王春平

（杭州佐帕斯工業(yè)有限公司，浙江 杭州310018）

0 引言

倒立擺系統(tǒng)是一種多變量、強(qiáng)耦合、嚴(yán)重非線性、自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)，其模型簡單但能充分反映很多機(jī)械與控制過程中的常見問題，譬如軍工航天領(lǐng)域火箭發(fā)射的垂直度控制、機(jī)器人研究中機(jī)器人的行走平衡控制、通信衛(wèi)星在其預(yù)定軌道上的姿態(tài)控制等。因而倒立擺理想模型可以驗(yàn)證各種控制理論的有效性，深受廣大科技人員的青睞。根據(jù)倒立擺的擺動(dòng)桿個(gè)數(shù)多少可分為一級(jí)、二級(jí)等，目前最好的控制是針對(duì)四級(jí)倒立擺。北京師范大學(xué)模糊系統(tǒng)與模糊信息研究中心李洪興教授提出了“變論域自適應(yīng)模糊控制”理論，在世界范圍內(nèi)首次成功地實(shí)現(xiàn)了四級(jí)倒立擺控制仿真實(shí)驗(yàn)。線性二次型調(diào)節(jié)器（LQR）的最優(yōu)控制［13］是基于現(xiàn)代控制理論發(fā)展起來的，通過對(duì)倒立擺系統(tǒng)的分析建立其動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用狀態(tài)反饋控制器使得目標(biāo)函數(shù)取得最小值。這種方法具有很好的控制效果，本文即采用此方法針對(duì)二級(jí)倒立擺進(jìn)行建模和控制器設(shè)計(jì)。

1 二級(jí)直線型倒立擺的數(shù)學(xué)建模

二級(jí)直線型倒立擺系統(tǒng)的機(jī)械部分主要由小車、擺桿1、擺桿2、皮帶輪、導(dǎo)軌、傳動(dòng)皮帶等組成，電氣部分由電機(jī)、PWM、功率放大器、傳感器、驅(qū)動(dòng)電路以及保護(hù)電路組成［4］，其簡易結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 二級(jí)直線型倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

為了方便模型建立，需作如下假設(shè)：（1）擺桿1和擺桿2以及小車都是剛體。（2）傳動(dòng)皮帶無伸長滑動(dòng)現(xiàn)象。（3）忽略電極電樞繞組中的電感。（4）忽略實(shí)驗(yàn)中的庫倫摩擦、動(dòng)摩擦等。二級(jí)直線型倒立擺結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 二級(jí)直線型倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)

式中，03×1為三行一列且元素均為0的矩陣；01×3為一行三列且元素均為0的矩陣；I3×3為三行三列的單位矩陣。

將系統(tǒng)參數(shù)代入式（1）便可得到 K12＝77．064 2，K13＝－21．192 7，K22＝－38．532 1，K23＝37．818 6，K17＝5．701 2，K27＝－0．072 8。

2 二級(jí)倒立擺LQR控制與仿真

LQR是應(yīng)用線性二次型最優(yōu)控制原理設(shè)計(jì)的控制器。其任務(wù)是當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)由于外界干擾偏離了平衡狀態(tài)時(shí)，可以在不消耗過多能量的情況下，快速保持系統(tǒng)狀態(tài)各分量恢復(fù)到平衡狀態(tài)，且系統(tǒng)是線性的或可線性化的。針對(duì)本文研究的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程＝Ax＋Bu，通過確定最佳反饋控制器u（t）＝－Kx（t）中的增益矩陣K，使得性能指標(biāo)J＝達(dá)到極小。這里的矩陣Q和R是加權(quán)矩陣，反映了設(shè)計(jì)者對(duì)狀態(tài)x和控制u中各分量重要性的關(guān)注程度，最終使系統(tǒng)在控制過程中動(dòng)態(tài)誤差與能量消耗以及系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差綜合最優(yōu)。

基于LQR理論設(shè)計(jì)控制器時(shí)，最關(guān)鍵的一個(gè)問題即二次型性能指標(biāo)的選取。矩陣Q和矩陣R是用來平衡輸入量與狀態(tài)量權(quán)重的，對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能影響很大。在本文處理對(duì)象為二級(jí)倒立擺的系統(tǒng)中，Q、R是分別用來對(duì)應(yīng)狀態(tài)向量x、控制向量u引起的性能度量相對(duì)重要性加權(quán)矩陣，且Q、R參數(shù)以及跟隨速度、角速度大小的關(guān)系是相互耦合的。本文采用試湊法通過大量的實(shí)驗(yàn)與仿真比較來確定Q和R的值，基于MATLAB的強(qiáng)大計(jì)算功能及仿真能力，不斷調(diào)整參數(shù)得到設(shè)計(jì)結(jié)果，并繪制出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)曲線，控制量加權(quán)矩陣分別取如下2組數(shù)據(jù)時(shí)，輸出響應(yīng)曲線如圖2所示：（1）R＝［1］，Q＝［100 0 0 0 0 0；0 100 0 0 0 0；0 0 100 0 0 0；03×6］；（2）R＝［100］，Q＝［100 0 0 0 0 0；0 100 0 0 0 0；0 0 100 0 0 0；03×6］。

圖2 LQR控制二級(jí)倒立擺系統(tǒng)時(shí)的輸出響應(yīng)曲線

3 結(jié)語

本文圍繞二級(jí)直線型倒立擺系統(tǒng)，基于現(xiàn)代控制理論中的LQR理論，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器，通過大量的實(shí)驗(yàn)仿真獲得了該倒立擺系統(tǒng)性能改善較為理想的輸出曲線。

［1］胡陽，王吉芳．二級(jí)倒立擺系統(tǒng)實(shí)時(shí)穩(wěn)定控制實(shí)驗(yàn)研究［J］．計(jì)算機(jī)仿真，2009，26（9）

［2］張立迎．直線二級(jí)倒立擺穩(wěn)定控制研究［D］．濟(jì)南：山東大學(xué)，2009

［3］萬力，李湘敏．二級(jí)倒立擺系統(tǒng)模型建立與LQR控制仿真［J］．湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，23（3）

［4］固高科技有限公司．固高倒立擺系統(tǒng)與實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書［Z］，2004

［5］王海英，袁麗英，吳勃．控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真與設(shè)計(jì)［M］．北京：高等教育出版社，2009