許昆平，嚴(yán)江云，彭梁鋒，肖寧

(沈機(jī)集團(tuán)昆明機(jī)床股份有限公司，云南昆明650203)

主傳動(dòng)系統(tǒng)是機(jī)床工作的重要組成部分。主軸箱的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)經(jīng)常處于高速、重載的運(yùn)行環(huán)境，其傳動(dòng)精度直接影響機(jī)床的加工精度。傳動(dòng)齒輪在切削過(guò)程中極易因重載、高速等原因產(chǎn)生較大的振動(dòng)和噪聲，從而導(dǎo)致主傳動(dòng)系統(tǒng)的某些部位受損，進(jìn)而影響機(jī)床的切削精度［1-3］。因此，開展XK(H)2740數(shù)控龍門鏜銑床主傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分析，對(duì)于減小主傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)與噪聲，優(yōu)化數(shù)控龍門鏜銑床主傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能具有重要的指導(dǎo)意義。

XK(H)2740數(shù)控龍門鏜銑床主傳動(dòng)系統(tǒng)齒輪傳動(dòng)裝置主要采用寬斜圓柱齒輪，設(shè)計(jì)時(shí)一般將齒輪作為剛體處理，不考慮輪齒受載后的變形，因而齒輪在動(dòng)態(tài)運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)振動(dòng)大、噪聲大等問(wèn)題［4］。作者通過(guò)分析齒輪副接觸線長(zhǎng)度的變化，根據(jù)單位接觸線的嚙合剛度計(jì)算斜齒輪副的綜合嚙合剛度［5-6］，求解XK(H)2740數(shù)控龍門鏜銑床主傳動(dòng)系統(tǒng)在剛度激勵(lì)及誤差激勵(lì)作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)［7-8］，并對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，對(duì)減少系統(tǒng)的振動(dòng)和故障提供了依據(jù)，也為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。

1 XK(H)2740主傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)原理

圖1為XK(H)2740主傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)原理圖，其中軸Ⅰ為輸入軸，軸Ⅳ為輸出軸即銑軸。該傳動(dòng)系統(tǒng)為三級(jí)兩擋斜齒輪傳動(dòng)，電機(jī)通過(guò)聯(lián)軸器將運(yùn)動(dòng)輸入到齒輪軸Ⅰ，齒輪軸Ⅰ通過(guò)滑移齒輪2進(jìn)行換擋并將運(yùn)動(dòng)傳遞到齒輪3，齒輪3帶動(dòng)軸Ⅲ轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)軸Ⅲ上的齒輪5將運(yùn)動(dòng)傳遞到銑軸Ⅳ，進(jìn)而將運(yùn)動(dòng)輸出并進(jìn)行切削。文中針對(duì)主傳動(dòng)系統(tǒng)高速擋進(jìn)行扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)研究。

圖1 XK(H)2740主傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)原理

2 主傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型

影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的因素主要有剛度激勵(lì)、誤差激勵(lì)、阻尼激勵(lì)以及沖擊力激勵(lì)，然而嚙合剛度和誤差激勵(lì)對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能影響最大，所以在建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型時(shí)必須考慮各級(jí)齒輪副的嚙合剛度和誤差對(duì)振動(dòng)的影響。利用集中參數(shù)法建立XK(H) 2740數(shù)控龍門鏜銑床主傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。

圖中，各個(gè)傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼分別為K1、K2、K3和C1、C2、C3，各個(gè)齒輪副的嚙合剛度和阻尼分別為k1、k2、k3和c1、c2、c3，各個(gè)質(zhì)量塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I1、I2、I3、I4、I5、I6和I7，各個(gè)質(zhì)量塊的半徑分別為R1、R2、R3、R4、R5、R6和R7，輸入扭矩和負(fù)載扭矩分別為Ts和Tc，三個(gè)齒輪副的綜合誤差分別為e1、e2、e3。

圖2 主傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)圖2，利用Lagrance法建立其扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程，即:

令xi=Riθi，將角位移形式的動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為線位移形式的方程。同時(shí)令可得:

式中:M為質(zhì)量矩陣;C為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;P為載荷向量;X為位移向量。

3 主傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

3.1 剛度激勵(lì)

剛度激勵(lì)是齒輪嚙合過(guò)程中單雙齒對(duì)嚙合交替出現(xiàn)引起的動(dòng)態(tài)激勵(lì)。盡管斜齒輪在嚙合嚙合過(guò)程中齒輪的嚙合剛度不會(huì)發(fā)生突變，然而在不同的嚙合位置，輪齒的嚙合剛度也是不同的。

文中結(jié)合單齒單位長(zhǎng)度的嚙合剛度的定義，根據(jù)齒輪接觸線的長(zhǎng)度變化，求解主變速傳動(dòng)系統(tǒng)中斜齒輪副的時(shí)變嚙合剛度。齒輪副的嚙合剛度可表示為:

式中:k0為單位接觸線長(zhǎng)度的嚙合剛度;

L(τ)為齒輪副瞬時(shí)總接觸線長(zhǎng)度，τ=t/Tz，Tz為嚙合周期。

該齒輪副瞬時(shí)接觸線總長(zhǎng)度為:

Lm=bεα/cosβb，b為齒寬，εα為端面重合度，βb為螺旋角。

各級(jí)齒輪副嚙合剛度如圖3所示。

經(jīng)過(guò)整理得到

圖3 各級(jí)齒輪副嚙合剛度

3.2 誤差激勵(lì)

在進(jìn)行振動(dòng)分析時(shí)，齒輪的誤差一般可以用實(shí)測(cè)的誤差數(shù)值或誤差曲線、傅里葉級(jí)數(shù)以及簡(jiǎn)諧函數(shù)來(lái)表示。實(shí)測(cè)的誤差數(shù)值或誤差曲線能比較真實(shí)地反映實(shí)際情況，然而在實(shí)際測(cè)試中難以實(shí)現(xiàn)，因此采用簡(jiǎn)諧函數(shù)來(lái)表示。在影響齒輪振動(dòng)的各項(xiàng)誤差因素中，齒距誤差和齒形誤差影響最大，故齒輪誤差激勵(lì)可表示為:

式中:e0、er分別為輪齒誤差的常值和幅值;Tz為齒輪的嚙合周期;φ為相位角。

齒輪的精度等級(jí)為5LM，則時(shí)變誤差曲線如圖4所示。

圖4 各級(jí)齒輪副誤差曲線

3.3 主傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析

3.3.1 固有特性分析

為了減小主傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)，避免產(chǎn)生共振，應(yīng)使齒輪嚙合激勵(lì)的頻率遠(yuǎn)離系統(tǒng)的固有頻率。由于系統(tǒng)的固有特性與外力無(wú)關(guān)，因此在求解系統(tǒng)固有頻率時(shí)可忽略外部載荷與阻尼的影響。主傳動(dòng)系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為:

其對(duì)應(yīng)的特征方程為:

式中:ωi為系統(tǒng)第i階固有頻率;ψi為對(duì)應(yīng)的第i階振型向量，i=1，2，…，n。

對(duì)系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程進(jìn)行求解可以得到系統(tǒng)的固有頻率，如表1所示。

表1 主傳動(dòng)系統(tǒng)前10階固有頻率 Hz

該主變速傳動(dòng)系統(tǒng)輸入級(jí)轉(zhuǎn)速為3 445 r/min，嚙合頻率為490 Hz;中間級(jí)轉(zhuǎn)速為2 182 r/min，嚙合頻率為490 Hz;輸出級(jí)轉(zhuǎn)速為1 600 r/min，嚙合頻率為435 Hz。與表1中系統(tǒng)前10階固有頻率進(jìn)行比較，各階嚙合頻率均遠(yuǎn)離系統(tǒng)固有頻率，系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生共振。

3.3.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

根據(jù)建立的主傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，采用五階變步長(zhǎng)自適應(yīng)Runge-Kutta法求解系統(tǒng)方程，計(jì)算得出位移、速度和加速度的時(shí)域響應(yīng)，通過(guò)快速傅里葉變換FFT得到其頻域響應(yīng)。輸入級(jí)齒輪副主動(dòng)輪的時(shí)域和頻域響應(yīng)曲線如圖5所示，輸出級(jí)齒輪副從動(dòng)齒輪的時(shí)域和頻域響應(yīng)曲線如圖6所示。

由圖5和圖6可以看出:該主變速傳動(dòng)系統(tǒng)各齒輪振動(dòng)位移一般為02×10-3rad，最大振動(dòng)速度為2 rad/s，輸出級(jí)齒輪副的振動(dòng)位移較大，振動(dòng)速度隨齒輪的嚙合速度增大而增大，振動(dòng)的頻率以齒輪的固有頻率為主。

圖5 輸入級(jí)齒輪副主動(dòng)輪的時(shí)域和頻域響應(yīng)曲線

圖6 輸出級(jí)齒輪副從動(dòng)輪的時(shí)域和頻域響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

針對(duì)XK(H)2740主變速傳動(dòng)系統(tǒng)，考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響，采用集中參數(shù)法建立了XK(H)2740主變速傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，并利用Lagrance法建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，得到以下結(jié)論:

(1)計(jì)算XK(H)2740數(shù)控龍門鏜銑床主傳動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，結(jié)果顯示輸入級(jí)和輸出級(jí)齒輪副的嚙合頻率與系統(tǒng)固有頻率相差較遠(yuǎn)，表明主傳動(dòng)系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生共振現(xiàn)象，驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性;

(2)綜合考慮齒輪接觸線的變化規(guī)律以及單齒單位長(zhǎng)度的嚙合剛度，根據(jù)接觸線時(shí)變長(zhǎng)度計(jì)算了齒輪副的時(shí)變嚙合剛度，該方法簡(jiǎn)便可靠，提高了計(jì)算效率;

(3)綜合考慮剛度激勵(lì)和誤差激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)的影響，計(jì)算了XK(H)2740數(shù)控龍門鏜銑床主傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，分析判斷該系統(tǒng)振動(dòng)情況良好;

(4)文中動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析為機(jī)床整機(jī)動(dòng)力學(xué)研究及數(shù)值模擬奠定了基礎(chǔ)，對(duì)減少系統(tǒng)的振動(dòng)和故障提供了依據(jù)。

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