蔣皓靜 馮靜 吳曉麗

（中國家用電器研究院 北京 100176）

在進(jìn)行家用電器的仿真設(shè)計(jì)與研究時(shí)，經(jīng)常需要根據(jù)相關(guān)變量的實(shí)測數(shù)據(jù)和歷史資料建立變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，進(jìn)行預(yù)測與分析。例如在研究冰箱蒸發(fā)器溫度分布規(guī)律的模擬，溫度場和流場的仿真，電機(jī)繞組的溫升測定等。從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)，尋求函數(shù)的近似表達(dá)式，這個(gè)近似表達(dá)式就稱為經(jīng)驗(yàn)公式。

1 最小二乘法基本原理

為得到經(jīng)驗(yàn)公式需要進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。數(shù)據(jù)擬合的具體作法是：對給定數(shù)據(jù)(x，y ) (i=0,1,…,m)，在取定的函數(shù)類Φ中，求p(x)∈Φ，使誤差：r=p(x)-y (i=0,1,…,,m)的平方和最小，即：

從幾何意義上講，就是尋求與給定點(diǎn)(x，y)(i=0,1,…,,m)的距離平方和為最小的曲線y=p(x)（圖1）。函數(shù)p(x)稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)p(x)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。

2 多項(xiàng)式擬合原理

假設(shè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(x，y) (i=0,1,…,,m)，Φ為所有次數(shù)不超過n(n≤m)的多項(xiàng)式構(gòu)成的函數(shù)類，現(xiàn)求,使得：

當(dāng)擬合函數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)，稱為多項(xiàng)式擬合，滿足式（1）的p (x)稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式。特別地，當(dāng)n=1時(shí)，稱為線性擬合或直線擬合。

式（3）或式（4）稱為正規(guī)方程組或法方程組。

可以證明，方程組（4）的系數(shù)矩陣是一個(gè)對稱正定矩陣，故存在唯一解。從式（4）中解出a(k=0,1,…,n )，從而可得多項(xiàng)式：

可以證明，式（5）中的p (x)滿足式（1），即p (x)為所求的擬合多項(xiàng)式。把稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式p(x)的平方誤差，記作：

由式(2)可得

在實(shí)際應(yīng)用中，n＜m或n≤m；當(dāng)n=m時(shí)所得的擬合多項(xiàng)式就是拉格朗日或牛頓插值多項(xiàng)式。

3 具體應(yīng)用舉例

3.1 應(yīng)用一

某導(dǎo)線在溫度T (℃)時(shí)的電阻R(Ω)如表1，電阻R與溫度T有近似函數(shù)關(guān)系。

由圖2可見，測得的數(shù)據(jù)接近一條直線，故取n=1，擬合函數(shù)為。列表如表2。矩陣方程組為：

解矩陣方程組得：

故得R與T的擬合直線為:

利用上述關(guān)系式，可以預(yù)測不同溫度時(shí)的電阻值。如，由R=0得T=-242.5，即預(yù)測溫度T=-242.5℃時(shí)，此導(dǎo)線無電阻。

3.2 應(yīng)用二

冰箱中蒸發(fā)器的形式、位置和溫度對冰箱的性能和食品的保藏有著重要的影響。蒸發(fā)器溫度邊界條件的指定也有重要意義。在默認(rèn)情況下通常指定壁面溫度為常數(shù)，而實(shí)際上蒸發(fā)器表面的溫度往往沿著高度方向有比較大的變化。其中一組數(shù)據(jù)如表3所示。

由圖3取n=2，設(shè)擬合曲線方程為：

得正規(guī)方程組：

解得：

故擬合多項(xiàng)式為：

由此可知在冰箱間室內(nèi)上下溫度差較大,存在著不利于儲存食物的問題（見圖3）。

4 結(jié)語

本文對研究中的實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，所用原始數(shù)據(jù)容易獲得，采用數(shù)值分析方法簡便可靠，運(yùn)用所得到的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行預(yù)測分析對于設(shè)計(jì)與研發(fā)有指導(dǎo)作用。

表1 導(dǎo)線在溫度T(℃)時(shí)的電阻R(Ω)

表2 應(yīng)用一測試數(shù)據(jù)

表3 蒸發(fā)器表面溫度

表4 應(yīng)用二測試數(shù)據(jù)

[1] 于楠.用于直冷式和間冷式家用冰箱性能預(yù)測的數(shù)學(xué)模型[J].制冷技術(shù),2011，04

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