仲濟濤 劉 釗
(東南大學混凝土及預應力混凝土結構教育部重點實驗室, 南京 210096)
在混凝土梁橋的設計中,D區(qū)是指截面應變分布呈現(xiàn)明顯非線性的區(qū)域.由于D區(qū)力流紊亂,平截面假定不再適用.拉壓桿模型是D區(qū)設計的一種實用的新方法,是由德國Ritter和M?rsch提出的經(jīng)典桁架模型逐漸演變而來,自20世紀80年代以來,經(jīng)眾多研究者[1-3]的探索,拉壓桿模型已被廣泛認為是指導配筋設計的有力工具[4-5].
確定拉壓桿模型的構形是D區(qū)設計的第一步.在構形方法中,除荷載路徑法和應力跡線法外,一些研究者提出利用拓撲優(yōu)化方法進行構形.此方法按基本結構類型可分為2類:以微桁架作為基本結構[6-7]和以連續(xù)體作為基本結構[8-11].文獻[8]將PBO方法(performance-based optimization)用于鋼筋混凝土結構拉壓桿模型的自動構形,并以帶位移約束條件的結構重量作為結構性能指標.文獻[10]研究了預應力混凝土梁拉壓桿模型的構形方法,通過把預應力作為外荷載,將預應力混凝土拉壓桿模型的構形問題轉換為連續(xù)結構的拓撲優(yōu)化問題.文獻[12]提出了一種自動搜尋拉壓桿模型最優(yōu)構形的方法.文獻[13]基于最小應變能準則提出一種自動構建拉壓桿模型的一般化方法.文獻[14]利用漸進結構優(yōu)化(evolutionary structural optimization,ESO)方法構建了鋼筋混凝土結構的拉壓桿模型,此方法適用于平面應力單元以及與其等效的桁架單元.文獻[15]利用拓撲優(yōu)化和最小應變能準則構建了錨固橫隔板的三維拉壓桿模型.文獻[9,11]借助有限單元庫,提出一種基于最小柔度優(yōu)化的方法構建拉壓桿模型,并將此方法的應用擴展到多工況荷載下鋼筋混凝土結構的抗震設計.
本文針對不同預應力度λ下的預應力混凝土簡支梁,自行編制了單元生死并行的雙向漸進結構優(yōu)化程序,實現(xiàn)了拉壓桿模型的自動構形.在此基礎上研究了不同預應力度下預應力混凝土簡支梁的受力行為,并與Schlaich等[1]構建的拉壓桿模型進行了對比分析.
根據(jù)ESO方法的原理,本文取下式作為結構進化的性能指標:
(1)
式中,E0,V0及Ei,Vi分別表示初始狀態(tài)下及經(jīng)過第i次優(yōu)化后結構的總應變能和總體積.
在結構中,每個單元對結構性能的貢獻并不相同,這就需要優(yōu)化算法對單元進行選擇,刪除對結構力學性能影響小的單元,保留或增加對力學性能影響大的單元.應力優(yōu)化是結構優(yōu)化最初的研究方向.Von Mises應力準則是常用的準則之一,即
(2)
式中,σVM是單元的Mises應力;σ1,σ2,σ3分別表示第一主應力、第二主應力與第三主應力.
本文拓撲優(yōu)化的基本思想是在高Mises應力單元周圍生成新單元,共同分擔應力以降低應力水平,同時刪除低Mises應力單元,如圖1所示.反復迭代,最終使得結構中的應力分布趨于均勻.為方便描述,作如下定義:
Ti+1=Ti+TiTi+1∈Γ;i=1,2,…,n
(3)
式中,Ti+1為第i+1階拓撲構形;Ti為結構進化方向;Γ為進化空間;n為迭代次數(shù).其中Ti的確定是優(yōu)化的關鍵.本文參考文獻[16]關于優(yōu)化準則的理論,通過應力一致的原則確定Ti.
圖1 單元生長與刪除
雙向漸進結構優(yōu)化經(jīng)常存在如下問題:若生長率過大,則會導致單元生長過剩,結構拓撲構形冗余單元較多;若刪除率過大,則會導致結構拓撲構形變化較大,求解不易收斂.針對此缺陷,本文引入單元生長和刪除加速度因子Fa,Fr,使得在優(yōu)化初期,結構以生長為主,到達設置的迭代次數(shù)后,結構生長減緩,單元刪除率逐漸增大,從而增強了雙向漸進結構優(yōu)化程序的穩(wěn)定性.單元生長與刪除的具體規(guī)則如下:在每次迭代過程中,若單元Mises應力滿足下式:
(4)
(5)
式中,A為生長率基數(shù),本文取0.95;Ia為生長進化速度,本文取0.002;Fa為生長加速度,其表達式為
(6)
式中,i表示迭代次數(shù);Ca為設置的生長加速點,Ca∈N,且Ca 若單元Mises應力滿足下式: (7) Rr=D+(i-1)IrFr (8) 式中,D為刪除率基數(shù),本文取0.01;Ir為刪除進化速度,本文取0.01;Fr為刪除加速度,其表達式為 (9) 式中,Cr為設置的刪除加速點,Cr∈N,且Cr 本文以Ansys為開發(fā)環(huán)境,編制了單元生死并行的雙向漸進結構優(yōu)化程序.雙向迭代優(yōu)化流程如圖2所示. 圖2 雙向拓撲優(yōu)化流程圖 本文通過一個算例來驗證程序的可行性.簡支梁跨中受集中力作用.優(yōu)化目標是尋找結構的最優(yōu)構形,拓撲優(yōu)化過程如圖3所示.新生單元不斷出現(xiàn)在高應力區(qū)域,沒有空間限制,但這并不意味著單元會持續(xù)生長.當單元的增加無法有效降低相鄰高應力單元的應力水平時,在下一輪的迭代中這些單元則會被刪除.從圖3中可以看出,最終拓撲構形中的單元絕大多數(shù)為新生單元,超出了原結構的范疇.但是此程序同樣適用于有邊界限制的結構. 圖4為一預應力混凝土簡支梁,梁長L=8 m,矩形截面,承受2個集中力荷載F=10 kN.混凝土彈性模量Ec=34.5 GPa,泊松比μc=0.3.采用平面實體單元建模.下面按預應力度λ=0,0<λ<1,λ>1三種情況分別進行討論.3種預應力度下的結構性能指標曲線如圖5所示. 圖3 簡支梁雙向優(yōu)化過程 圖4 預應力混凝土梁示意圖(單位:m) 圖5 結構進化指標 預應力度λ=0,即普通鋼筋混凝土梁.由圖5可見,隨著優(yōu)化的進行,性能指標Pin由1.0逐漸增大,在第64次迭代時達到峰值1.37.隨后,性能指標Pin急劇下降,說明此時單元刪除率遠大于單元生長率.過多的單元剔除使得結構產(chǎn)生較大的位移.本文提出的算法為啟發(fā)式算法,Ra與Rr的選取并無嚴格的數(shù)學證明,無法得到精確解.考慮到優(yōu)化過程中高應力單元生長與低應力單元刪除的平衡,Ra與Rr兩者之和應接近于1,并且Rr應遠小于1.如果兩者比例失衡,將會出現(xiàn)單元只增不減或只減不增,甚至是不增不減的無效拓撲. 普通鋼筋混凝土梁的拓撲構形如圖6(a)所示.考慮到結構的對稱性,取結構的一半.根據(jù)拓撲構形構建的拉壓桿模型如圖6(b)所示,由圖可以看出,有的鋼筋(拉桿)從底部彎起,用以抵抗剪跨內產(chǎn)生的拉應力.力學模型可采用桁架模型.Schlaich等[1]構建的拉壓桿模型如圖6(c)所示,考慮到實配箍筋情況,文獻[1]在剪跨內采用了豎向拉桿以抵抗拉應力. 圖6 鋼筋混凝土梁 在混凝土梁的兩端施加p=5 kN的等效預應力荷載,結構進化曲線如圖5所示.性能指標Pin在第90次迭代時達到最大值1.58,為3條進化曲線峰值中的最大值. 比較圖6(a)與圖7(a)可發(fā)現(xiàn),預應力的施加明顯改變了結構的傳力路徑.從圖7(b)可以看出,相對于鋼筋混凝土梁,部分預應力混凝土梁拉壓桿模型的底部拉桿長度變短,使得傳力路徑更加直接.同時,部分預應力混凝土梁拉壓桿模型中的壓桿增多,并有與最外圍的“拱形”壓桿匯合的趨勢,結構受力逐漸由“梁行為”向“拱行為”過度.力學模型可采用桁架-拱疊合模型.Schlaich等[1]構建的拉壓桿模型如圖7(c)所示,底部拉桿縮短,并與豎向方向的拉桿(箍筋)連接. 圖7 部分預應力混凝土梁(p=5 kN) 為進一步考察預應力度為0<λ<1時不同預應力水平引起的傳力路徑的變化,分別施加p=16,30 kN的等效預應力進行分析.拓撲優(yōu)化結果以及拉壓桿模型構形如圖8所示.比較圖7(b)、圖8(b)與圖8(d)可以看出,隨著預應力水平的提高,拉壓桿模型中的拉桿數(shù)量進一步減少.以集中力作用點為頂點,壓桿之間的夾角逐漸減小,呈“歸并”趨勢.由于拓撲結構中桿件的粗細代表桿件受力的相對大小,比較圖7(a)、圖8(a)與圖8(c)可知,隨著預應力水平的進一步提高,“拱形”壓桿逐漸“變粗”,結構受力的“拱行為”增強;處于拱形壓桿下方的其他拉、壓桿逐漸變細,結構受力的“梁行為”削弱.當λ>1時,結構呈現(xiàn)為“拱形構形”(見圖9(a)). 圖8 部分預應力混凝土(p=16,30 kN) 在混凝土梁兩端施加p=60 kN的等效預應力,此時控制截面受拉區(qū)邊緣不出現(xiàn)拉應力.其性能指標曲線如圖5所示,在第74次迭代時,性能指標Pin達到最大值1.42,略高于無預應力混凝土.在進化過程中,雖然結構體積整體呈下降趨勢,但過大的預應力使得結構應變能減小緩慢,因此進化曲線相對平緩.由圖9(b)可以看出,拉壓桿模型僅包含壓桿,結構受力由“梁行為”轉換為“拱行為”.力學模型可采用拱模型.圖9(c)為Schlaich等[1]提出的全預應力混凝土梁的拉壓桿模型.其力學模型為拱-桁疊合模型. 圖9 全預應力混凝土(p=60 kN) 1) 漸進結構拓撲優(yōu)化是尋找混凝土結構傳力路徑的一種有效方法.本文在雙向漸進拓撲優(yōu)化算法中,以體積應變能為效率指針,通過引入單元生長與刪除加速度因子,消除了無效拓撲的發(fā)生,有效增強了雙向漸進優(yōu)化過程的穩(wěn)定性. 2) 利用自行編制的雙向拓撲優(yōu)化程序,針對2個集中力作用工況,得到了不同預應力度下梁的拓撲構形,揭示了鋼筋混凝土、部分預應力混凝土及全預應力混凝土梁的傳力路徑和合理力學模型:鋼筋混凝土梁可采用桁架模型,部分預應力梁可采用桁架-拱疊合模型,全預應力梁可采用拱模型或拱-桁疊合模型.運用本文算法及程序,同樣可以得到其他受力工況下的最優(yōu)拓撲構形. ) [1] Schlaich J, Schafer K, Jennewein M. Toward a consistent design of structural concrete [J].JournalofthePrestressedConcreteInstitute, 1987,32(3): 74-150. [2] Collins M P, Mitchell D. A rational approach for shear design [J].ACIStructuralJournal, 1986,83(6): 925-933. [3] Collins M P, Mitchell D. Shear and torsion design of prestressed and nonprestressed concrete beams [J].PCIJournal, 1980,25(2): 32-100. [4] American Association of State Highway and Transportation Officials. AASHTO LRFD bridge specifications [S]. Washington: John Wiley & Sons, 2007. [5] ACI Committee 318. ACI 318M—08 Building code requirements for structural concrete and commentary [S]. Michigan, USA: American Concrete Institute, 2008. [6] Kumar P. Optimal force transmission in reinforced concrete deep beams [J].Computers&Structures, 1978,8(2): 223-229. [7] Ali M A, White R N. Automatic generation of truss model for optimal design of reinforced concrete structures [J].ACIStructuralJournal, 2001,98(4): 431-442. [8] Liang Q Q. Topology optimization of strut-and-tie models in reinforced concrete structures using an evolutionary procedure [J].ACIStructuralJournal, 2000,97(2): 322-332. [9] Bruggi M. Generating strut-and-tie patterns for reinforced concrete structures using topology optimization [J].Computers&Structures, 2009,87(23/24): 1483-1495. [10] Liang Q Q. Generating optimal strut-and-tie models in prestressed concrete beams by performance-based optimization [J].ACIStructuralJournal, 2001,98(2): 226-232. [11] Bruggi M. On the automatic generation of strut and tie patterns under multiple load cases with application to the aseismic design of concrete structures [J].AdvancesinStructuralEngineering, 2010,13(6): 1167-1181. [12] Biondini F, Bontempi F. Optimal strut-and-tie models in reinforced concrete structures [J].ComputerAssistedMechanicsandEngineeringSciences, 1999,6(3): 279-293. [13] Biondini F, Bontempi F. Stress path adapting strut-and-tie models in cracked and uncracked R.C. elements [J].StructuralEngineeringandMechanics, 2001,12(6): 685-698. [14] Kwak H G, Noh S H. Determination of strut-and-tie models using evolutionary structural optimization [J].EngineeringStructures, 2006,28(10): 1440-1449. [15] He Z Q, Liu Z. Optimal three-dimensional strut-and-tie models for anchorage diaphragms in externally prestressed bridges [J].EngineeringStructures, 2010,32(8): 2057-2064. [16] Tanskanen P. The evolutionary structural optimization method theoretical aspects [J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering, 2002,191(47/48): 5485-5498.1.3 雙向優(yōu)化過程
1.4 算例
2 預應力簡支梁拉壓桿模型
2.1 鋼筋混凝土梁(λ=0)
2.2 部分預應力混凝土梁(0<λ<1)
2.3 全預應力混凝土梁(λ>1)
3 結論