王蘭

（中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇徐州 221116）

加權(quán)p，q對稱熵?fù)p失下一類指數(shù)分布族的Bayes估計(jì)

王蘭

（中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇徐州 221116）

在一種新的加權(quán)p，q對稱熵?fù)p失函數(shù)下，研究了一類指數(shù)分布族參數(shù)的Bayes估計(jì)及其可容許性，得到了可靠度的Bayes估計(jì)的一般形式與精確形式，并討論了一類形如cT+d的Bayes估計(jì)的可容許性.

加權(quán)p，q對稱熵?fù)p失函數(shù)；Bayes估計(jì)；可容許性

1 引言

在現(xiàn)代生產(chǎn)、生活中越來越多的產(chǎn)品要求可靠性指標(biāo)，為此我們需要對產(chǎn)品進(jìn)行可靠性測試.然而指數(shù)分布在排隊(duì)論和可靠性理論中有著廣泛的應(yīng)用，如各種電子元件的壽命、電話的通話時(shí)間、候車等待時(shí)間等問題都可認(rèn)為服從指數(shù)分布.

關(guān)于可靠度的估計(jì)，近年來用Bayes方法已取得了一些進(jìn)展，如杜宇靜、賴民[1]提出了q對稱熵?fù)p失函數(shù)并討論了指數(shù)分布在此損失函數(shù)下的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)、Bayes估計(jì)和最小最大估計(jì)，并討論了容許性問題.杜宇靜、孫曉祥、尹江艷[2]討論了指數(shù)分布在p，q對稱熵?fù)p失函數(shù)下的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)、Bayes估計(jì)和最小最大估計(jì)，并討論了容許性問題.徐寶、宋立新[3]討論了加權(quán)平方損失函數(shù)下刻度指數(shù)分布族刻度參數(shù)的最小同變估計(jì).徐寶、張洪剛[4]討論了在刻度平方損失函數(shù)下，一類指數(shù)分布族參數(shù)的估計(jì).李俊華、鐘太勇[5]討論了熵?fù)p失函數(shù)下指數(shù)分布參數(shù)的估計(jì).史曉明、蔡春娟[6]討論了在對稱熵?fù)p失函數(shù)下一類指數(shù)分布族的Bayes估計(jì)及可容許性.

本文主要討論在加權(quán)p，q對稱熵?fù)p失函數(shù)下一類指數(shù)分布族的Bayes估計(jì)及可容許性.

a=0， T(b)=+∞，又假設(shè)θ＞0，T'(x)＞0，故T(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增.

我們在加權(quán)p，q對稱熵?fù)p失函數(shù)

下面考慮參數(shù)θ的估計(jì)問題.

這里δ是待估參數(shù)θ的估計(jì)量.容易看出損失函數(shù)（1）關(guān)于待估參數(shù)與其估計(jì)量是p，q對稱的，也就是交換二者以及p，q的位置，不影響損失函數(shù)的形式.而且當(dāng)p=q時(shí)，損失函數(shù)（1）具有與平方損失函數(shù)以及絕對損失函數(shù)一樣的對稱性.且易知此損失函數(shù)關(guān)于δ是嚴(yán)格凸的，并且在δ=θ處取得唯一最小值[7].

2 參數(shù)θ的Bayes估計(jì)[8]

這一部分在貝葉斯框架下，利用損失函數(shù)（1）來研究θ的估計(jì)及其性質(zhì).下面定理給出參數(shù)θ的Bayes估計(jì)[9].

定理1對于任何先驗(yàn)分布，在損失函數(shù)（1）下，θ的Bayes估計(jì)為

證明對損失函數(shù)，令δ(X)為θ的任一估計(jì)，其Bayes風(fēng)險(xiǎn)為

要使R(θ,α)達(dá)到最小，只需使后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小，由于

上式右端關(guān)于δ求導(dǎo)并令其等于0，解得

下面討論在給定先驗(yàn)分布π()θ后，參數(shù)θ的精確Bayes估計(jì)形式及其性質(zhì).

并且是θ的可容許估計(jì).

可見后驗(yàn)分布服從ΙΓ(n+α,λ+T(X))，從而有

從而

引理1在所給定的Bayes決策問題中，若對給定的先驗(yàn)分布π(θ)，θ的Bayes估計(jì)是唯一的，則它是可容許估計(jì).

由加權(quán)p，q對稱熵?fù)p失函數(shù)（1）的嚴(yán)格凸性，易知其Bayes估計(jì)必唯一，故由引理1可知，Bayes估計(jì)δB(X)亦是可容許估計(jì).

3 估計(jì)量cT+d的容許性討論[8]

由以上討論可以看出，參數(shù)θ在損失函數(shù)（1）下的可容許Bayes估計(jì)具有形式cT+d.下面討論參數(shù)θ的幾個(gè)形如cT+d的估計(jì)的容許性與不可容許性.

定理3當(dāng)0＜c≤c*，d＞0時(shí)，估計(jì)量cT+d是可容許的.

定理4若c=0，d＞0，則在損失函數(shù)（1）下，估計(jì)量d是參數(shù)θ的可容許估計(jì).

證明如若不然，則必存在某個(gè)估計(jì)δ(X)優(yōu)于δB(X)=d，即

（1）對任意θ＞0，有0≤R(θ,δ0(X))≤R(θ,d)；

（2）且對某些θ，有R(θ,δ0(X))＜R(θ,d).

當(dāng)θ=d時(shí)，有0＜R(d,δ0(X))≤R(d,d)≤0，而損失函數(shù)L(θ,δ)非負(fù)，有L(d,δ0(X))=0，故δ0(X)=d，從而d是參數(shù)θ的可容許估計(jì).

[1]杜宇靜，賴民.q對稱熵?fù)p失函數(shù)下指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2005，43（1）：10-15.

[2]杜宇靜，孫曉祥，尹江艷.p，q對稱熵?fù)p失函數(shù)下指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2007，45（5）：764-766.

[3]徐寶，宋立新.加權(quán)平方損失下一類指數(shù)分布族刻度參數(shù)的估計(jì)[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26（6）：766-799.

[4]徐寶，張洪剛.一類刻度指數(shù)分布族參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，27（4）：611-612.

[5]李俊華，鐘太勇.熵?fù)p失函數(shù)下指數(shù)分布參數(shù)的估計(jì)[J].四川理工學(xué)院：自然科學(xué)版，2010，23（3）：278-279.

[6]史曉明，蔡春娟.對稱熵?fù)p失函數(shù)下一類指數(shù)分布族的Bayes估計(jì)[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，32（4）：15-16.

[7]徐寶.壽命產(chǎn)品可靠度的貝葉斯估計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2011，4：153-154.

[8]茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計(jì)[M].北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社，1999.

[9]王蘭.加權(quán)p，q對稱熵?fù)p失下Reyleigh分布參數(shù)倒數(shù)的Bayes估計(jì)[J].貴州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，3：1-3.

[10]茆詩松，王靜龍，濮小龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2006.

Bayes Estimation on a Class of Exponential Distribution Family Under a Weighted p,q Symmetric Loss Function

WANG Lan
(School of Science,China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China)

Under a weighted p,q symmetric loss function,this paper studies the Bayes estimation and admissibili?ty of the parameters on a class of exponential distribution family.And the paper gets the general form and exact form of the reliability’s Bayes estimation and discusses the admissibility of a class of cT+d form.

weighted p,q symmetric loss function；Bayes estimation；admissbility

O212.8

A

1008-2794（2013）04-0013-04

2013-03-15

王蘭，中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)研究生，E-mail：Wanglan4095@126.com.