郭芬紅，熊昌鎮(zhèn)，熊剛強(qiáng)

(1.北方工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京100144;2.廣東醫(yī)學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)教研室，廣州東莞523808)

圖像內(nèi)插放大方法是通過插值方式將圖像從低分辨率變成高分辨率，是數(shù)字圖像處理的重要研究方向，在數(shù)據(jù)壓縮、視頻編碼的漸進(jìn)傳輸?shù)群芏囝I(lǐng)域都有很高的實(shí)用價值。圖像內(nèi)插放大的實(shí)質(zhì)是由離散信號恢復(fù)連續(xù)信號。目前插值方法很多，如最近鄰域插值法，雙線性插值法，立方卷積插值等［1］。由Nyquist采樣定理可知:若連續(xù)信號頻譜的最高頻率小于采樣頻率的兩倍，則采樣后的離散信號不會產(chǎn)生頻譜混疊，可通過一個理想的低通濾波器從采樣信號恢復(fù)連續(xù)信號，再對連續(xù)信號重采樣便可實(shí)現(xiàn)圖像信號放大。然而理想低通模擬濾波器的沖激響應(yīng)具有無限持續(xù)時間，因此在實(shí)際應(yīng)用中，通過取插值點(diǎn)前后若干采樣點(diǎn)設(shè)計一個有限長的內(nèi)插核函數(shù)逼近理想低通濾波器，不可避免地存在吉布斯效應(yīng)，它是內(nèi)插方法誤差的主要來源之一。全相位數(shù)字濾波器的概念與設(shè)計方法由侯正信等［2－3］于1999年與2003年提出，全相位數(shù)字濾波方法對包含待處理位置數(shù)據(jù)的所有數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，然后將所有輸出值進(jìn)行加權(quán)平均。它充分利用有限長序列提供的信息，不同相位的頻率混疊具有相互抵消作用，可有效減少頻率混疊的濾波方法［4］，即可有效地減少吉布斯效應(yīng)。

U系統(tǒng)是齊東旭教授與馮玉瑜教授于19世紀(jì)80年代提出的一組完備的正交函數(shù)系，該函數(shù)系由分段多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成，既有連續(xù)的基函數(shù)又有間斷的基函數(shù)，且列率是逐漸遞增的［5－8］，用U系統(tǒng)可以精確地表達(dá)一類具有強(qiáng)間斷性的非連續(xù)的模擬信號，克服了Fourier三角基函數(shù)表示非連續(xù)信號所出現(xiàn)的Gibbs現(xiàn)象，并且在數(shù)字幾何與圖像處理的應(yīng)用中取得了較為成功的應(yīng)用［9－15］.

因此筆者利用全相位濾波思想和U系統(tǒng)的列率遞增特性，構(gòu)造了一種基于全相位雙正交U變換的圖像內(nèi)插模板，該插值模板頻率響應(yīng)具有標(biāo)準(zhǔn)的菱形支撐特性，可較好消除圖像內(nèi)插產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明基于全相位U變換的圖像放大結(jié)果優(yōu)于雙立方圖像內(nèi)插結(jié)果，也優(yōu)于全相位DCT圖像內(nèi)插算法得到的結(jié)果。

1 U系統(tǒng)及其性質(zhì)

1.1 U系統(tǒng)的構(gòu)造

k次 U系統(tǒng)是由［0，1］區(qū)間上的 k次Legendre多項(xiàng)式構(gòu)造出的k次分段多項(xiàng)式正交函數(shù)系［1］，下面是k次U系統(tǒng)的構(gòu)造過程。

1)取區(qū)間［0，1］上的前k+1個Legendre多項(xiàng)式，記為φ0(x)，φ1(x)，…，φk(x)。

2)構(gòu)造U系統(tǒng)的生成元函數(shù)。

其中〈〉表示中的內(nèi)積，

那么稱函數(shù)集合

圖1是二次U系統(tǒng)的前24個基函數(shù)的圖形。

圖1 二次U系統(tǒng)的前24個正交基函數(shù)的圖形Fig.1 The First twenty-four basis of U system with degree 2

1.2 U系統(tǒng)的性質(zhì)

記u(n，x)是k次U系統(tǒng)中的第n+1個基函數(shù)，在k次U系統(tǒng)中，其基函數(shù)按式(1)中的值從小到大排列，那么，k次U系統(tǒng)有如下性質(zhì)。

性質(zhì)1 k次U系統(tǒng)是L2［0，1］中的規(guī)范正交函數(shù)系，即〈u(i，x)，u(j，x)〉=δi，j。

性質(zhì)3 列率遞增性，即U系統(tǒng)的變號數(shù)是逐漸遞增的。

1.3 正交U變換

令x={x(0)，x(1)，…，(N－1)}T是離散時間序列中某一段長度為N=2L(L為任意的正整數(shù))的子序列。

則稱X=Ux為的正交U變換。

由于零次U系統(tǒng)就是Walsh正交函數(shù)系，一次U系統(tǒng)就是離散Slant變換的解析表達(dá)形式，因而，很容易得到零次U系統(tǒng)與一次U系統(tǒng)的離散變換矩陣。二次U正交矩陣可以用下面的方法計算。

1)把區(qū)間［0，1］均勻劃分成N=2m個小區(qū)間;

2)用高斯積分計算出N個基函數(shù)在N個區(qū)間中的積分值;

3)由2)計算出的積分值所構(gòu)成的矩陣只是近似正交，用Gram－Schmidt方法標(biāo)準(zhǔn)正交化所得到的積分值矩陣，可得到式(2)所示的二次U正交矩陣.當(dāng)N=8時，二次U系統(tǒng)的正交矩陣如下

2 全相位雙正交U變換

2.1 正交U變換內(nèi)插

基于正交變換的內(nèi)插方法通常對一維有限長為N的采樣信號先進(jìn)行正交變換，然后進(jìn)行反變換，反變換時用連續(xù)時間代替離散時間，便內(nèi)插出任意時間點(diǎn)的信號。

令X=DUT(x)，x=IDUT(X)分別為離散正交U變換(digital U transform，DUT)和離散正交U反變換(Inverse digital U transform，IDUT)，則正變換和反變換可寫成

其中a(l，n)和β(m，l)分別為DUT的正變換和反變換矩陣元素。令t=m，0≤t≤N－1，t∈R則連續(xù)信號可由式(3)內(nèi)插重構(gòu)

式(3)即為DUT內(nèi)插公式，它通過采樣點(diǎn)的值與一系列權(quán)系數(shù)的線性組合即可得到任意位置處的插值。由于圖像的數(shù)據(jù)量很大，通常進(jìn)行有限長的正交變換，不可避免地存在吉布斯效應(yīng)，全相位數(shù)字濾波方法對包含待處理位置數(shù)據(jù)的所有數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，然后將所有輸出值進(jìn)行加權(quán)平均。它充分利用有限長序列提供的信息，不同相位的頻率混疊具有相互抵消作用，可有效地減少吉布斯效應(yīng)。

2.2 正交U變換的列率濾波器的構(gòu)造

設(shè)Y={y(0)，y(1)，…，y(N－1)}T是對應(yīng)于x序列的濾波輸出向量，那么U正交變換的列率濾波器可由下式表示［15］

其中F是長度為N的列率響應(yīng)向量，“·”表示兩向量對應(yīng)元素相乘，即F·UkX表示向量F與向量UkX對應(yīng)元素做乘積運(yùn)算后的向量。直接計算式(4)，有

其中

2.3 全相位雙正交U變換列率濾波器

對于序列中某一固定點(diǎn)x(n)，長度為N的所有包含點(diǎn)x(n)的子序列為:Xm={x(n－N+m+1)}，…，x(n+m)，m=0，1，…，N－1，對該子序列進(jìn)行列率濾波，計算點(diǎn)的所有響應(yīng)輸出，將這N個輸出值進(jìn)行平均，得到的全相位濾波輸出y(n)，即

其中

其中

U(i，j)為U變換矩陣中的元素。記矩陣UA= {a(j，k)}N－1j，k=0，則有

稱UA為列率響應(yīng)向量F到全相位U變換列率濾波器的過渡矩陣。因此長度為2N－1的一維全相位U變換濾波器的設(shè)計公式由式(7)，式(9)和式(10)組成。

當(dāng)N=8時，由式(8)可計算出二次系統(tǒng)的變換矩陣UA為

對于二維空間某點(diǎn)X(m，n)的全相位U變換列率濾波輸出Y(m，n)是所有N×N個包含X(m，n)點(diǎn)二維數(shù)據(jù)塊的平均列率濾波輸出值。對某一數(shù)據(jù)塊的二維正交變換列率濾波輸出定義為［14］

其中F是N×N階列率響應(yīng)矩陣，類似于一維情況有

其中h是(2N－1)×(2N－1)的二維全相位u變換濾波器，它也具有線性相位特性，即

定義矩陣h1/4為

類似于一維情況有

其中UA如式(10)定義的過渡矩陣。根據(jù)二維全相位U變換濾波器的對稱性，可得到完整的(2N－1)×(2N－1)濾波器h。

3 全相位U變換的圖像內(nèi)插模板

3.1 內(nèi)插模板的構(gòu)造

由于二維菱形半帶低通濾波器的設(shè)計易滿足二維的Shannon濾波理論［16］，計算量可減小至非半帶濾波器的1/2左右，在此采用二維菱形半帶濾波器設(shè)計圖像的內(nèi)插模板，以N=4為例，其二維列率濾波響應(yīng)為［14］

按照式(15)的設(shè)計方法，可得到對應(yīng)于F4的0次U變換(WALSH變換)長度為7的全相位內(nèi)插模板為:

2次U變換長度為7的全相位內(nèi)插模板為:

若采用正交U反變換(IDUT)和DCT反變換(IDCT)設(shè)計全相位濾波，可得到其對應(yīng)的IDUT和IDCT長度為7的全相位內(nèi)插器模板分別為:

3.2 內(nèi)插模板的頻率特性

為分析以上不同濾波器的內(nèi)插特性，筆者給出不同濾波器的頻率響應(yīng)透視圖及其等高線圖，結(jié)果如圖2所示。全相位IDUT，全相位DUT，全相位IDCT和全相位WALSH變換濾波器都是四象限對稱的，具有低通特性，可作為圖像內(nèi)插的抗混疊濾波器，基于IDCT、IDUT和WASH變換域設(shè)計的濾波器有十分規(guī)整的菱形支撐，而基于DUT域設(shè)計的濾波器有向標(biāo)準(zhǔn)菱形支撐發(fā)展的趨勢。由于全相位IDUT的菱形半帶濾波器具有理想的菱形支撐，其頻率響應(yīng)在阻帶和通帶都很平坦，無波紋，因此較其它濾波器更適合于圖像內(nèi)插。后面的圖像內(nèi)插的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也將驗(yàn)證這點(diǎn)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證筆者構(gòu)造的全相位U變換內(nèi)插模板性能，將其應(yīng)用圖像放大實(shí)驗(yàn)中。實(shí)驗(yàn)采用的圖像為CVG－UGR圖像測試庫，由于論文篇幅的限制只列出圖3所示常用的10幅512×512像素的測試結(jié)果。第一個實(shí)驗(yàn)首先對原始圖像進(jìn)行下采樣得到256×156像素的圖像，然后將256×256像素圖像按間隔補(bǔ)0得到512×512像素的圖像。最后利用內(nèi)插模板對圖像進(jìn)行對角線內(nèi)插、水平和垂直內(nèi)插得到4倍放大的圖像。將全相位U變換圖像內(nèi)插算法與雙立方圖像內(nèi)插法和全相位DCT/IDCT圖像內(nèi)插法進(jìn)行比較，分析其圖像放大結(jié)果來比較各內(nèi)插模板的性能，以峰值信噪比(PSNR)為評價標(biāo)準(zhǔn)。采用以上設(shè)計的全相位濾波器得到4倍放大的內(nèi)插圖像與原圖的峰值信噪比結(jié)果如表1所示，從表中的結(jié)果可看出，基于全相位正交變換的圖像內(nèi)插的結(jié)果優(yōu)于常用的雙立方內(nèi)插方法。全相位內(nèi)插結(jié)果中，全相位IDUT (All Phase Inverse DUT，簡記為APIDUT)濾波器圖像內(nèi)插結(jié)果的PSNR是最高，全相位WASH變換(APWALSH)、全相位DCT(APDCT)和全相位IDCT(APIDCT)的內(nèi)插結(jié)果很接近，全相位DUT (APDUT)的結(jié)果略差，但都優(yōu)于雙立方內(nèi)插結(jié)果。

圖2 全相位濾波器頻率響應(yīng)的透視圖和等高線圖Fig 2 Perspective and contour figure of all phase filter frequency response

5 總結(jié)

筆者利用全相位濾波思想和U變換的列率遞增特性，構(gòu)造了一種基于全相位雙正交U變換的內(nèi)插模板，分析了其頻率響應(yīng)特性，與常用的圖像內(nèi)插方法相比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明APIDUT內(nèi)插模板的結(jié)果是最優(yōu)的。但筆者的方法還會造成邊緣模糊，因此下一步將研究圖像邊緣與全相位濾波相結(jié)合的內(nèi)插方法。

圖3 實(shí)驗(yàn)測試圖像Fig.3 Tentest images

表1 圖像內(nèi)插4倍放大實(shí)驗(yàn)結(jié)果(PSNR)Table1 image interpolation result of 4 times(PSNR)

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