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        三角形全等的難點(diǎn)突破

        2013-04-12 00:00:00李長(zhǎng)春
        初中生世界·八年級(jí) 2013年10期

        三角形全等的證明是學(xué)習(xí)初中幾何證明的重要奠基階段,是今后證明較復(fù)雜的幾何題的基礎(chǔ),下面就這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)和同學(xué)們談三點(diǎn)經(jīng)驗(yàn).

        一、確定全等三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系

        在全等三角形中正確地找出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角,是解決與全等三角形相關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵.全等三角形有許多對(duì)應(yīng)的元素,怎樣尋找這些對(duì)應(yīng)元素呢?

        1.根據(jù)全等符號(hào)暗示的信息找對(duì)應(yīng)

        符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的載體,教材中說(shuō),“記兩個(gè)全等三角形時(shí),通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上”,此要求同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要嚴(yán)格遵循,養(yǎng)成按對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)表示全等三角形的習(xí)慣,并且按“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)記位置”的特點(diǎn)找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角,達(dá)到無(wú)需看圖也能迅速找出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的目的.

        例1 已知△ABC≌△BAD,如果AB=8,BD=9,AD=11,那么AC= .

        【分析】一般情況下,在用符號(hào)≌表示兩個(gè)三角形全等時(shí),我們是把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上,根據(jù)這個(gè)規(guī)則可知:對(duì)應(yīng)位置上的字母就是表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母,對(duì)應(yīng)位置上的字母表示的線段就是對(duì)應(yīng)邊,表示的角就是對(duì)應(yīng)角.由題設(shè)已知中所給△ABC≌△BAD符號(hào)表示可知:AC與BD是對(duì)應(yīng)邊(如圖1),所以AC=BD=9.

        例2 已知△ABC與△DEF全等,∠A=30°,∠B=50°,則∠D=( ).

        A.30° B.50° C.100°

        D.以上三種情況都有可能

        【分析】注意本題與上例的區(qū)別,題目只說(shuō)△ABC與△DEF全等,并沒(méi)有給出對(duì)應(yīng)法則(即沒(méi)有用全等關(guān)系的符號(hào))表示,所以會(huì)出現(xiàn)三種可能,選擇D.

        2.觀察圖形特征暗示的信息找對(duì)應(yīng)

        ①有公共邊的,公共邊是對(duì)應(yīng)邊;

        ②有公共角的,公共角是對(duì)應(yīng)角;

        ③有對(duì)頂角的,對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角;

        ④兩個(gè)三角形中,對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊,兩個(gè)對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊;

        ⑤兩個(gè)三角形中,對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角,兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角是對(duì)應(yīng)角;

        ⑥兩個(gè)三角形中,一對(duì)最長(zhǎng)的邊是對(duì)應(yīng)邊,一對(duì)最短的邊是對(duì)應(yīng)邊;

        ⑦兩個(gè)三角形中,一對(duì)最大的角是對(duì)應(yīng)角,一對(duì)最小的角是對(duì)應(yīng)角.

        二、靈活選擇運(yùn)用判定方法

        三角形全等的證明有三條公理、一條推論以及直角三角形特有的斜邊直角邊公理.每個(gè)公理和推論都有自己的符號(hào)表示形式,如SAS、ASA、AAS、SSS、HL等,在學(xué)習(xí)中可以充分考慮已知條件和圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),利用公理及推論的字母表示形式去尋找解題思路,培養(yǎng)解題能力.如:(1)已知條件中有兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí),找兩邊的夾角或第三邊對(duì)應(yīng)相等(SAS、SSS);(2)已知條件中有兩角對(duì)應(yīng)相等時(shí),找兩角的夾邊或任何一組等角的對(duì)邊相等(ASA、AAS);(3)已知條件中有一邊和一角對(duì)應(yīng)相等時(shí),找夾等角的另一組邊對(duì)應(yīng)相等,或任何一組角對(duì)應(yīng)相等(SAS、AAS).

        例3 如圖2,點(diǎn)E在AB上,AC=AD,請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使圖中存在全等三角形,并給予證明.所添?xiàng)l件為: .你得到的一對(duì)全等三角形是: .

        【分析】本例是一道條件探索型試題,需從結(jié)論出發(fā),執(zhí)果索因,考慮要圖中存在全等三角形,現(xiàn)已有哪些條件,逆推還需添加什么條件, 同時(shí)本例又是一道開放性試題,答案不唯一,從圖中也可以直觀地看出可能有△ACE與△ADE,△ABC與△ABD,△BCE與△BDE三對(duì)三角形全等.

        若要△ACE≌△ADE,現(xiàn)已有AC=AD,又AE=AE(公共邊),故還需添加CE=DE(從邊的角度考慮用SSS)或∠CAE=∠DAE(從角的角度考慮,已有兩邊,考慮兩邊的夾角用SAS);

        若要△ABC≌△ABD,現(xiàn)已有AC=AD,又AB=AB(公共邊),故還需添加BC=BD或∠CAB=∠DAB;

        當(dāng)然由△ACE≌△ADE或△ABC≌△ABD,也可推得△BCE≌△BDE.

        故所添?xiàng)l件為:CE=DE,或∠CAE=∠DAE(∠CAB=∠DAB),或BC=BD.

        由此得到的一對(duì)全等三角形是: △ACE≌△ADE,或△ABC≌△ABD,或△BCE≌△BDE.

        三、熟悉三角形全等的基本圖形

        在全等三角形的學(xué)習(xí)中,有很多的基本圖形,我們通過(guò)對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察分析,看出其中一個(gè)三角形是由另一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)變換后形成的,我們將常見的三角形全等的基本圖形整理如下:

        1.平移型:圖3的圖形屬于平移型圖形.它們可看成是由對(duì)應(yīng)相等的邊在同一直線上移動(dòng)所構(gòu)成的,故該對(duì)應(yīng)邊的相等關(guān)系一般可由同一直線上的線段和或差而證得.

        2.對(duì)稱型:圖4屬于對(duì)稱型圖形.它們的特征是可沿某一直線對(duì)折,且這直線兩旁的部分能完全重合,重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

        3.旋轉(zhuǎn)型:圖5屬于旋轉(zhuǎn)型圖形.它們可看成是以三角形的某一頂點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的,故一般有一對(duì)相等的角隱含在平行線、對(duì)頂角、某些角的和或差中.

        這些基本圖形都是由三角形經(jīng)過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)得到的,只有熟悉了這些圖形,才能學(xué)會(huì)從復(fù)雜的圖形中分離出題目需要的基本圖形,對(duì)今后解決有關(guān)問(wèn)題是大有益處的.在具體解題時(shí),如能抓住基本圖形,就比較容易找到解決問(wèn)題的途徑和方法.

        四、復(fù)雜圖形拆分為基本圖形

        當(dāng)圖形復(fù)雜時(shí),我們可把不需要的線段、角隱藏,也可將圖形分離、涂色等.圖形分離就是面對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的圖形時(shí),我們從解題的需要出發(fā),在保持圖形中各元素(點(diǎn)、線、角等)相對(duì)位置不變的情況下,提取出原圖形的一部分來(lái)分析問(wèn)題的解決方法.分離出來(lái)的基本圖形比原圖形簡(jiǎn)捷,少了許多來(lái)自不相干的圖形元素的干擾,看著簡(jiǎn)化后的圖形,結(jié)合基本知識(shí),諸多問(wèn)題可迎刃而解.

        例4 如圖6,已知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,且B、C、E在同一直線上,求證:BD=AE.

        【分析】BD是△BED或△BCD的邊,AE是△ABE或△ACE的邊,顯然△BED和△ABE不全等,故轉(zhuǎn)而考慮△BCD和△ACE,將△BCD和△ACE涂色,特別關(guān)注這兩個(gè)三角形,它們有BC=AC,CD=CE,欲證它們?nèi)壬行枰粋€(gè)條件,即BC和CD的夾角與AC和CE的夾角是否相等.因∠BCD=60°+∠ACD=∠ACE,故△BCD≌△ACE,從而BD=AE.

        【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)我們利用全等三角形證明線段或角相等時(shí),首先觀察線段或角在哪兩個(gè)可能全等的三角形中,將它們涂色后加以特別的關(guān)注,然后再分析欲證全等的這兩個(gè)三角形中,已知什么條件,還缺少什么條件,想方設(shè)法證得所缺條件.

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