曾文舟，吳黎明，張賀云，陳劉

(廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，廣東廣州510006)

數(shù)控折彎機(jī)在包裝、印刷等行業(yè)擁有不可替代的地位[1]，而我國所依賴的進(jìn)口設(shè)備價(jià)格昂貴和維修困難，為此研發(fā)一個(gè)簡單實(shí)用的折彎機(jī)數(shù)控系統(tǒng)很有必要。

在數(shù)控折彎機(jī)系統(tǒng)的核心研發(fā)過程[2]中，其中一個(gè)困難問題是彈性形變引起的角度補(bǔ)償。由于角度補(bǔ)償關(guān)系是非線性的，并且受工件的硬件條件影響較大，因此很難用理想計(jì)算式表示[3]。傳統(tǒng)的折彎機(jī)系統(tǒng)(包括韓國、日本和意大利進(jìn)口的機(jī)器)是通過力學(xué)建模進(jìn)行大量數(shù)據(jù)的模擬和補(bǔ)償，這種方法雖在理論上全面地考慮了各方面的影響因素，并通過復(fù)雜的計(jì)算得到大量的參數(shù)，工人只需結(jié)合實(shí)際情況對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償以便達(dá)到理想效果;然而此方法因沒有考慮到工人的理論知識(shí)水平、刀片材質(zhì)的均勻度和一致性以及加工零件的老化等實(shí)際問題，存在著難于理解、靈活性弱、維護(hù)性差等實(shí)際問題。此外，這些機(jī)器針對(duì)加工速度和刀片材質(zhì)的補(bǔ)償亦相當(dāng)粗略，只是離散幾個(gè)速度值和幾種材質(zhì)的刀片進(jìn)行類似參數(shù)的調(diào)整，沒有真正建立起角度補(bǔ)償與速度以及刀片材質(zhì)之間的關(guān)系。因此，它在實(shí)際應(yīng)用中效果并不理想，特別是系統(tǒng)的維護(hù)性比較差。

作者在復(fù)變量移動(dòng)最小二乘法[4]的基礎(chǔ)上，針對(duì)它在基函數(shù)個(gè)數(shù)較大時(shí)系數(shù)解矩陣病態(tài)甚至奇異以及在處理非均勻點(diǎn)集時(shí)精度差的缺陷，提出一種改進(jìn)型的復(fù)變量移動(dòng)最小二乘法，根據(jù)采樣點(diǎn)集的稀疏程度自適應(yīng)地調(diào)整緊支域半徑，有效減少了采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)的不均勻帶來的誤差影響，并能保證系數(shù)解矩陣有正確的解，在計(jì)算量相當(dāng)?shù)那闆r下，提高了擬合精度。在折彎機(jī)系統(tǒng)角度補(bǔ)償應(yīng)用中，具有簡單、精度高、可維護(hù)性強(qiáng)、操作方便等優(yōu)點(diǎn)。

1 復(fù)變量移動(dòng)最小二乘法

在待擬合點(diǎn)z的緊支域內(nèi)，擬合函數(shù)可表示為

為實(shí)現(xiàn)移動(dòng)最小二乘法，定義局部加權(quán)平方誤差如下

其中:zi為待擬合點(diǎn)z 緊支域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)，w(z－zi)為點(diǎn)zi對(duì)點(diǎn)z 擬合值的權(quán)值函數(shù)。

根據(jù)最小二乘法規(guī)則，為了使擬合誤差最小，須滿足

解得

其中

這樣便可以求得逼近函數(shù)的待定系數(shù)，從而求得擬合函數(shù)。

2 重要參數(shù)分析

2.1 基函數(shù)

基函數(shù)一般選取為完備單項(xiàng)式，即線性基、二次基等，所選函數(shù)階次越高，其擬合就越精確，但是算法復(fù)雜度也越大，因此作者折中選取二次基。值得一提的是，向量MLS 相對(duì)傳統(tǒng)MLS 來說能夠在很大程度上減少基函數(shù)的個(gè)數(shù)。例如對(duì)于文中選取的二次基來說，傳統(tǒng)MLS的pT(x1，x2，x2)=(1，x1，x2，x21，x1而向量MLS的pT(z)=[1，z，z2]，m=3。這樣，在一定程度上大大減少了緊支域的相關(guān)節(jié)點(diǎn)數(shù)，從而大大減少了計(jì)算量。在向量移動(dòng)最小二乘法當(dāng)中，當(dāng)m 比較大時(shí)，方程(5)有時(shí)是病態(tài)的，甚至是奇異的。這樣方程(5)就難以求解或難以獲得正確的解。若選取正交權(quán)函數(shù)作為基函數(shù)，則所得到的方程不會(huì)出現(xiàn)病態(tài)或奇異的情況，因此其必然有解[4]。

2.2 緊支域半徑

根據(jù)MLS 局部逼近的特性，MLS的權(quán)函數(shù)w(x－xi)應(yīng)該具有緊支性，這個(gè)子域稱為權(quán)函數(shù)的緊支域(或影響域)，一般用圓形來表示其區(qū)域，其半徑記為R。權(quán)函數(shù)須有一定的光滑性，因?yàn)閿M合函數(shù)的光滑性取決于權(quán)函數(shù)的光滑性[6]。為了有效、方便地控制計(jì)算的局部和全局特性，文中選擇Gauss函數(shù)為權(quán)函數(shù)，如式(7)所示

式中:t為一因子，控制著擬合精度，文中取t=2;r一般取|x－xi|/R，R為待擬合點(diǎn)x的緊支域半徑。式(7)在[－1，1]區(qū)間里有值，而在區(qū)間外其值為0，為了減少計(jì)算量，[－1，1]區(qū)間外的數(shù)據(jù)不代入式(7)中計(jì)算。

文獻(xiàn)[4]提出的以帶權(quán)的正交函數(shù)族作為基函數(shù)便可總是求得正確的解矩陣這一結(jié)論存在著一個(gè)重要的前提條件，即須滿足存在合適數(shù)量的緊支域節(jié)點(diǎn)以使得相應(yīng)的權(quán)函數(shù)不為0，進(jìn)而令A(yù)(z)為對(duì)角矩陣，避免病態(tài)或奇異解情況。因此，問題的核心變成了緊支域節(jié)點(diǎn)的選取或半徑的確定。擬合點(diǎn)xi緊支域中的節(jié)點(diǎn)數(shù)直接影響擬合的結(jié)果，如果節(jié)點(diǎn)數(shù)過少，可能會(huì)影響計(jì)算精度或產(chǎn)生病態(tài)甚至奇異矩陣，從而得不到解或者得到錯(cuò)誤的解;反之，如果節(jié)點(diǎn)數(shù)過多，緊支域半徑會(huì)增大，使該點(diǎn)的區(qū)域特性表現(xiàn)得不明顯，從而影響精度，并且計(jì)算效率相對(duì)低下。

為了保證所有點(diǎn)的定義域中都能包含合適數(shù)量的節(jié)點(diǎn)數(shù)，需要視情況改變緊支域半徑R的取值，即在節(jié)點(diǎn)較稀疏的區(qū)域，選擇較大的緊支域半徑，而在節(jié)點(diǎn)較密集的區(qū)域，選擇較小的緊支域半徑[5]。

3 緊支域半徑自適應(yīng)調(diào)整算法

針對(duì)傳統(tǒng)MLS 對(duì)非均勻點(diǎn)集擬合的缺陷，提出了一種緊支域半徑自適應(yīng)調(diào)整算法，在計(jì)算待擬合點(diǎn)V時(shí)，緊支域半徑R可根據(jù)V 周圍的采樣點(diǎn)分布密集程度進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，使V 在采樣點(diǎn)分布密集區(qū)時(shí)，R 相對(duì)較小，而在采樣點(diǎn)分布稀疏區(qū)時(shí)，R 相對(duì)較大，整體規(guī)則為保證式(5)中A(x)可逆，即包含在V 緊支域內(nèi)至少有k個(gè)線性無關(guān)的采樣點(diǎn)[7]，在此基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)基于二分查找法的自適應(yīng)半徑調(diào)整算法。以二維自變量為例，算法基本思想和流程如下:

(1)按照采樣點(diǎn)集的自變量坐標(biāo)確定其在二維坐標(biāo)系xy 中的坐標(biāo)，并以待擬合點(diǎn)為圓心、單位半徑(可定為一個(gè)很小的定值)為初始半徑，畫一個(gè)圓形。

(2)比較此圓形里面包含的采樣點(diǎn)數(shù)目n 跟k的大小關(guān)系，若n ＜k，轉(zhuǎn)到步驟(3);否則轉(zhuǎn)到步驟(4)。

(3)調(diào)整現(xiàn)時(shí)的半徑令其為原來的兩倍，并重新修正原來的圓形，然后轉(zhuǎn)到步驟(2)進(jìn)行比較。

(4)設(shè)原來的半徑為Rlast，現(xiàn)在的半徑為Rcurr(其中Rcurr＞Rlast)，分別以兩者為首項(xiàng)和尾項(xiàng)運(yùn)用二分查找算法可在Ο(log(n/2))時(shí)間里找到待擬合點(diǎn)的m=k個(gè)鄰近點(diǎn)。

(5)對(duì)待擬合點(diǎn)的m個(gè)鄰近點(diǎn)所組成的A(x)求秩，若其rank(A(x))＜k，則轉(zhuǎn)到步驟 (6);若rank(A(x))=k，算法結(jié)束，并可確定待擬合點(diǎn)的k個(gè)鄰近點(diǎn)的坐標(biāo)。

(6)m=m+k－rank(A(x))，即修正待擬合點(diǎn)的鄰近點(diǎn)數(shù)目以令其實(shí)現(xiàn)rank(A(x))=k，并轉(zhuǎn)到步驟(5)。

程序結(jié)束后，待擬合點(diǎn)的k個(gè)鄰近點(diǎn)便可確定，即其緊支域半徑R 也可確定，根據(jù)R 對(duì)權(quán)函數(shù)的影響，式(2)及之后各式中的w(z－zi)由w((z－zi)/R)替換。即式(2)變成了

4 結(jié)果分析

對(duì)傳統(tǒng)MLS 和動(dòng)態(tài)調(diào)整半徑MLS (Dynamic Radius MLS，DRMLS)在非均勻點(diǎn)集情況下進(jìn)行曲線和曲面擬合對(duì)比性試驗(yàn)。

4.1 直線角的曲線擬合

直線角只折一次，所產(chǎn)生的力矩在彈性形變響應(yīng)時(shí)間范圍內(nèi)對(duì)刀片有一定的定型效果，在工程角度上，由速度引起的影響可以忽略不計(jì)，因此其函數(shù)關(guān)系式退化為一維，即y=f(x)，其中x為理論角度值，y為刀片成型x角度需要執(zhí)行的步進(jìn)量。由于工件本身的限制，僅需選取x=[0，90°]范圍內(nèi)的采樣點(diǎn)集。另外，因圓弧是按多段重復(fù)性的小角度折線來處理，須對(duì)小角度區(qū)域進(jìn)行細(xì)分使其成為密集區(qū)，從而保證圓弧精度。

據(jù)上選擇x=[1°，2°，3°，4°，5°，6°，7°，8°，9°，10°，15°，20°，30°，45°，60°，75°，90°]等非均勻點(diǎn)，經(jīng)過測(cè)試得到真實(shí)值y=[500，640，700，758，780，840，900，960，1 000，1 030，1 250，1 430，1 700，1 935，2 200，2 480，2 900]，取二次基函數(shù)p(x)=[1，x，x2]分別進(jìn)行MLS 和DRMLS曲線擬合對(duì)比試驗(yàn)。

再選取除擬合點(diǎn)集之外的幾個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，如x=[11°，13°，17°，21°，27°，55°，80°，88°]，進(jìn)行測(cè)試得到真實(shí)值y=[1 050，1 145，1 340，1 440，1 600，2 050，2 570，2 860]，并分別通過MLS 和DRMLS 擬合得到誤差對(duì)比關(guān)系如表1所示。

表1 MLS 和DRMLS曲線擬合誤差對(duì)比表 (°)

4.2 圓弧角的曲面擬合

圓弧是轉(zhuǎn)化為多段重復(fù)性的小角度折線處理的，其成型受速度影響比較大，并存在一種隨機(jī)性，即根據(jù)刀片材質(zhì)的不均勻性也有一定差異。在此忽略同一刀片材質(zhì)的彈性形變差異，設(shè)需要加工的圓弧半徑為x1，現(xiàn)時(shí)速度為x2，復(fù)變量型的自變量z=x1+ix2，設(shè)每一小段刀片成型的角度需要執(zhí)行的步進(jìn)量為y，則可得y=f(z)。在選取采樣點(diǎn)的時(shí)候，注意到平常加工中對(duì)小半徑圓弧的需求量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于大半徑(r ＞30 mm)，又因大半徑圓弧步長相差無幾，其每一段的步進(jìn)補(bǔ)償量也近乎相等。因此選取采樣點(diǎn)時(shí)，須遵循半徑越大采樣點(diǎn)集越稀疏的原則。系統(tǒng)刀頭轉(zhuǎn)動(dòng)的速度因其加減速過程比較難測(cè)量[8]，亦不便定義，為方便起見，選取系統(tǒng)下位機(jī)彎刀電機(jī)步進(jìn)脈沖的頻率來表示速率。據(jù)此選取x1=[0.5 mm，1 mm，1.5 mm，2 mm，2.5 mm，3 mm，4 mm，5 mm，6 mm，7 mm，8 mm，9 mm，10 mm，12 mm，14 mm，16 mm，18 mm，20 mm，25 mm，30 mm，40 mm，50 mm，80 mm，100 mm，200 mm，300 mm，500 mm，800 mm，1 000 mm]，x2=[0.1 kHz，0.5 kHz，1 kHz，2 kHz，5 kHz，10 kHz]，對(duì)兩者進(jìn)行交叉結(jié)合便可得到30×6=180個(gè)點(diǎn)，并從中隨機(jī)不重復(fù)地抽出50個(gè)點(diǎn)分別進(jìn)行MLS 和DRMLS 曲面擬合，其中MLS 采用LANCASTER 等最先實(shí)現(xiàn)的曲面擬合算法[9]，選取二次基函數(shù)p(z)=[1，z，z2]，z=x1+ix2。得到的結(jié)果分別如圖1所示。值得注意的是，隨機(jī)抽取將不影響采樣點(diǎn)集的疏密程度。

圖1 MLS 和DRMLS 進(jìn)行圓弧角度補(bǔ)償曲面擬合對(duì)比示意圖

MLS 和DRMLS 曲面擬合誤差對(duì)比如表2。

表2 MLS 和DRMLS 曲面擬合誤差對(duì)比表

對(duì)比真實(shí)值(測(cè)試可得)、MLS 及DRMLS 擬合結(jié)果可知:DRMLS 比MLS 在采樣點(diǎn)的相對(duì)誤差要小得多，尤其是在點(diǎn)密集區(qū)域內(nèi)。

5 結(jié)論

復(fù)變量移動(dòng)最小二乘法將二維基函數(shù)轉(zhuǎn)化為一維基函數(shù)，可大規(guī)模簡化基函數(shù)的個(gè)數(shù)，減少計(jì)算量，若選取正交基函數(shù)，可保證總是能得到正確的解矩陣。作者在此基礎(chǔ)上，針對(duì)MLS 對(duì)非均勻點(diǎn)集擬合的缺陷，提出一種緊支域半徑隨采樣點(diǎn)集的稀疏程度自適應(yīng)調(diào)整的DRMLS，保證選取待擬合點(diǎn)附近的k個(gè)線性無關(guān)的采樣點(diǎn)集，使A(x)可逆，避免解矩陣的病態(tài)甚至奇異性。該算法基于二分查找法，具有易于編寫、計(jì)算簡單、時(shí)間復(fù)雜度低等優(yōu)點(diǎn)。最后作者將其應(yīng)用到數(shù)控折彎機(jī)的角度非線性補(bǔ)償中，通過多組曲線擬合和曲面擬合對(duì)比實(shí)驗(yàn)分析得:與傳統(tǒng)MLS方法相比，DRMLS 在擬合精度尤其是采樣點(diǎn)密集區(qū)域的精度和平滑性方面得到了較大的改進(jìn)。

【1】江棟才.自動(dòng)彎刀機(jī)的發(fā)展[J].廣東印刷，2005(1):77.

【2】陳穎，謝富春，張叢鵬，等.基于PWAC的折彎機(jī)送料測(cè)長系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J].機(jī)床與液壓，2012，40(2):4－6.

【3】吳黎明，朱妙賢，鄧耀華，等.基于自動(dòng)位置補(bǔ)償?shù)娜毕輽z測(cè)圖像處理技術(shù)[J].上海大學(xué)學(xué)報(bào):英文版，2004，8(z1):252－255.

【4】程玉民，彭妙娟，李九紅.復(fù)變量移動(dòng)最小二乘法及其應(yīng)用[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2005，37(6):719－722.

【5】劉丹，孫金瑋，魏國，等.移動(dòng)最小二乘法在多功能傳感器數(shù)據(jù)重構(gòu)中的應(yīng)用[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2007，33(8):823－828.

【6】曾清紅，盧德唐.基于移動(dòng)最小二乘法的曲線擬合[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2004，25(1):84－89.

【7】PIEGL L A，TILLER W.Algorithm for Finding All k Nearest Neighbors[J].Computer－Aids Design，2002，34(2):167－172.

【8】DENG Yaohua，LIU Guixiong，LIAO Qinfu.Research of FWP Process Deformation Compensation Forecasting on the Basis of TS-FNN[J].Advanced Materials Research，2011，295/296/297 (7):2430－2437.

【9】LANCASTER P，SALKAUSKAS K.Surfaces Generated by Moving Least Squares Methods[J].Mathematics of Computation，1981，37(155):141－158.