黃強(qiáng),魏坤
(重慶理工大學(xué)汽車學(xué)院,重慶400050)
機(jī)床的主軸系統(tǒng)是機(jī)床的重要組成部分,其工作性能直接影響著零件的加工質(zhì)量和加工效率,保證機(jī)床主軸的回轉(zhuǎn)精度一直是機(jī)床設(shè)計(jì)與制造中的一項(xiàng)重要的工作。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)精度的數(shù)字化分析與設(shè)計(jì)工作也逐漸得到重視和展開(kāi)。張華榮[1]在20世紀(jì)80年代初就對(duì)主軸回轉(zhuǎn)精度的數(shù)學(xué)描述與分析進(jìn)行了探討;黃開(kāi)有[2]對(duì)機(jī)床主軸產(chǎn)生純徑向跳動(dòng)的機(jī)制進(jìn)行了分析,并給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;池憲等人[3]對(duì)車床橢圓形主軸軸頸輪廓對(duì)軸心軌跡的影響進(jìn)行了分析和仿真;杜正春等[4]給出了基于周期分解的機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)誤差預(yù)報(bào)模型;荊瑞紅[5]對(duì)精密軸的徑向回轉(zhuǎn)誤差進(jìn)行了分析和三維仿真;崔中等人[6]應(yīng)用ADAMS對(duì)高速磨床主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)。作者以車床為對(duì)象,提出了一個(gè)主軸回轉(zhuǎn)精度的數(shù)字化分析方案,并以軸頸實(shí)際輪廓為例,探討其數(shù)學(xué)模型和可視化分析方法。
圖1為車床主軸組件的結(jié)構(gòu)示意圖。影響主軸回轉(zhuǎn)精度的因素眾多,直觀地看,主軸輸出端回轉(zhuǎn)誤差的誤差源主要包括以下幾個(gè)部分:
(1)主軸前后軸頸的圓度及同軸度;
(2)前后軸承本身的回轉(zhuǎn)精度;
(3)前后軸承孔的圓度及同軸度;
(4)主軸錐孔與回轉(zhuǎn)軸線的同軸度。
圖1 車床主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖
上述誤差實(shí)際來(lái)源于制造和裝配產(chǎn)生的幾何誤差以及加工中的熱誤差和受力變形誤差。
由上述分析可知:主軸最終的回轉(zhuǎn)誤差是各個(gè)誤差源綜合作用的結(jié)果。掌握各個(gè)誤差源對(duì)主軸回轉(zhuǎn)誤差的作用規(guī)律及其積累效應(yīng),是有效控制機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)誤差的基礎(chǔ)。因此,主軸回轉(zhuǎn)誤差的數(shù)字化分析應(yīng)包括兩個(gè)部分:
(1)單一誤差要素的作用規(guī)律分析
分析單一要素作用規(guī)律的目的是掌握各項(xiàng)誤差源影響主軸系統(tǒng)回轉(zhuǎn)精度的量化規(guī)律,為相關(guān)的公差分配、公差調(diào)整以及裝配調(diào)整提供量化依據(jù)。
(2)誤差要素的累積效應(yīng)
研究各個(gè)誤差要素的累積效應(yīng),是實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)效果數(shù)字化檢驗(yàn)的主要手段。主要內(nèi)容為研究各個(gè)誤差要素作用效果的疊加規(guī)律。
作者以車床主軸的軸頸輪廓為例,探討其作用規(guī)律分析的實(shí)現(xiàn)方法。
圖2為車床主軸軸頸的運(yùn)動(dòng)與特點(diǎn)示意圖。在單一誤差要素分析中,其他誤差項(xiàng)被設(shè)置為零,此時(shí)的主軸支承可視為滑動(dòng)軸承。車削加工中主軸受力方向恒定,所以接觸點(diǎn)為支承上的一個(gè)恒定點(diǎn)A。在這種情況下,主軸瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心完全取決于軸頸實(shí)際輪廓,即回轉(zhuǎn)精度取決于軸頸的實(shí)際輪廓。
主軸軸頸的理想輪廓是一個(gè)圓。由于加工和裝配誤差的存在,軸頸的實(shí)際輪廓一定會(huì)偏離理想圓,導(dǎo)致實(shí)際回轉(zhuǎn)中心偏離理想位置并最終造成主軸的回轉(zhuǎn)誤差。
圖2 車床主軸軸頸的運(yùn)動(dòng)及其特點(diǎn)
首先是建立軸頸實(shí)際輪廓與回轉(zhuǎn)中心軌跡的數(shù)學(xué)模型。此次研究中,軸頸輪廓的分析數(shù)據(jù)來(lái)源于兩種途徑:
(1)軸頸截面輪廓為虛擬產(chǎn)生的任意封閉曲線,如橢圓、心形線等。數(shù)據(jù)由數(shù)學(xué)方程產(chǎn)生并進(jìn)行必要的離散處理。
(2)軸頸輪廓的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)。
鑒于軸頸輪廓偏離理想圓的數(shù)值大大小于其幾何值,上述兩種數(shù)據(jù)處理方式均基于最小二乘圓。文中以實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)為例闡述建模方法。
圖3為軸頸圓度測(cè)量示意圖,O1為測(cè)量時(shí)的回轉(zhuǎn)中心,主軸在測(cè)量?jī)x器上勻速旋轉(zhuǎn),測(cè)量起始位置到點(diǎn)O1的距離為r0,主軸旋轉(zhuǎn)一周,測(cè)量機(jī)在等旋轉(zhuǎn)角度下采集到n個(gè)距離值的增量Δri(i=1,2,3,…,n)。為了精確地反應(yīng)輪廓的特征,n需要足夠大。這樣就得到了n個(gè)測(cè)量點(diǎn)到實(shí)際回轉(zhuǎn)中心的距離值ri=r0+Δri。設(shè)第一個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度為0,第i個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度是θi(i=1,2,3,…,n),則可得[7]:
式中:εi(i=1,2,3,…,n)是各采樣點(diǎn)到最小二乘圓沿最小二乘圓半徑方向的偏差;R是最小二乘圓半徑;(a,b)為最小二乘圓的圓心O在測(cè)量坐標(biāo)系x1O1y1上的坐標(biāo)。為了保證計(jì)算精度,測(cè)量的回轉(zhuǎn)中心與最小二乘圓心的距離應(yīng)遠(yuǎn)小于最小二乘圓半徑。
圖3 軸頸圓度的最小二乘法測(cè)量原理
最小二乘原理要求:
式中:Q是誤差函數(shù),當(dāng)誤差函數(shù)取最小值時(shí),最小二乘圓的圓心坐標(biāo)為:
軸頸輪廓在基于最小二乘圓心的極坐標(biāo)中可以表示為:
如圖4所示,將回轉(zhuǎn)中心設(shè)為理想坐標(biāo)系xOy的坐標(biāo)原點(diǎn)。軸頸輪廓與支承孔中的一固定點(diǎn)A相切。以切點(diǎn)A為原點(diǎn)建立新的固定坐標(biāo)系x'Ay',A點(diǎn)的切線方向定為該坐標(biāo)系的y'軸,x'軸方向始終面向輪廓,故O點(diǎn)在坐標(biāo)系x'Ay'上的x坐標(biāo)始終為正數(shù)。主軸軸頸的理想輪廓為圓,處于直角坐標(biāo)下的圓有4個(gè)特殊的點(diǎn):2個(gè)極值點(diǎn),2個(gè)斜率無(wú)窮大點(diǎn)。故在采點(diǎn)密度較大的情況下,第i個(gè)接觸點(diǎn)處的斜率ki為:
圖4 回轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)系的建立
當(dāng)ki×ki+1<0時(shí),i取n1,n2,n3,n4;且n1<n2<n3<n4。
當(dāng)點(diǎn)n1斜率kn1→∞時(shí)有:
當(dāng)點(diǎn)n1斜率kn1→0時(shí)有:
其中:αi為軸頸上第i個(gè)采樣點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到固定坐標(biāo)系x'Ay'原點(diǎn)處時(shí),y'軸正方向在逆時(shí)針?lè)较蛏吓c理想坐標(biāo)系xOy的y軸正方向的夾角。
回轉(zhuǎn)中心O相對(duì)固定接觸點(diǎn)A的坐標(biāo)移動(dòng)軌跡即是回轉(zhuǎn)中心的誤差軌跡。輪廓上任意一點(diǎn) (xi,yi)在固定點(diǎn)A處相切時(shí),回轉(zhuǎn)中心點(diǎn)O在固定坐標(biāo)系x'Ay'上的坐標(biāo)為:
任意點(diǎn) (xi,yi)對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為:
綜合(1)—(5)并保證x'軸的方向始終面向輪廓,得到:
即 (x',y')為回轉(zhuǎn)中心的軌跡點(diǎn)在固定坐標(biāo)系x'Ay'上的坐標(biāo)。
為方便編程計(jì)算及顯示,需要將圖4中的點(diǎn)坐標(biāo)(x',y')按下式轉(zhuǎn)換到理想坐標(biāo)系xOy下:
其中:(xOA,yOA)為x'Ay'坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)系xOy下的坐標(biāo)值,(xOi,yOi)為軸頸回轉(zhuǎn)中心在xOy坐標(biāo)系下的軌跡點(diǎn)。
為提高分析效率并使分析結(jié)果可視化,可根據(jù)式(1)—(12)所示的關(guān)系進(jìn)行MATLAB編程,分析及仿真利用GUI[8]界面進(jìn)行。
此次分析示例為預(yù)測(cè)軸頸實(shí)際輪廓對(duì)其實(shí)際回轉(zhuǎn)中心的影響。示例中軸頸實(shí)際輪廓的測(cè)量數(shù)據(jù)由虛擬數(shù)據(jù)代替,軸頸截面輪廓設(shè)置為攜帶了白噪聲的類圓圖形,用白噪聲的幅值模擬粗糙度值。通過(guò)類圓圖形的方程離散得到一系列輪廓數(shù)據(jù),然后將數(shù)據(jù)通過(guò)GUI界面導(dǎo)數(shù)原型程序,得到軸頸的實(shí)際截面形狀及截面回轉(zhuǎn)中心的軌跡,如圖5所示。
圖5 橢圓形軸頸截面及其回轉(zhuǎn)中心軌跡
主軸前端指定位置的實(shí)際回轉(zhuǎn)精度是機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)精度的最終控制目標(biāo),因此,建立雙支撐結(jié)構(gòu)下的主軸回轉(zhuǎn)精度模型才具有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。同時(shí),這也是可多因素疊加效應(yīng)分析的需要。為簡(jiǎn)化敘述,此次分析中的雙支承模型以上述單支承模型為基礎(chǔ)。
如圖6所示,主軸前端指定位置的回轉(zhuǎn)中心與前后支承的回轉(zhuǎn)中心為3點(diǎn)共線。如果仍以軸頸輪廓為分析要素,在前后軸頸誤差的共同作用下,指定位置回轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P的軌跡可以表示為:
其中:(xA,yA,zA)、(xB,yB,zB)分別表示前后軸頸的實(shí)際回轉(zhuǎn)中心軌跡,L為主軸長(zhǎng)度,a為分析位置到前支承的距離。
圖6 雙支承主軸回轉(zhuǎn)精度模型示意圖
雙支承條件下的回轉(zhuǎn)精度分析仍采用MATLAB編程實(shí)現(xiàn),圖7為分析界面。前后軸頸的采樣數(shù)據(jù)可導(dǎo)入虛擬曲線采樣值或?qū)嶋H測(cè)量值。此示例中,前后軸頸的輪廓數(shù)據(jù)仍為虛擬采樣數(shù)據(jù),采樣點(diǎn)數(shù)均為300。前后支承跨距及分析位置到前支承的距離值通過(guò)手工輸入,主軸軸頸半徑與粗糙度的比值大于1 000。
圖7 雙支承主軸回轉(zhuǎn)精度分析界面
數(shù)據(jù)導(dǎo)入后,先調(diào)用單支承模型分別計(jì)算前后支承的回轉(zhuǎn)中心軌跡并儲(chǔ)存,然后應(yīng)用式 (14)和(15)計(jì)算主軸前端指定點(diǎn)P的回轉(zhuǎn)中心軌跡并顯示。
圖7預(yù)測(cè)了主軸前端指定位置處的回轉(zhuǎn)中心軌跡及該位置處的徑向圓跳動(dòng)情況。盡管軸頸粗糙度造成了軸心運(yùn)動(dòng)軌跡出現(xiàn)不規(guī)則的齒形跳動(dòng),但軸頸宏觀表面的幾何誤差造成的大周期誤差運(yùn)動(dòng)規(guī)律清晰可見(jiàn)。
(1)通過(guò)數(shù)字化建模,實(shí)現(xiàn)了依據(jù)軸頸輪廓可視化預(yù)測(cè)其回轉(zhuǎn)中心軌跡,為其他影響因素的可視化分析提供了參考。
(2)雙支承主軸回轉(zhuǎn)精度分析模型的建立方法,可作為主軸回轉(zhuǎn)精度的多因素分析及其疊加效應(yīng)分析的參考途徑。
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