“軸對(duì)稱圖形”的主要內(nèi)容是從生活中的圖形入手,學(xué)習(xí)軸對(duì)稱及其基本性質(zhì),欣賞、體驗(yàn)軸對(duì)稱在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用.在此基礎(chǔ)上,利用軸對(duì)稱變換,探索等腰三角形的性質(zhì),學(xué)習(xí)它的判定方法,并進(jìn)一步學(xué)習(xí)等邊三角形;探索等腰梯形的特征,了解它的性質(zhì)和判定,體驗(yàn)類比轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,發(fā)展同學(xué)們的說(shuō)理意識(shí)和主動(dòng)探究的習(xí)慣.
本章是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是中考熱點(diǎn)問(wèn)題之一.同學(xué)們剛接觸幾何不久,一方面要注意說(shuō)理的嚴(yán)謹(jǐn),另一方面更要注意難點(diǎn)的突破.下面就本章中的幾個(gè)常見(jiàn)的難點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行分析解剖,借助軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí),幫助同學(xué)們迅速找到解題途徑,化難為易,使問(wèn)題迎刃而解,撥開(kāi)云霧見(jiàn)青天.
一、判斷軸對(duì)稱圖形
例1 把一張正方形紙片按如圖1所示的方法對(duì)折兩次后剪去兩個(gè)角,那么打開(kāi)以后的形狀是( )
A.六邊形 B.八邊形
C.十二邊形 D.十六邊形
【解析】將圖以對(duì)角線為對(duì)稱軸兩次對(duì)折后剪去兩個(gè)角,得到一個(gè)對(duì)稱圖形,且相對(duì)稱的圖形為八邊形,故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)圖形的折疊與展開(kāi)考查軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn),可以通過(guò)逆推法依次作出最后一個(gè)圖形關(guān)于折痕的軸對(duì)稱圖形,然后判斷,也可以直接動(dòng)手操作驗(yàn)證.
二、設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案
例2 在4×4的方格中有五個(gè)同樣大小的正方形如圖2擺放,移動(dòng)其中一個(gè)正方形到空白方格中,與其余四個(gè)正方形組成的新圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形,這樣的移法共有 種.
【解析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì),移動(dòng)任一個(gè)正方形,即可得出符合要求的答案.共有13種做法.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱原理設(shè)計(jì)圖案以及分類討論的思想.熟練利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案關(guān)鍵是要熟悉軸對(duì)稱的圖形特征,從不同的角度找準(zhǔn)對(duì)稱軸.
三、求最短距離
例3 如圖3,已知牧馬營(yíng)地在點(diǎn)M處,每天牧馬人要趕著馬群到河邊飲水.
(1)求到河邊飲水的最短路線.
(2)如果飲完水后,需再到草地吃草,然后回到營(yíng)地,試設(shè)計(jì)出最短的牧馬路線圖.
【解析】這是一道實(shí)際生活問(wèn)題,使其轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.(1)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到直線的最短距離.(2)可得到這樣的數(shù)學(xué)模型:直線a、b間有一點(diǎn)M,試分別在a、b上求出兩點(diǎn),使M點(diǎn)與這兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)最短. 要求周長(zhǎng)最短,即要求三條線段的和最小,結(jié)合題意,可利用軸對(duì)稱的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題.
【點(diǎn)評(píng)】(1)如圖4,利用垂線段最短獲解. (2)如圖5,點(diǎn)A、M關(guān)于直線a對(duì)稱,則可得到CA=CM,同理DM=DB,所以MC+CD+DM=AC+CD+DB,這實(shí)際上將ΔMCD的周長(zhǎng),即三條不在同一直線上的線段和轉(zhuǎn)化成了兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題,由于“兩點(diǎn)之間,線段最短”,因此連接AB與直線a、b的交點(diǎn)即為所求的兩點(diǎn).本類題目的變式很多,關(guān)鍵是“搬點(diǎn)移線”,把圖形中分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到新的圖形中,運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”、“三角形兩邊之和大于第三邊”等基本定理來(lái)解決問(wèn)題.
四、折疊類問(wèn)題
例4 長(zhǎng)為20、寬為a的矩形紙片(10第二次操作).如此反復(fù)操作下去.若在第n次操作后,剩下的矩形為正方形,則操作終止.當(dāng)n=3時(shí),a的值為 .