劉 忠，張湖川，武 穎,2，王雅君，朱亞蓉，劉 焱

（1.首都航天機(jī)械公司，北京 100076；2.太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030024）

0 引 言

如圖1所示的球形驅(qū)動(dòng)裝置由轉(zhuǎn)動(dòng)軸相互正交的兩個(gè)萬(wàn)向節(jié)和一個(gè)連桿-轉(zhuǎn)子機(jī)構(gòu)組成。與球體內(nèi)部相固連的萬(wàn)向節(jié)稱為外環(huán)，只能繞固連軸轉(zhuǎn)動(dòng)；另一個(gè)萬(wàn)向節(jié)固連在外環(huán)上，因此，稱之為內(nèi)環(huán)，可以繞內(nèi)環(huán)固連軸轉(zhuǎn)動(dòng)。內(nèi)環(huán)和外環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸相互垂直。無(wú)質(zhì)連桿固連在平面內(nèi)，與內(nèi)環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸相垂直。均質(zhì)對(duì)稱的轉(zhuǎn)子偏離球心而固連在連桿上。在外環(huán)和內(nèi)環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸上分別施加轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，轉(zhuǎn)子在內(nèi)環(huán)和外環(huán)的作用下，在半徑為l的球面上運(yùn)動(dòng)（球面的球心與球體的球心重合），改變了整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心位置，即勢(shì)力場(chǎng)的分布，球體則在驅(qū)動(dòng)裝置的反作用下滾動(dòng)。當(dāng)外環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸平行于水平面時(shí)，驅(qū)動(dòng)裝置的構(gòu)型類似一個(gè)陀螺擺裝置，因此稱圖1所示機(jī)構(gòu)為陀螺擺式球形驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)。陀螺擺式球形機(jī)構(gòu)在球形機(jī)器人的設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。本文利用拉格朗日法建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并計(jì)算其平衡點(diǎn)。

1 動(dòng)力學(xué)建模

設(shè)如圖1所示，陀螺擺式球形機(jī)器人的球心速度為u，與正北方向成α角，旋進(jìn)角速度為α?。為了推導(dǎo)在加速度u?的作用下，驅(qū)動(dòng)裝置的運(yùn)動(dòng)微分方程，建立如圖2所示的坐標(biāo)系：球體的基礎(chǔ)坐標(biāo)系為∑sphere{X,Y,Z}（即為慣性坐標(biāo)系的平移坐標(biāo)系），外環(huán)的坐標(biāo)系為 ∑outer?gimbal{ξ′,η′,ζ′}，內(nèi)環(huán)的坐標(biāo)系 為 ∑inner?gimbal{ξ,η,ζ} 以 及 轉(zhuǎn) 子 的 坐 標(biāo) 系 為∑rotor{x,y,z}，而且，所有的坐標(biāo)原點(diǎn)均位于點(diǎn)O處，軸ξ與軸ξ′重合同向，軸η′與軸Z重合反向，軸ζ與軸z重合同向。這樣，外環(huán)可以繞坐標(biāo)系∑sphere的Z軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角記為 ；內(nèi)環(huán)可以繞坐標(biāo)系 ∑outer?gimbal的軸ξ自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角記為θ，軸ξ始終位于XY平面內(nèi)；轉(zhuǎn)子的對(duì)稱軸z垂直于軸ξ，可以繞坐標(biāo)系∑inner?gimbal的軸ζ（軸z）自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角記為ψ。

圖1 陀螺擺式球形驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)示意圖

圖2 陀螺擺式球形驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系

在球體的基礎(chǔ)坐標(biāo)系內(nèi)，轉(zhuǎn)子的姿態(tài)可以由3個(gè)歐拉角?，θ和ψ確定。如果忽略外環(huán)和內(nèi)環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，那么轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為[1]：

其中，T為驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)能，列向量矩陣{ }N0的分量分別為輸入力矩在轉(zhuǎn)動(dòng)軸ξ，η和ζ上的投影。列矩陣{ }

?T/?Ω 的 分 量 分 別 為 ?T/?Ωξ、?T/?Ωη和?T/?Ωζ，其中 Ωξ，Ωη和 Ωζ分別轉(zhuǎn)子的角速度在轉(zhuǎn)動(dòng)軸ξ，η和ζ上的投影。列矩陣{ }?T/?υ的分量分別為 ?T/?υξ，?T/?υη和 ?T/?υζ，其中 υξ，υη和 υζ分別轉(zhuǎn)子的速度分量。

距陣式（3）為一斜對(duì)稱矩陣，其中ωξ，ωη和ωζ分別為內(nèi)環(huán)的角速度在轉(zhuǎn)動(dòng)軸ξ，η和ζ上的投影。設(shè)基礎(chǔ)坐標(biāo)系在慣性坐標(biāo)系上的角速度投影分別為ωX=0，ωY=α?和ωZ=0，且外環(huán)對(duì)于球體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為??。那么，外環(huán)的角速度在轉(zhuǎn)動(dòng)軸ξ′，η′和ζ′上的投影分別為：

內(nèi)環(huán)對(duì)于外環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為θ?，那么，內(nèi)環(huán)的角速度在轉(zhuǎn)動(dòng)軸ξ，η和ζ上的投影分別為:

轉(zhuǎn)子繞對(duì)稱軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ψ?=0，那么，轉(zhuǎn)子的角速度在轉(zhuǎn)動(dòng)軸ξ、η和ζ上的投影分別為:

設(shè)點(diǎn)O的速度（球體的速度）為:

若設(shè)v為轉(zhuǎn)子質(zhì)心的速度，列向量{r}為轉(zhuǎn)子質(zhì)心C到點(diǎn)O的矢徑，即{r}=[0 0 -l]T，其中l(wèi)為轉(zhuǎn)子質(zhì)心到點(diǎn)O的長(zhǎng)度。那么u和v之間的聯(lián)系可以表示為矩陣形式：

其中，[ω ]如式（3）所示，則有：

設(shè)轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m，對(duì)于慣性主軸ξ，η和ζ的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為A，A和C，并且忽略外環(huán)和內(nèi)環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可以得到轉(zhuǎn)子的動(dòng)能T為[2]：

將上式代入式（1），得到力平衡方程：

其中，F(xiàn)1和F2分別為球體對(duì)轉(zhuǎn)子的反作用力在轉(zhuǎn)動(dòng)軸ξ和η上的投影。將式（10）代入式（2）得到力矩平衡方程：

將式（11）代入式（12）得到關(guān)于轉(zhuǎn)子的動(dòng)量方程為

式中：A0=A+ml2，Nξ=-mgl sinθNη=-mgl sin?.

2 平衡點(diǎn)計(jì)算

對(duì)于欠驅(qū)動(dòng)陀螺擺球形機(jī)器人有Nζ=0，且轉(zhuǎn)子關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸z對(duì)稱，那么，由式（13）中的第3式得：

對(duì)于小量?和θ有：

因此，忽略高階項(xiàng)，式（13）中的第1式和第2式可以分別簡(jiǎn)化為：

如果設(shè)：

那么式（17）可以簡(jiǎn)化為：

由方程組（18）可得：

當(dāng)u?不變，即球體穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，微分方程（19）的解為：

將式（20）代入方程組（18）的第2式，并忽略高階項(xiàng)，可以得到關(guān)于θ?的微分方程的解為：

由微分方程組（18）解的形式可以看出轉(zhuǎn)子的對(duì)稱軸z（軸ζ）在平衡位置是自由振動(dòng)的，平衡位置為：

3 結(jié) 論

建立了一種球形驅(qū)動(dòng)裝置的動(dòng)力學(xué)模型，并推倒其平衡點(diǎn)。該球形驅(qū)動(dòng)裝置由轉(zhuǎn)動(dòng)軸相互正交的兩個(gè)萬(wàn)向節(jié)和一個(gè)連桿-轉(zhuǎn)子機(jī)構(gòu)組成，通常被稱為陀螺擺式球形驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)。陀螺擺式球形機(jī)構(gòu)在球形機(jī)器人的設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。

[1] 孫漢旭，王亮清，賈慶軒，等.BYQ-3球形機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009,45（10）：8-14.

[2] ZHAN Qiang,JIA Chuan,MA Xiaohui.Mechanism design and motion analysis of a spherical mobile robot[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2005,18(4):542-545.