黃強(qiáng)，魏坤

(重慶理工大學(xué)汽車學(xué)院，重慶400050)

機(jī)床的主軸系統(tǒng)是機(jī)床的重要組成部分，其工作性能直接影響著零件的加工質(zhì)量和加工效率，保證機(jī)床主軸的回轉(zhuǎn)精度一直是機(jī)床設(shè)計(jì)與制造中的一項(xiàng)重要的工作。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)精度的數(shù)字化分析與設(shè)計(jì)工作也逐漸得到重視和展開(kāi)。張華榮［1］在20世紀(jì)80年代初就對(duì)主軸回轉(zhuǎn)精度的數(shù)學(xué)描述與分析進(jìn)行了探討;黃開(kāi)有［2］對(duì)機(jī)床主軸產(chǎn)生純徑向跳動(dòng)的機(jī)制進(jìn)行了分析，并給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;池憲等人［3］對(duì)車床橢圓形主軸軸頸輪廓對(duì)軸心軌跡的影響進(jìn)行了分析和仿真;杜正春等［4］給出了基于周期分解的機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)誤差預(yù)報(bào)模型;荊瑞紅［5］對(duì)精密軸的徑向回轉(zhuǎn)誤差進(jìn)行了分析和三維仿真;崔中等人［6］應(yīng)用ADAMS對(duì)高速磨床主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)。作者以車床為對(duì)象，提出了一個(gè)主軸回轉(zhuǎn)精度的數(shù)字化分析方案，并以軸頸實(shí)際輪廓為例，探討其數(shù)學(xué)模型和可視化分析方法。

1 主軸回轉(zhuǎn)精度的可視化分析方案

1.1 影響主軸回轉(zhuǎn)精度的主要因素

圖1為車床主軸組件的結(jié)構(gòu)示意圖。影響主軸回轉(zhuǎn)精度的因素眾多，直觀地看，主軸輸出端回轉(zhuǎn)誤差的誤差源主要包括以下幾個(gè)部分:

(1)主軸前后軸頸的圓度及同軸度;

(2)前后軸承本身的回轉(zhuǎn)精度;

(3)前后軸承孔的圓度及同軸度;

(4)主軸錐孔與回轉(zhuǎn)軸線的同軸度。

圖1 車床主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

上述誤差實(shí)際來(lái)源于制造和裝配產(chǎn)生的幾何誤差以及加工中的熱誤差和受力變形誤差。

1.2 主軸回轉(zhuǎn)精度分析方案

由上述分析可知:主軸最終的回轉(zhuǎn)誤差是各個(gè)誤差源綜合作用的結(jié)果。掌握各個(gè)誤差源對(duì)主軸回轉(zhuǎn)誤差的作用規(guī)律及其積累效應(yīng)，是有效控制機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)誤差的基礎(chǔ)。因此，主軸回轉(zhuǎn)誤差的數(shù)字化分析應(yīng)包括兩個(gè)部分:

(1)單一誤差要素的作用規(guī)律分析

分析單一要素作用規(guī)律的目的是掌握各項(xiàng)誤差源影響主軸系統(tǒng)回轉(zhuǎn)精度的量化規(guī)律，為相關(guān)的公差分配、公差調(diào)整以及裝配調(diào)整提供量化依據(jù)。

(2)誤差要素的累積效應(yīng)

研究各個(gè)誤差要素的累積效應(yīng)，是實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)效果數(shù)字化檢驗(yàn)的主要手段。主要內(nèi)容為研究各個(gè)誤差要素作用效果的疊加規(guī)律。

作者以車床主軸的軸頸輪廓為例，探討其作用規(guī)律分析的實(shí)現(xiàn)方法。

2 單一支承回轉(zhuǎn)精度數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 軸頸輪廓與其回轉(zhuǎn)中心的關(guān)系

圖2為車床主軸軸頸的運(yùn)動(dòng)與特點(diǎn)示意圖。在單一誤差要素分析中，其他誤差項(xiàng)被設(shè)置為零，此時(shí)的主軸支承可視為滑動(dòng)軸承。車削加工中主軸受力方向恒定，所以接觸點(diǎn)為支承上的一個(gè)恒定點(diǎn)A。在這種情況下，主軸瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心完全取決于軸頸實(shí)際輪廓，即回轉(zhuǎn)精度取決于軸頸的實(shí)際輪廓。

主軸軸頸的理想輪廓是一個(gè)圓。由于加工和裝配誤差的存在，軸頸的實(shí)際輪廓一定會(huì)偏離理想圓，導(dǎo)致實(shí)際回轉(zhuǎn)中心偏離理想位置并最終造成主軸的回轉(zhuǎn)誤差。

圖2 車床主軸軸頸的運(yùn)動(dòng)及其特點(diǎn)

2.2 軸頸輪廓及其回轉(zhuǎn)中心的數(shù)學(xué)模型

首先是建立軸頸實(shí)際輪廓與回轉(zhuǎn)中心軌跡的數(shù)學(xué)模型。此次研究中，軸頸輪廓的分析數(shù)據(jù)來(lái)源于兩種途徑:

(1)軸頸截面輪廓為虛擬產(chǎn)生的任意封閉曲線，如橢圓、心形線等。數(shù)據(jù)由數(shù)學(xué)方程產(chǎn)生并進(jìn)行必要的離散處理。

(2)軸頸輪廓的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)。

鑒于軸頸輪廓偏離理想圓的數(shù)值大大小于其幾何值，上述兩種數(shù)據(jù)處理方式均基于最小二乘圓。文中以實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)為例闡述建模方法。

圖3為軸頸圓度測(cè)量示意圖，O1為測(cè)量時(shí)的回轉(zhuǎn)中心，主軸在測(cè)量?jī)x器上勻速旋轉(zhuǎn)，測(cè)量起始位置到點(diǎn)O1的距離為r0，主軸旋轉(zhuǎn)一周，測(cè)量機(jī)在等旋轉(zhuǎn)角度下采集到n個(gè)距離值的增量Δri(i=1，2，3，…，n)。為了精確地反應(yīng)輪廓的特征，n需要足夠大。這樣就得到了n個(gè)測(cè)量點(diǎn)到實(shí)際回轉(zhuǎn)中心的距離值ri=r0+Δri。設(shè)第一個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度為0，第i個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度是θi(i=1，2，3，…，n)，則可得［7］:

式中:εi(i=1，2，3，…，n)是各采樣點(diǎn)到最小二乘圓沿最小二乘圓半徑方向的偏差;R是最小二乘圓半徑;(a，b)為最小二乘圓的圓心O在測(cè)量坐標(biāo)系x1O1y1上的坐標(biāo)。為了保證計(jì)算精度，測(cè)量的回轉(zhuǎn)中心與最小二乘圓心的距離應(yīng)遠(yuǎn)小于最小二乘圓半徑。

圖3 軸頸圓度的最小二乘法測(cè)量原理

最小二乘原理要求:

式中:Q是誤差函數(shù)，當(dāng)誤差函數(shù)取最小值時(shí)，最小二乘圓的圓心坐標(biāo)為:

軸頸輪廓在基于最小二乘圓心的極坐標(biāo)中可以表示為:

如圖4所示，將回轉(zhuǎn)中心設(shè)為理想坐標(biāo)系xOy的坐標(biāo)原點(diǎn)。軸頸輪廓與支承孔中的一固定點(diǎn)A相切。以切點(diǎn)A為原點(diǎn)建立新的固定坐標(biāo)系x'Ay'，A點(diǎn)的切線方向定為該坐標(biāo)系的y'軸，x'軸方向始終面向輪廓，故O點(diǎn)在坐標(biāo)系x'Ay'上的x坐標(biāo)始終為正數(shù)。主軸軸頸的理想輪廓為圓，處于直角坐標(biāo)下的圓有4個(gè)特殊的點(diǎn):2個(gè)極值點(diǎn)，2個(gè)斜率無(wú)窮大點(diǎn)。故在采點(diǎn)密度較大的情況下，第i個(gè)接觸點(diǎn)處的斜率ki為:

圖4 回轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)系的建立

當(dāng)ki×ki+1＜0時(shí)，i取n1，n2，n3，n4;且n1＜n2＜n3＜n4。

當(dāng)點(diǎn)n1斜率kn1→∞時(shí)有:

當(dāng)點(diǎn)n1斜率kn1→0時(shí)有:

其中:αi為軸頸上第i個(gè)采樣點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到固定坐標(biāo)系x'Ay'原點(diǎn)處時(shí)，y'軸正方向在逆時(shí)針?lè)较蛏吓c理想坐標(biāo)系xOy的y軸正方向的夾角。

回轉(zhuǎn)中心O相對(duì)固定接觸點(diǎn)A的坐標(biāo)移動(dòng)軌跡即是回轉(zhuǎn)中心的誤差軌跡。輪廓上任意一點(diǎn) (xi，yi)在固定點(diǎn)A處相切時(shí)，回轉(zhuǎn)中心點(diǎn)O在固定坐標(biāo)系x'Ay'上的坐標(biāo)為:

任意點(diǎn) (xi，yi)對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為:

綜合(1)—(5)并保證x'軸的方向始終面向輪廓，得到:

即 (x'，y')為回轉(zhuǎn)中心的軌跡點(diǎn)在固定坐標(biāo)系x'Ay'上的坐標(biāo)。

為方便編程計(jì)算及顯示，需要將圖4中的點(diǎn)坐標(biāo)(x'，y')按下式轉(zhuǎn)換到理想坐標(biāo)系xOy下:

其中:(xOA，yOA)為x'Ay'坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)系xOy下的坐標(biāo)值，(xOi，yOi)為軸頸回轉(zhuǎn)中心在xOy坐標(biāo)系下的軌跡點(diǎn)。

2.3 可視化分析方法示例

為提高分析效率并使分析結(jié)果可視化，可根據(jù)式(1)—(12)所示的關(guān)系進(jìn)行MATLAB編程，分析及仿真利用GUI［8］界面進(jìn)行。

此次分析示例為預(yù)測(cè)軸頸實(shí)際輪廓對(duì)其實(shí)際回轉(zhuǎn)中心的影響。示例中軸頸實(shí)際輪廓的測(cè)量數(shù)據(jù)由虛擬數(shù)據(jù)代替，軸頸截面輪廓設(shè)置為攜帶了白噪聲的類圓圖形，用白噪聲的幅值模擬粗糙度值。通過(guò)類圓圖形的方程離散得到一系列輪廓數(shù)據(jù)，然后將數(shù)據(jù)通過(guò)GUI界面導(dǎo)數(shù)原型程序，得到軸頸的實(shí)際截面形狀及截面回轉(zhuǎn)中心的軌跡，如圖5所示。

圖5 橢圓形軸頸截面及其回轉(zhuǎn)中心軌跡

3 雙支承主軸回轉(zhuǎn)精度分析

3.1 雙支承模型的建立

主軸前端指定位置的實(shí)際回轉(zhuǎn)精度是機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)精度的最終控制目標(biāo)，因此，建立雙支撐結(jié)構(gòu)下的主軸回轉(zhuǎn)精度模型才具有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。同時(shí)，這也是可多因素疊加效應(yīng)分析的需要。為簡(jiǎn)化敘述，此次分析中的雙支承模型以上述單支承模型為基礎(chǔ)。

如圖6所示，主軸前端指定位置的回轉(zhuǎn)中心與前后支承的回轉(zhuǎn)中心為3點(diǎn)共線。如果仍以軸頸輪廓為分析要素，在前后軸頸誤差的共同作用下，指定位置回轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P的軌跡可以表示為:

其中:(xA，yA，zA)、(xB，yB，zB)分別表示前后軸頸的實(shí)際回轉(zhuǎn)中心軌跡，L為主軸長(zhǎng)度，a為分析位置到前支承的距離。

圖6 雙支承主軸回轉(zhuǎn)精度模型示意圖

3.2 分析方法及示例

雙支承條件下的回轉(zhuǎn)精度分析仍采用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，圖7為分析界面。前后軸頸的采樣數(shù)據(jù)可導(dǎo)入虛擬曲線采樣值或?qū)嶋H測(cè)量值。此示例中，前后軸頸的輪廓數(shù)據(jù)仍為虛擬采樣數(shù)據(jù)，采樣點(diǎn)數(shù)均為300。前后支承跨距及分析位置到前支承的距離值通過(guò)手工輸入，主軸軸頸半徑與粗糙度的比值大于1 000。

圖7 雙支承主軸回轉(zhuǎn)精度分析界面

數(shù)據(jù)導(dǎo)入后，先調(diào)用單支承模型分別計(jì)算前后支承的回轉(zhuǎn)中心軌跡并儲(chǔ)存，然后應(yīng)用式 (14)和(15)計(jì)算主軸前端指定點(diǎn)P的回轉(zhuǎn)中心軌跡并顯示。

圖7預(yù)測(cè)了主軸前端指定位置處的回轉(zhuǎn)中心軌跡及該位置處的徑向圓跳動(dòng)情況。盡管軸頸粗糙度造成了軸心運(yùn)動(dòng)軌跡出現(xiàn)不規(guī)則的齒形跳動(dòng)，但軸頸宏觀表面的幾何誤差造成的大周期誤差運(yùn)動(dòng)規(guī)律清晰可見(jiàn)。

4 結(jié)論

(1)通過(guò)數(shù)字化建模，實(shí)現(xiàn)了依據(jù)軸頸輪廓可視化預(yù)測(cè)其回轉(zhuǎn)中心軌跡，為其他影響因素的可視化分析提供了參考。

(2)雙支承主軸回轉(zhuǎn)精度分析模型的建立方法，可作為主軸回轉(zhuǎn)精度的多因素分析及其疊加效應(yīng)分析的參考途徑。

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