王 君

（天津財(cái)經(jīng)大學(xué)商學(xué)院，天津300222）

1 引言

隨著顧客對(duì)物流配送要求的提高，帶時(shí)間窗的車輛路徑問(wèn)題VRPTW（Vehicle Routing Problem with Time Windows）一直是物流與供應(yīng)鏈管理的熱點(diǎn)問(wèn)題。VRPTW是典型的組合優(yōu)化問(wèn)題，主要采用啟發(fā)式優(yōu)化算法進(jìn)行求解。啟發(fā)式算法分為以禁忌搜索TS（Tabu Search）［1］為代表的局部搜索和以遺傳算法GA（Genetic Algorithm）［2］為代表的種群搜索兩大類。現(xiàn)在更加趨向于多種搜索機(jī)制的結(jié)合，以彌補(bǔ)單一啟發(fā)式算法的不足。

文化基因算法MA（Memetic Algorithm）是以文化進(jìn)化思想為指導(dǎo)的智能優(yōu)化算法，用局部搜索來(lái)模擬文化進(jìn)化過(guò)程，既具有群體算法搜索范圍大的優(yōu)點(diǎn)，又具有局部算法搜索的深度優(yōu)勢(shì)［3］，目前已經(jīng)出現(xiàn)了用MA求解車輛路徑問(wèn)題的研究［4］。多目標(biāo)文化基因算法MOMA（Multi－Objective MA）是采用多目標(biāo)優(yōu)化機(jī)制的MA算法，已經(jīng)成功應(yīng)用到車間調(diào)度［5］、物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)［6］、飛機(jī)航線調(diào)度［7］等多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中。

VRPTW需要同時(shí)考慮車輛的使用數(shù)和車輛行駛距離兩個(gè)目標(biāo)，因此它也是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，現(xiàn)有研究大部分采用多目標(biāo)進(jìn)化算法求Pareto最優(yōu)解集［8，9］，然而用MOMA解決VRPTW的研究十分罕見(jiàn)。本文基于以上研究成果，提出求解VRPTW的一種MOMA算法，運(yùn)用不同的適應(yīng)度函數(shù)分別支持種群和局部精英解的選擇。對(duì)國(guó)際通用的benchmark數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)，表明本文提出的MOMA算法是求解VRPTW問(wèn)題的有效方法。

2 問(wèn)題描述與數(shù)學(xué)模型

一個(gè)VRPTW描述為：設(shè)G＝｛I，E｝為一個(gè)完備的無(wú)向圖，其中，I＝｛0，1，2，…，n｝為節(jié)點(diǎn)集；E＝｛i，j｝為邊集，i，j∈I且i≠j。0代表車庫(kù)點(diǎn)，其余為顧客點(diǎn)，一隊(duì)具有相同裝載能力的車輛從車庫(kù)點(diǎn)出發(fā)，實(shí)現(xiàn)對(duì)所有顧客點(diǎn)的配送服務(wù)，最終回到車庫(kù)。每個(gè)顧客點(diǎn)有一個(gè)固定的需求和固定的服務(wù)時(shí)間，并且只能由一輛車服務(wù)。車輛必須在時(shí)間窗內(nèi)到達(dá)顧客點(diǎn)，且不能晚于結(jié)束時(shí)間；如果車輛到達(dá)時(shí)間早于顧客規(guī)定的時(shí)間窗開(kāi)始時(shí)間，那么車輛需要等待。優(yōu)化目標(biāo)是確定車輛的行駛路線，在滿足顧客要求的前提下，使得總費(fèi)用最小。

為描述方便，定義如下的標(biāo)號(hào)和參數(shù)變量：

cij：表示節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j間的距離；

V：表示車輛集合；

tij、ati、wti、sti：分別表示車輛從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的行駛時(shí)間、到達(dá)節(jié)點(diǎn)i的時(shí)間、在服務(wù)節(jié)點(diǎn)i前的等待時(shí)間和服務(wù)節(jié)點(diǎn)i的持續(xù)服務(wù)時(shí)間；

［Ei，Li］：節(jié)點(diǎn)i的時(shí)間窗，最早和最遲開(kāi)始服務(wù)時(shí)間；

di：表示第i個(gè)顧客的配送貨物量；

Qv：車輛v的載重量；

xijv：是0－1類型的決策變量，即：

那么，VRPTW的數(shù)學(xué)模型為：

滿足以下條件：

其中，式（1）表示目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)最小化使用車輛數(shù)和車輛行駛總路徑長(zhǎng)度兩個(gè)目標(biāo)。式（2）和式（3）表示每輛車都要從車庫(kù)出發(fā)，最終回到車庫(kù)。式（4）和式（5）表示每個(gè)顧客有且僅有一輛車為其服務(wù)。式（6）表示運(yùn)貨量不能超過(guò)車輛的載重量。式（7）、式（8）分別是車輛在節(jié)點(diǎn)i的等待時(shí)間、到達(dá)節(jié)點(diǎn)j的時(shí)間的計(jì)算公式，其中wt0＝0，at0＝0，st0＝0。式（9）是時(shí)間窗約束，即顧客到達(dá)節(jié)點(diǎn)i的時(shí)間需在時(shí)間窗關(guān)閉之前。式（10）指決策變量是0－1變量。

3 多目標(biāo)文化基因算法

3.1 精英解的存儲(chǔ)和選擇機(jī)制

MOMA算法是基于種群的全局搜索和基于個(gè)體的局部搜索的結(jié)合，因此首先要解決的是如何協(xié)調(diào)種群搜索和局部搜索得到的Pareto非占優(yōu)解的相互關(guān)系。如圖1所示，對(duì)父代種群經(jīng)過(guò)交叉操作得到的每個(gè)新個(gè)體進(jìn)行局部搜索，搜索得到的局部最優(yōu)解作為子代的個(gè)體。采用一個(gè)容量足夠大的存儲(chǔ)池結(jié)構(gòu)來(lái)存儲(chǔ)局部搜索得到的Pareto非占優(yōu)解。比較存儲(chǔ)池中的解集，如果在局部搜索過(guò)程中得到了新的Pareto非占優(yōu)解，那么就用其更新存儲(chǔ)池中的一個(gè)劣解。局部搜索完成后，對(duì)父代種群、子代種群和存儲(chǔ)池中的所有解采用基于Pareto排序和擁擠度的選擇機(jī)制［10］進(jìn)行選擇操作，得到新的父代種群，然后進(jìn)行新的一次迭代過(guò)程。

3.2 適應(yīng)度函數(shù)

因?yàn)榉N群搜索和局部搜索的機(jī)制不同，所以在同時(shí)考慮個(gè)體的兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，采用兩種不同的適應(yīng)度函數(shù)，分別應(yīng)用于對(duì)種群的選擇操作和對(duì)局部搜索的最優(yōu)解選擇操作。

Figure 1 Diagram of elite solutions storage and coordination mechanism圖1 精英解的存儲(chǔ)和協(xié)調(diào)機(jī)制示意圖

種群的選擇操作采用基于Pareto排序和擁擠度的度量方法［10］，即：

其中，第一項(xiàng)rank（x）表示Pareto占優(yōu)的層級(jí)關(guān)系，rank（x）＜rank（y）表示解x占優(yōu)y。第二項(xiàng)Crowding－distance（x）是擁擠距離，描述了在同一rank中x與相鄰兩個(gè)解的距離，距離越大表示該解越好。在進(jìn)行選擇操作時(shí)，對(duì)父代種群、子代種群和存儲(chǔ)池中的所有解按照第一關(guān)鍵字是rank升序、第二關(guān)鍵字是Crowding－distance降序的方式進(jìn)行排序，然后選擇前N個(gè)（N為種群規(guī)模200）個(gè)體進(jìn)入下一代。

在局部搜索過(guò)程中，每次都要從候選的鄰域解列表中選擇一個(gè)最好的解來(lái)更新當(dāng)前解，然后繼續(xù)搜索其鄰域，因此可以引入Pareto強(qiáng)度的概念來(lái)定義局部搜索運(yùn)用的適應(yīng)度函數(shù)［11］。

其中，S（x）是在存儲(chǔ)池中被x占優(yōu)的解的個(gè)數(shù)，W（x）是在存儲(chǔ)池中占優(yōu)x的解的個(gè)數(shù)。局部適應(yīng)度函數(shù)反映了解x在解集中Pareto占優(yōu)關(guān)系的強(qiáng)弱程度，若x強(qiáng)度大，則適應(yīng)度高，表明x在解集中處于優(yōu)勢(shì)地位，可以在局部搜索過(guò)程中優(yōu)先搜索處于優(yōu)勢(shì)地位解的鄰域。

3.3 染色體編碼方式、初始種群的生成及交叉算子

MOMA算法采用車輛行駛路徑順序的自然數(shù)編碼方式。用自然數(shù)表示顧客；0表示車庫(kù)，用來(lái)區(qū)分不同車輛的行駛路徑。假如，三輛車的行駛路徑分別為（1→2→3）、（4→5）和（6→7→8），車庫(kù)中有五輛車，則染色體編碼為（0，1，2，3，0，4，5，0，6，7，8，0，0）。

采用隨機(jī)車輛配載方法生成初始種群個(gè)體，每個(gè)個(gè)體對(duì)應(yīng)一個(gè)可行解。具體方法為：首選，對(duì)顧客按照時(shí)間窗結(jié)束時(shí)間Li由早到晚排序得到顧客序列，根據(jù)載重量和時(shí)間窗估計(jì)每輛車服務(wù)顧客的數(shù)量N＊；然后，在顧客序列中以大致等長(zhǎng)的間隔隨機(jī)抽取N＊個(gè)顧客組成一條路徑，并保證滿足時(shí)間窗和載重量約束。要求間隔的選擇具有一定的隨機(jī)性，這樣就可以生成不同的初始解。

交叉算子采用Ombuki等［8］的方法，隨機(jī)選擇兩個(gè)父代染色體P1、P2，每個(gè)染色體隨機(jī)選取一輛車所服務(wù)的顧客序列作為交叉信息，記為…和s…，然后把…從P1中移除，應(yīng)用插入可行鄰域［12］，再依次把…插回到P1中，得到子代個(gè)體。同樣，把s…先從P中移除再2依次插回，得到另一個(gè)子代個(gè)體。

3.4 局部禁忌搜索機(jī)制

利用插入可行鄰域和2－Opt可行鄰域［12］兩種鄰域結(jié)構(gòu)，對(duì)父代種群交叉操作后得到的中間種群進(jìn)行禁忌搜索，鄰域結(jié)構(gòu)采取隨機(jī)選擇的策略。插入可行鄰域的禁忌對(duì)象設(shè)置為鄰域類型以及插入的顧客和插入點(diǎn)的緊后顧客組成的顧客對(duì)；2－Opt可行鄰域的禁忌對(duì)象設(shè)置為鄰域類型以及兩個(gè)路徑斷點(diǎn)的緊后顧客組成的顧客對(duì)。禁忌長(zhǎng)度設(shè)置最小值LMINTA和最大值LMAXTA，在局部搜索中禁忌長(zhǎng)度由最小值均勻地增大到最大值。藐視準(zhǔn)則為若禁忌對(duì)象對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)fit2（x）優(yōu)于最好解，則無(wú)視其禁忌屬性而仍采納其為當(dāng)前選擇。設(shè)置兩種停止規(guī)則：一種是設(shè)置一個(gè)最大迭代數(shù)IMTA；另一種是在INMTA（INMTA＜IMTA）次迭代內(nèi)所發(fā)現(xiàn)的最好解無(wú)法改進(jìn)，即停止局部搜索。

3.5 算法總體流程

MOMA結(jié)合了種群搜索和個(gè)體搜索，選擇不同的進(jìn)化操作和局部搜索策略構(gòu)成不同的MOMA。本文選擇對(duì)初始種群和進(jìn)行交叉操作后得到的子代種群進(jìn)行局部搜索，MOMA的具體流程如算法1的偽代碼所示。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

測(cè)試采用Solomon的r1和rc1兩類benchmark數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來(lái)自http：//web.cba.neu.edu/～msolomon/problems.htm），r類數(shù)據(jù)集節(jié)點(diǎn)的地理位置為隨機(jī)生成，rc類數(shù)據(jù)集的每個(gè)算例的一部分顧客需求是隨機(jī)生成，另一部分顧客需求在地理位置或者服務(wù)時(shí)間窗上具有聚集特征。算法用VC＋＋6.0編程實(shí)現(xiàn)，在Intel Pentium Dual T2410 CPU 2 GHz、1 GB內(nèi)存、Windows XP SP3的主機(jī)上運(yùn)行。

與不帶局部搜索的多目標(biāo)算法NSGA－Ⅱ和線性加權(quán)的單目標(biāo)MA算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證本文提出的MOMA算法的有效性。經(jīng)多次反復(fù)實(shí)驗(yàn)設(shè)置MOMA算法的參數(shù)為：種群規(guī)模200，進(jìn)化代數(shù)80，候選解數(shù)目300，LMINTA＝5，LMAXTA＝20，IMTA＝1000，INMTA＝100。MA采取順序優(yōu)化的方式，首先優(yōu)化車輛使用數(shù)目標(biāo)，然后優(yōu)化車輛行駛總路徑長(zhǎng)度，可以加權(quán)目標(biāo)函數(shù)為min（1000f1＋f2），并作為個(gè)體的適應(yīng)度，在種群選擇過(guò)程中選取適應(yīng)度小的個(gè)體進(jìn)入下一代。

NSGA－Ⅱ參數(shù)為：進(jìn)化代數(shù)800，變異算子為2－Opt可行鄰域，變異概率0.2，其余參數(shù)和MOMA相同。GA較MA選擇較大的進(jìn)化代數(shù)是考慮了收斂效果和計(jì)算耗時(shí)兩個(gè)因素。每個(gè)算例均獨(dú)立運(yùn)行10次，記錄最好解。性能對(duì)比結(jié)果如表1所示，每個(gè)解包括使用的車輛數(shù)nv、總路徑長(zhǎng)度和平均運(yùn)行時(shí)間。對(duì)比三種算法的求解結(jié)果，用加粗的字體顯示了較好的解和較快的求解時(shí)間。

從計(jì)算耗時(shí)來(lái)看，NSGA－Ⅱ、MA和MOMA呈遞增趨勢(shì)，這是因?yàn)榫植拷伤阉餍枰趥€(gè)體的基礎(chǔ)上搜索大量的鄰域結(jié)構(gòu)，從而增加了程序的運(yùn)行時(shí)間，而基于Pareto的排序又增加了MOMA的運(yùn)算時(shí)間。但是，從求解質(zhì)量上看，MA和MOMA都要明顯優(yōu)于NSGA－Ⅱ，說(shuō)明局部搜索策略可以顯著提高算法的尋優(yōu)能力。比較MA和MOMA，有10個(gè)算例雙方都得到了唯一解。這10個(gè)算例中MA和MOMA各有5個(gè)解要好于對(duì)方，說(shuō)明基于Pareto的優(yōu)化方式在求解有唯一最優(yōu)解的情況時(shí)不差于線性加權(quán)的方法，魯棒性較好。在其余的10個(gè)算例中，MOMA都得到了多個(gè)解，其中有7個(gè)算例MOMA得到的Pareto最優(yōu)解都要好于MA，有2個(gè)算例（r102和r109）MA得到的最優(yōu)解好于MOMA的某個(gè)最優(yōu)解，而只有1個(gè)算例（rc101）MA得到的最優(yōu)解好于MOMA得到的所有Pareto最優(yōu)解，說(shuō)明MOMA求解多目標(biāo)問(wèn)題時(shí)具有很大的優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了求解VRPTW問(wèn)題的多目標(biāo)文化基因算法，種群搜索采用遺傳算法的進(jìn)化模式，局部搜索采用禁忌搜索機(jī)制。種群的選擇操作采用基于Pareto排序和擁擠度的度量方法來(lái)定義適應(yīng)度函數(shù)，局部搜索采用Pareto強(qiáng)度來(lái)定義適應(yīng)度函數(shù)。對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，帶局部搜索機(jī)制的

MOMA明顯優(yōu)于不帶局部搜索的NSGA－Ⅱ，而且

MOMA的多目標(biāo)機(jī)制對(duì)優(yōu)化最優(yōu)解唯一的問(wèn)題具有魯棒性，是求解VRPTW問(wèn)題的一種有效的多目標(biāo)優(yōu)化算法。這對(duì)研究其他類型的車輛路徑問(wèn)題和多目標(biāo)優(yōu)化方法提供了一定的參考。

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Table 1 Experimental results表1 程序運(yùn)行結(jié)果

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