(fù)雜圖形中找出一對(duì)全等三角形.我們可以從題目的條件出發(fā)，也可從題目的結(jié)論出發(fā).特別要關(guān)注圖中雙重身份的線段或角.圖中AC與BC既是等腰直角三角形中兩直角邊，又是全等三角形中一對(duì)對(duì)應(yīng)邊.這個(gè)圖形也是一個(gè)經(jīng)典圖形.

發(fā)散一：已知如圖（1），△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B、C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E.

求證：（1）BD=DE+CE；

（2）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到（2）位置時(shí)，BD

（3）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時(shí)，BD>CE，其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需證明.

（4）歸納（1）、（2）、（3），請(qǐng)用簡(jiǎn)潔語(yǔ)言表述BD、DE、CE的關(guān)系.

【分析】此組題目圖形在變化，但基本條件未變，變化中有不變.∠BAC=90°，AB=AC沒變，BD⊥AE，CE⊥AE不變.這就為我們證明三角形全等創(chuàng)造條件.由全等三角形得到對(duì)應(yīng)線段相等，進(jìn)而說明題目中結(jié)論.

證明：（1）因?yàn)锽D⊥AE，CE⊥AE，

所以∠ADB=∠AEC=90°，

又因?yàn)椤螧AC=90°，

即∠BAD+∠CAE=90°，

又∠DAB+∠ABD=90°，

所以∠ABD=∠CAE，

又因?yàn)锳B=AC，

所以 △ABD≌△CAE（AAS），

所以BD=AE，AD=CE，

所以BD=DE+CE.

（2）（3）都可以說明△ABD≌△CAE，得到對(duì)應(yīng)線段相等，從而說明結(jié)論.

【點(diǎn)評(píng)】三角形全等是證明線段相等、角相等最基本、最常用的方法，這不僅因?yàn)槿热切斡泻芏嘀匾慕窍嗟?、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來. 條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時(shí)，會(huì)通過構(gòu)造全等三角形再用判別方法.有些幾何問題中，往往不能直接證明一對(duì)三角形全等，一般需要作輔助線來構(gòu)造全等三角形.

常見的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問題時(shí)，常采用延長(zhǎng)中線一倍的方法，構(gòu)造出一對(duì)全等三角形；②涉及角平分線問題時(shí)，經(jīng)過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線，可以得到一對(duì)全等三角形；③證明兩條線段的和等于第三條線段時(shí)，用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法可以構(gòu)造一對(duì)全等三角形.

發(fā)散二：如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE⊥BD的延長(zhǎng)線于E，∠1=∠2，試說明：BD=2CE.

【分析】此題也是由原題圖形基礎(chǔ)上改編而來，通過延長(zhǎng)BA與CE構(gòu)造三角形全等可得，見圖3.

證明：因?yàn)镃E⊥BD，，

所以∠BEC=90°，

所以∠BAC=∠BEC，

又∠BDA=∠CDE，

所以∠1=∠DCE，

因?yàn)椤螧AC=∠CAG=90°，AB=AC，

所以△ABD≌△ACG（ASA），

所以BD=CG.

又可證△BEG≌△BEC（ASA），

所以CG=2CE，

所以BD=2CE.

發(fā)散三： 已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF.

求證：∠ADC=∠BDF.

【簡(jiǎn)析】我們有了前面經(jīng)驗(yàn)的積累，可以嘗試從說明三角形全等出發(fā)尋求答案.依托已有條件作BG⊥CB與CF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，垂足為B，構(gòu)造出△ACD≌△CBG 得到CD=BG，∠ABC=∠ABG=45°.由D為BC中點(diǎn)，得到BD=BG.可得△BDF≌△BGF，∠ADC=∠CGB=∠BDF（具體解題過程，同學(xué)們自行完成）.