康曉濤，王志洋，康博宇，李靜靜，石要武

(1.吉林大學(xué)通信工程學(xué)院，長春130022;2.上海工程技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院，上海201620)

矢量傳感器陣列能同時獲取并感應(yīng)到入射電磁信號的全部電場信息和極化信息，因而比傳統(tǒng)標(biāo)量傳感器陣列抗干擾能力更強(qiáng)，檢測能力更穩(wěn)健，空間分辨力也更高。矢量傳感器陣列因其信息獲取能力強(qiáng)而成為國內(nèi)外學(xué)者競相研究的熱點(diǎn)［1－3］，并被廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)長矢量模型是基于復(fù)數(shù)理論的，受復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的限制只簡單的將所有分量的輸出數(shù)據(jù)排列成一個長矢量，而沒有考慮各分量之間的正交關(guān)系，破壞了各分量之間固有的正交結(jié)構(gòu)，很大程度上降低了矢量傳感器的優(yōu)越性能。四元素理論特有的四維超復(fù)數(shù)正交結(jié)構(gòu)能夠保持矢量信號各分量之間固有的正交結(jié)構(gòu)，為解決上述問題提供了一個有效方便的數(shù)學(xué)工具。四元素廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域［4－7］，在矢量傳感器陣列信號處理領(lǐng)域中主要是對極化信號的波達(dá)方向和極化參數(shù)等方面進(jìn)行估計［8－11］。

本文通過構(gòu)造基于四元數(shù)的均勻圓形電磁矢量傳感器陣列的信號接收模型，對電磁波信號入射到陣列的方向角和極化信息等參量進(jìn)行聯(lián)合估計。四元數(shù)的四維超復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)是復(fù)數(shù)的擴(kuò)充和發(fā)展，因而可以說復(fù)數(shù)是四元數(shù)的一個特例。四元數(shù)因其不滿足乘法交換律，因而其矢量正交性比復(fù)數(shù)有更多的約束條件，四元數(shù)的正交結(jié)構(gòu)能夠保持矢量傳感器各分量固有的正交性，而正交性恰是信號處理中最有效且常用的手段之一。因此四元數(shù)的矢量正交性是四元數(shù)有別于復(fù)數(shù)的一個突出特點(diǎn)。仿真實驗驗證了方法的有效性。

1 數(shù)學(xué)模型

采用極化均勻圓陣(UCA)作為信號模型，它由N個均勻分布在半徑為R的圓周上特性一致的緊湊電磁矢量傳感器構(gòu)成，如圖1所示。

考慮k≤N個窄帶，不相關(guān)且完全極化的電磁波以一定方向從遠(yuǎn)場入射到上述信號模型。

圖1 極化均勻圓陣結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of uniform polarization circular array

第k個信號入射到第m個矢量傳感器所獲得的兩個相互正交的磁場分量表示為:

式中:αk∈［0，2π)為方位角;βk∈［－π/2，π/2］為俯仰角;γk∈［0，π/2］;ηk∈［－π，π)分別為極化域中的輔助極化角和相應(yīng)的極化相位差。

pk=(sinβkcosαk，sinαksinβk，cosβk)為信號的Poynting向量，以原點(diǎn)為參考點(diǎn)，第k個信號在陣元m與參考點(diǎn)之間的相位延遲為:

式中:ξk=2πR sinβk/λ，λ為信號波長;第m個電磁矢量傳感器的空間位置為rm=(xm，ym，zm)= (R cosφm，R sinφm，0)，其 中 φm=2πm/N，m=0，…，N－1。極化均勻圓陣的空域?qū)蚴噶繛?

第m個陣元接收到第k個信號的輸出為:

式中:lk(t)為信號的復(fù)包絡(luò);nx(t)與ny(t)均為噪聲矢量。nm(t)=nx(t)+j ny(t)為四元數(shù)形式，則第k個信號入射到第m個陣元的接收信號用四元數(shù)表示為:

陣列的四元數(shù)接收模型表示如下:

式中:x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xN(t)］T，x(t)∈HN，Q(α，β)=［q(α0，β0)，q(α1，β1)，…，q(αK－1，βK－1)］為空域?qū)蚓仃?，q(αk，βk)=［q1(αk，βk)，…，qN(αk，βk)］T，qm(αk，βk)是第m個陣元的空間相位延遲。l(t)=［l0(t)，l1(t)，…，lK－1(t)］T是信號矢量，aΔ=diag{，，…，－1}是極化域矩陣，n(t)=［n1(t)，n2(t)，…，nN(t)］T是四元數(shù)形式的均值為零的白噪聲矢量。

2 基于Q－MUSIC的UCA陣列信號的多參量估計

2.1 基于四元數(shù)的相關(guān)矩陣模型的構(gòu)建

電磁矢量傳感器陣列接收信號的協(xié)方差矩陣:

式中:A=Q(α，β)aΔ;Rl=E［l(t)l(t)H］，Rn為噪聲矢量協(xié)方差矩陣，“H”表示共軛轉(zhuǎn)置。A是四元數(shù)形式的信號空域－極化角度域?qū)蚴噶?，由于k個信號是非相關(guān)的，令Z表示為

式中:a▽=diag{||2，||2，…，|－1|2}，根據(jù)式(4)和式(5)得

利用信號子空間法推導(dǎo)出關(guān)于(αk，βk)的估計，前提是γk≠0，且βk≠±π/2，否則子空間估計算法受限。

基于上述得出的公式，式(8)可表示為

由此可知R是自共軛矩陣，將其用四元數(shù)矩陣表示如下

式中:

式(11)構(gòu)成對角陣Λ的對角線上的元素。即

2.2 相關(guān)矩陣的特征分析

考慮K個窄帶，完全極化的電磁波信號入射到N個電磁矢量傳感器組成的均勻圓陣，則陣列接收信號的相關(guān)矩陣R的秩為K。

對R進(jìn)行奇異值分解如下:

式中:Σ1=diag(σ1σ2… σK)，V1對應(yīng)V前K個矢量，V2對應(yīng)的是V中后N－K個奇異矢量，同理得到奇異值矢量矩陣U=［U1U2］。矢量空間U1和V1中包含信號的導(dǎo)向信息，稱為信號子空間，而空域－極化角度域?qū)蚴噶烤仃嘇與矢量空間U2和V2均正交表示如下:

因而稱U2和V2為噪聲矢量空間。則利用V2中任一奇異值矢量均與A正交的關(guān)系，可對信號的DOA和極化信息進(jìn)行聯(lián)合估計。

式中:ak(α，β，γ，η)=(α，β，γ，η)·qk(α，β)。

利用噪聲子空間原理，譜估計公式可得:

式中:矩陣Z中含有極化信息，而導(dǎo)向矩陣Q(α，β)只包含導(dǎo)向信息，因此可以將式(18)的四維搜索降為二維搜索，在極化參數(shù)未知的情況下，提出基于Q－MUSIC算法對(αk，βk)進(jìn)行估計如下:

將估計的DOA結(jié)果代入式(18)中，則A中只含有信號的極化信息，從而可對(γ，η)進(jìn)行估計如下:

3 仿真實驗及分析

設(shè)8個電磁矢量傳感器構(gòu)成均勻圓陣，其半徑為R=0.9λ≤λ/(4sin(π/N))，陣列噪聲為高斯白噪聲，經(jīng)計算機(jī)仿真驗證本文算法的有效性。

3.1 實驗1

假設(shè)兩個彼此獨(dú)立的窄帶電磁橫向極化平面波信號入射到已給出的極化均勻圓陣模型，信號的DOA參數(shù)分別為:α1=60.05°，β1=65.07°，α2=－30.47°，β2=－30.01°;極化參數(shù)分別為:γ1=80°，η1=50°，γ2=45°，η2=－90°;信噪比為: snr1=10 dB，snr2=10 dB，采樣點(diǎn)數(shù)N=1 024。

(1)圖2～圖4是基于本文提出Q－MUSIC算法的信號相關(guān)參數(shù)估計仿真圖。圖2為基于QMUSIC算法的DOA譜估計圖。

圖2 基于Q-MUSIC的DOA譜估計三維圖Fig.2 The estimation of DOA based on Q-MUSIC

圖3 基于Q-MUSIC的俯仰角β估計譜圖Fig.3 The estimation of pitch angleβbased on Q-MUSIC

圖5～圖7是基于傳統(tǒng)V－MUSIC的信號多參量估計圖。

從圖2可以清楚地看到兩個譜峰，在極化參數(shù)未知的情況下能很好地估計出信號的DOA。

將圖3和圖4的Q－MUSIC算法分別與圖6和圖7的V－MUSIC算法相比較，結(jié)果表明本文提出算法的譜峰更加尖銳，即增益更高，而且沒有“偽峰”的干擾。

圖4 基于Q-MUSIC的方位角α估計譜圖Fig.4 The estimation of azimuthαbased on Q-MUSIC

圖5 基于V-MUSIC的DOA譜估計三維圖Fig.5 The estimation of DOA based on V-MUSIC

圖6 基于V-MUSIC的俯仰角β估計譜圖Fig.6 The estimation of pitch angleβbased on V-MUSIC

圖7 基于V-MUSIC的方位角α估計譜圖Fig.7 The estimation of azimuthαbased on V-MUSIC

(2)圖8為采樣點(diǎn)數(shù)N=256時的參數(shù)估計仿真圖，從圖8中可以看出當(dāng)接收信號序列為短序列時，估計效果依然很好。

圖8 基于Q-MUSIC(N=256)的DOA譜估計三維圖Fig.8 The estimation of DOA(N=256)based on QMUSIC

(3)基于Q－MUSIC算法的極化參數(shù)估計，以第一個信號為例，如圖9所示。

圖9 信號1基于Q-MUSIC的極化參數(shù)估計譜圖Fig.9 The estimation of Signal 1’s polarization parameters based on Q-MUSIC

3.2 實驗2

本實驗中將參數(shù)估計的均方根誤差定義為:

實驗條件同實驗1的信號1相同，其二維DOA和極化參數(shù)的均方根誤差隨信噪比變化的曲線分別如圖10與圖11所示，由此可以看出本文算法要優(yōu)于傳統(tǒng)MUSIC算法，尤其在低信噪比情況下參數(shù)估計的精度明顯提高。

圖10 DOA估計的均方根誤差曲線Fig.10 The RMS error curve of DOA estimation

圖11 極化參數(shù)估計的均方根誤差曲線Fig.11 The RMS error curve of Polarization parameters estimation

4 結(jié)束語

本文基于均勻圓陣研究了兩個相互正交磁偶極子分量，實現(xiàn)了利用四元數(shù)理論對電磁矢量傳感器陣列信號的DOA與極化參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合估計。結(jié)合四元素與極化均勻圓陣的自身特點(diǎn)構(gòu)造矢量傳感器陣列的信號接收模型，提出基于MUSIC的二維參數(shù)估計算法。四元素的四維超復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)使信號模型表達(dá)更為簡潔，其特有的正交性能更準(zhǔn)確地反應(yīng)電磁信號自身各分量的正交特性。因而基于四元素理論的MUSIC算法比傳統(tǒng)MUSIC算法具有更好的資源占用率，仿真實驗也證明了該算法有著更好的參數(shù)估計精度且分辨率高，抗干擾性強(qiáng)。

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