黃強，魏坤

(重慶理工大學(xué)汽車學(xué)院，重慶400050)

機床的主軸系統(tǒng)是機床的重要組成部分，其工作性能直接影響著零件的加工質(zhì)量和加工效率，保證機床主軸的回轉(zhuǎn)精度一直是機床設(shè)計與制造中的一項重要的工作。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，機床主軸回轉(zhuǎn)精度的數(shù)字化分析與設(shè)計工作也逐漸得到重視和展開。張華榮［1］在20世紀(jì)80年代初就對主軸回轉(zhuǎn)精度的數(shù)學(xué)描述與分析進行了探討;黃開有［2］對機床主軸產(chǎn)生純徑向跳動的機制進行了分析，并給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;池憲等人［3］對車床橢圓形主軸軸頸輪廓對軸心軌跡的影響進行了分析和仿真;杜正春等［4］給出了基于周期分解的機床主軸回轉(zhuǎn)誤差預(yù)報模型;荊瑞紅［5］對精密軸的徑向回轉(zhuǎn)誤差進行了分析和三維仿真;崔中等人［6］應(yīng)用ADAMS對高速磨床主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進行了分析及優(yōu)化設(shè)計。作者以車床為對象，提出了一個主軸回轉(zhuǎn)精度的數(shù)字化分析方案，并以軸頸實際輪廓為例，探討其數(shù)學(xué)模型和可視化分析方法。

1 主軸回轉(zhuǎn)精度的可視化分析方案

1.1 影響主軸回轉(zhuǎn)精度的主要因素

圖1為車床主軸組件的結(jié)構(gòu)示意圖。影響主軸回轉(zhuǎn)精度的因素眾多，直觀地看，主軸輸出端回轉(zhuǎn)誤差的誤差源主要包括以下幾個部分:

(1)主軸前后軸頸的圓度及同軸度;

(2)前后軸承本身的回轉(zhuǎn)精度;

(3)前后軸承孔的圓度及同軸度;

(4)主軸錐孔與回轉(zhuǎn)軸線的同軸度。

圖1 車床主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

上述誤差實際來源于制造和裝配產(chǎn)生的幾何誤差以及加工中的熱誤差和受力變形誤差。

1.2 主軸回轉(zhuǎn)精度分析方案

由上述分析可知:主軸最終的回轉(zhuǎn)誤差是各個誤差源綜合作用的結(jié)果。掌握各個誤差源對主軸回轉(zhuǎn)誤差的作用規(guī)律及其積累效應(yīng)，是有效控制機床主軸回轉(zhuǎn)誤差的基礎(chǔ)。因此，主軸回轉(zhuǎn)誤差的數(shù)字化分析應(yīng)包括兩個部分:

(1)單一誤差要素的作用規(guī)律分析

分析單一要素作用規(guī)律的目的是掌握各項誤差源影響主軸系統(tǒng)回轉(zhuǎn)精度的量化規(guī)律，為相關(guān)的公差分配、公差調(diào)整以及裝配調(diào)整提供量化依據(jù)。

(2)誤差要素的累積效應(yīng)

研究各個誤差要素的累積效應(yīng)，是實現(xiàn)設(shè)計效果數(shù)字化檢驗的主要手段。主要內(nèi)容為研究各個誤差要素作用效果的疊加規(guī)律。

作者以車床主軸的軸頸輪廓為例，探討其作用規(guī)律分析的實現(xiàn)方法。

2 單一支承回轉(zhuǎn)精度數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 軸頸輪廓與其回轉(zhuǎn)中心的關(guān)系

圖2為車床主軸軸頸的運動與特點示意圖。在單一誤差要素分析中，其他誤差項被設(shè)置為零，此時的主軸支承可視為滑動軸承。車削加工中主軸受力方向恒定，所以接觸點為支承上的一個恒定點A。在這種情況下，主軸瞬時回轉(zhuǎn)中心完全取決于軸頸實際輪廓，即回轉(zhuǎn)精度取決于軸頸的實際輪廓。

主軸軸頸的理想輪廓是一個圓。由于加工和裝配誤差的存在，軸頸的實際輪廓一定會偏離理想圓，導(dǎo)致實際回轉(zhuǎn)中心偏離理想位置并最終造成主軸的回轉(zhuǎn)誤差。

圖2 車床主軸軸頸的運動及其特點

2.2 軸頸輪廓及其回轉(zhuǎn)中心的數(shù)學(xué)模型

首先是建立軸頸實際輪廓與回轉(zhuǎn)中心軌跡的數(shù)學(xué)模型。此次研究中，軸頸輪廓的分析數(shù)據(jù)來源于兩種途徑:

(1)軸頸截面輪廓為虛擬產(chǎn)生的任意封閉曲線，如橢圓、心形線等。數(shù)據(jù)由數(shù)學(xué)方程產(chǎn)生并進行必要的離散處理。

(2)軸頸輪廓的實際測量數(shù)據(jù)。

鑒于軸頸輪廓偏離理想圓的數(shù)值大大小于其幾何值，上述兩種數(shù)據(jù)處理方式均基于最小二乘圓。文中以實際測量數(shù)據(jù)為例闡述建模方法。

圖3為軸頸圓度測量示意圖，O1為測量時的回轉(zhuǎn)中心，主軸在測量儀器上勻速旋轉(zhuǎn)，測量起始位置到點O1的距離為r0，主軸旋轉(zhuǎn)一周，測量機在等旋轉(zhuǎn)角度下采集到n個距離值的增量Δri(i=1，2，3，…，n)。為了精確地反應(yīng)輪廓的特征，n需要足夠大。這樣就得到了n個測量點到實際回轉(zhuǎn)中心的距離值ri=r0+Δri。設(shè)第一個采樣點對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度為0，第i個采樣點對應(yīng)的角度是θi(i=1，2，3，…，n)，則可得［7］:

式中:εi(i=1，2，3，…，n)是各采樣點到最小二乘圓沿最小二乘圓半徑方向的偏差;R是最小二乘圓半徑;(a，b)為最小二乘圓的圓心O在測量坐標(biāo)系x1O1y1上的坐標(biāo)。為了保證計算精度，測量的回轉(zhuǎn)中心與最小二乘圓心的距離應(yīng)遠(yuǎn)小于最小二乘圓半徑。

圖3 軸頸圓度的最小二乘法測量原理

最小二乘原理要求:

式中:Q是誤差函數(shù)，當(dāng)誤差函數(shù)取最小值時，最小二乘圓的圓心坐標(biāo)為:

軸頸輪廓在基于最小二乘圓心的極坐標(biāo)中可以表示為:

如圖4所示，將回轉(zhuǎn)中心設(shè)為理想坐標(biāo)系xOy的坐標(biāo)原點。軸頸輪廓與支承孔中的一固定點A相切。以切點A為原點建立新的固定坐標(biāo)系x'Ay'，A點的切線方向定為該坐標(biāo)系的y'軸，x'軸方向始終面向輪廓，故O點在坐標(biāo)系x'Ay'上的x坐標(biāo)始終為正數(shù)。主軸軸頸的理想輪廓為圓，處于直角坐標(biāo)下的圓有4個特殊的點:2個極值點，2個斜率無窮大點。故在采點密度較大的情況下，第i個接觸點處的斜率ki為:

圖4 回轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)系的建立

當(dāng)ki×ki+1＜0時，i取n1，n2，n3，n4;且n1＜n2＜n3＜n4。

當(dāng)點n1斜率kn1→∞時有:

當(dāng)點n1斜率kn1→0時有:

其中:αi為軸頸上第i個采樣點運動到固定坐標(biāo)系x'Ay'原點處時，y'軸正方向在逆時針方向上與理想坐標(biāo)系xOy的y軸正方向的夾角。

回轉(zhuǎn)中心O相對固定接觸點A的坐標(biāo)移動軌跡即是回轉(zhuǎn)中心的誤差軌跡。輪廓上任意一點 (xi，yi)在固定點A處相切時，回轉(zhuǎn)中心點O在固定坐標(biāo)系x'Ay'上的坐標(biāo)為:

任意點 (xi，yi)對應(yīng)的極坐標(biāo)為:

綜合(1)—(5)并保證x'軸的方向始終面向輪廓，得到:

即 (x'，y')為回轉(zhuǎn)中心的軌跡點在固定坐標(biāo)系x'Ay'上的坐標(biāo)。

為方便編程計算及顯示，需要將圖4中的點坐標(biāo)(x'，y')按下式轉(zhuǎn)換到理想坐標(biāo)系xOy下:

其中:(xOA，yOA)為x'Ay'坐標(biāo)原點在坐標(biāo)系xOy下的坐標(biāo)值，(xOi，yOi)為軸頸回轉(zhuǎn)中心在xOy坐標(biāo)系下的軌跡點。

2.3 可視化分析方法示例

為提高分析效率并使分析結(jié)果可視化，可根據(jù)式(1)—(12)所示的關(guān)系進行MATLAB編程，分析及仿真利用GUI［8］界面進行。

此次分析示例為預(yù)測軸頸實際輪廓對其實際回轉(zhuǎn)中心的影響。示例中軸頸實際輪廓的測量數(shù)據(jù)由虛擬數(shù)據(jù)代替，軸頸截面輪廓設(shè)置為攜帶了白噪聲的類圓圖形，用白噪聲的幅值模擬粗糙度值。通過類圓圖形的方程離散得到一系列輪廓數(shù)據(jù)，然后將數(shù)據(jù)通過GUI界面導(dǎo)數(shù)原型程序，得到軸頸的實際截面形狀及截面回轉(zhuǎn)中心的軌跡，如圖5所示。

圖5 橢圓形軸頸截面及其回轉(zhuǎn)中心軌跡

3 雙支承主軸回轉(zhuǎn)精度分析

3.1 雙支承模型的建立

主軸前端指定位置的實際回轉(zhuǎn)精度是機床主軸回轉(zhuǎn)精度的最終控制目標(biāo)，因此，建立雙支撐結(jié)構(gòu)下的主軸回轉(zhuǎn)精度模型才具有實際的應(yīng)用價值。同時，這也是可多因素疊加效應(yīng)分析的需要。為簡化敘述，此次分析中的雙支承模型以上述單支承模型為基礎(chǔ)。

如圖6所示，主軸前端指定位置的回轉(zhuǎn)中心與前后支承的回轉(zhuǎn)中心為3點共線。如果仍以軸頸輪廓為分析要素，在前后軸頸誤差的共同作用下，指定位置回轉(zhuǎn)中心點P的軌跡可以表示為:

其中:(xA，yA，zA)、(xB，yB，zB)分別表示前后軸頸的實際回轉(zhuǎn)中心軌跡，L為主軸長度，a為分析位置到前支承的距離。

圖6 雙支承主軸回轉(zhuǎn)精度模型示意圖

3.2 分析方法及示例

雙支承條件下的回轉(zhuǎn)精度分析仍采用MATLAB編程實現(xiàn)，圖7為分析界面。前后軸頸的采樣數(shù)據(jù)可導(dǎo)入虛擬曲線采樣值或?qū)嶋H測量值。此示例中，前后軸頸的輪廓數(shù)據(jù)仍為虛擬采樣數(shù)據(jù)，采樣點數(shù)均為300。前后支承跨距及分析位置到前支承的距離值通過手工輸入，主軸軸頸半徑與粗糙度的比值大于1 000。

圖7 雙支承主軸回轉(zhuǎn)精度分析界面

數(shù)據(jù)導(dǎo)入后，先調(diào)用單支承模型分別計算前后支承的回轉(zhuǎn)中心軌跡并儲存，然后應(yīng)用式 (14)和(15)計算主軸前端指定點P的回轉(zhuǎn)中心軌跡并顯示。

圖7預(yù)測了主軸前端指定位置處的回轉(zhuǎn)中心軌跡及該位置處的徑向圓跳動情況。盡管軸頸粗糙度造成了軸心運動軌跡出現(xiàn)不規(guī)則的齒形跳動，但軸頸宏觀表面的幾何誤差造成的大周期誤差運動規(guī)律清晰可見。

4 結(jié)論

(1)通過數(shù)字化建模，實現(xiàn)了依據(jù)軸頸輪廓可視化預(yù)測其回轉(zhuǎn)中心軌跡，為其他影響因素的可視化分析提供了參考。

(2)雙支承主軸回轉(zhuǎn)精度分析模型的建立方法，可作為主軸回轉(zhuǎn)精度的多因素分析及其疊加效應(yīng)分析的參考途徑。

【1】張華榮.機床主軸回轉(zhuǎn)精度的數(shù)學(xué)描述與分析［J］.機械工程學(xué)報，1982，18(4):65-74.

【2】黃開有.機床主軸純徑向跳動對加工精度影響機理的研究［J］.現(xiàn)代機械，2003(6):43-44.

【3】池憲，樊寧.機床主軸純徑向跳動的軸心軌跡分析［J］.機械工程與自動化，2006(2):7-10.

【4】杜正春，楊建國，顏景平.基于周期分解的機床主軸回轉(zhuǎn)誤差預(yù)報模型［J］.計量學(xué)報，2003，24(2):95-98.

【5】荊瑞紅.精密軸的徑向回轉(zhuǎn)誤差分析與三維仿真［D］.蘇州:蘇州大學(xué)，2006.

【6】崔中，文桂林，姜潮.基于ADAMS柔性體的高速磨床主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析及優(yōu)化設(shè)計［J］.中國機械工程，2009，20(5):518-521.

【7】蘇恒，洪邁生，魏元雷，等.機床主軸徑向誤差運動在線檢測與信號處理［J］.機械工程學(xué)報，2002，38(6):56-59.

【8】李顯宏.MATLAB7.X界面設(shè)計與編譯技巧［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2006.