李林森

（東北師范大學物理學院，吉林長春 130024）

在近距雙星系統(tǒng)中同步雙星達到軌道圓形化時的軌道和自轉演化的數(shù)值解和演化趨勢

李林森

（東北師范大學物理學院，吉林長春 130024）

從非同步自轉雙星的軌道和自轉的演化方程組推出同步雙星的軌道和自轉的演化方程組。用數(shù)值積分法給出演化方程組的數(shù)值解。計算同步自轉雙星EKCep達到軌道圓形化的時間和那時的軌道半長軸、軌道偏心率和主星自轉角速度的演變數(shù)值。最后對軌道和自轉的演化趨勢做了推論。

同步自轉雙星EKCep；軌道圓化時間；軌道和自轉；數(shù)值解

潮汐摩擦在近距雙星系統(tǒng)中對軌道和自轉的演化伴有重要角色。文［1-2］利用能量和角動量的方法研究了在近距雙星系統(tǒng)中潮汐平衡和演化問題，但他的研究較少涉及軌道和自轉的同步性。自轉同步性的一系列研究首先是由文［3-4］完成的。文［5］研究了主序前收縮星晚型星的軌道圓形化問題并給出了數(shù)值結果。近年來，也有不少學者對雙星自轉和同步性的觀測和理論研究做了工作。例如：文［6-8］等作者對雙星自轉的觀測和同步性做了大量工作，特別對大陵五型雙星的自轉和同步性的統(tǒng)計觀測。文［9］給出了判斷雙星同步自轉的一種新方法。文［10-11］研究了非同步轉動雙星的軌道和自轉的演化。文［12］給出了判斷雙星自轉同步性的表象描述法。文［13］研究了太陽型雙星的同步性觀測。文［14］在文［12］的研究基礎上又給出了判斷分光雙星自轉同步性的方法。

作者在文［15］用分析法研究了在主序上軌道偏心率較小的同步雙星（β-Per）的軌道和自轉演化的分析解。本文用數(shù)值法研究了軌道偏心率較大的同步雙星（EKCep）的軌道和自轉演化的數(shù)值解和演化趨勢。

1 從非自轉同步演化方程組化為自轉同步演化方程組

Zahn（1989）給出了由于潮汐摩擦使軌道半長軸a，軌道偏心率e和自轉角速度的長期演化的一般方程組［4］：

式中，R和M分別表示主星的半徑和質量；q=M’/M，M’為伴星質量；ω表示軌道角速度（平均運動）；I表示轉動慣量。對流摩擦時間tf和λIm已由Zahan＆Bouchet（1989b）給出［5］：

式中，L和Te分別是主星的光度和表面有效溫度；f⊙和T⊙e分別表示太陽的對流摩擦時間和表面有效溫度。

根據(jù)Kepler第三定律也可寫成以下聯(lián)立方程組：

式中，T表示軌道周期（平均運動）；P表示主星的自轉周期。

軌道圓形化時間tair是［4］

對于同步雙星λ=κ2（拱線進動常數(shù)）

2 長期演化方程組的數(shù)值解法

方程組（5）-（7）是三元聯(lián)立常微分方程組。這類方程組可直接用積分方程組的分析解法；另外也可以用數(shù)值解法。前者可用指數(shù)級數(shù)展開得到分析解，但指數(shù)級數(shù)展開后只能對軌道偏心率小的項可以略去，對軌道偏心率較大的雙星不能略去。本文所研究的同步雙星EKCep的軌道偏心率較大（e =0.11），故不能用指數(shù)級數(shù)展開的分析法，只能用數(shù)值積分法。

數(shù)值積分常微分方程組最好采用四階龍格—庫塔解法。將前節(jié)方程組（5）-（7）寫成適用于四階龍格—庫塔解法如下形式：

對于主序星或亞巨星，其半徑R是不變的或R為常數(shù)。

龍格—庫塔四階解的形式是：

3 同步雙星EKCep達到軌道同形化時的軌道和自轉的演化數(shù)值解

本文利用前節(jié)的龍格—庫塔計算方法計算同步雙星EKCep達到軌道圓形化時軌道半長軸、軌道偏心率、軌道周期、軌道角速度和主星自轉角速度的演化值。對于密近雙星EKCep其系統(tǒng)屬于DS（分離）系統(tǒng)。根據(jù)文［16］給出的光譜型，主星是AOV（AO型主序星），但根據(jù)文［6-7，17］主星是AOIV型（AO型亞巨星）。根據(jù)文［16］系統(tǒng)的同步性V=20 km/s，Vk=18 km/s。文［7］也給出Vsini=20 km/s，Vk= 18 km/s，所以判斷此雙星系是同步雙星。此雙星系的軌道參數(shù)：文［7-8，17］均給出的軌道偏心率e= 0.11。文［18］給出的軌道參數(shù)：T=4.427 8日，a=16.72R⊙，R=1.35R⊙，R’=1.14R⊙，q=M’/M=0.56，SM=M+M’=3.20M⊙，即M=2.05M⊙，M’=1.15M⊙，Te=103 200K（主星）。文［5］給出f⊙=0.433年，Te⊙=577 00K。根據(jù)上述V=20 km/s，R=1.35R⊙，Ω0=V/R=2.128 6×10-5rad/s，將這些數(shù)據(jù)代入（4）式，得潮汐摩擦時間：

對于同步雙星λ=k2（拱線常數(shù)）。k2可用文［19］根據(jù)logm的數(shù)值在表中查找k2的對應值。但本文log2.05=0.317 7，表中沒有k2的對應值。故只好用Cowlling公式計算k1=k2=k［20］

其中U是拱線進動周期，文［21］給出的數(shù)據(jù)，對于EKCep，U=4000年。將上述T、U、R、R’、M和M’代入上式后得：

k2=0.033 59.

再將λ=k2=0.033 59，tf=0.253 3年以及q=0.56，R=1.35R⊙，a=16.72R⊙代入（11）式后得軌道圓形化時間：t再將q，k，t，R，M和I代入（13）式中有：

在前節(jié)龍格—庫塔公式（14）-（17）中利用初始條件值a0=16.7R0，e0=0.11，Ω0=V/R=2.128 6× 10-5rad/s以及A、B、C和h=ta.r=2.275 7×108年值，逐步得到

k1=-1.097R⊙，k2=-0.348 0R⊙，k3=-0.535 3R⊙，k4=-0.951 8R6，

l1=-0.109 97，l2=-0.071 9，l3=-0.081 1，l4=-0.035 7，

m1=2.430 7×10-5rad/s，m2=1.170 1×10-5rad/s，m3=1.464 2×10-5rad/s，m4=0.034 4×10-5rad/s.將這些數(shù)值代入（14）式得到軌道圓形化時軌道和自轉的演變增量：

k=-0.636 0R⊙，l=-0.051 6，m=1.288 8×10-5rad/s.所以軌道達到圓形化時軌道半長軸、偏心率和主星自轉角速度各值為：

即在2.275 7×108年內軌道和自轉的變化值：

δa=-0.636 0R⊙，δe=-0.051 6，δΩ=+1.288 8×10-5rad/s.積分（8）-（10）式的結果給出：

式中，T0=4.427 8日；ω=2π/T0=1.419 0 rad/日；P0=2π/Ω0=3.416 4日。

將a0=16.72R⊙，a=16.084R⊙，Ω0=2.128 8×10-5rad/s和Ω=3.417 4×10-5rad/s代入上式后得：

ω=1.503 8 rad/日，T=4.177 6日，P=2.127 7日，δω=+0.084 8 rad/日，δT=-0.250 2日，δP=-1.288 7日，δΩ=+1.288 6×10-5rad/s。

4 推論

根據(jù)前節(jié)的計算結果，可以推論同步雙星EKCep兩子星達到軌道圓形化時軌道和自轉的演化趨勢：

（1）軌道半長軸在近2×108年內從開始值16.72R⊙減少到16.084R⊙；

（2）軌道偏心率在近2×108年內從0.11減少到0.058 4；

（3）軌道角速度（平均運動）在近2×108年內從1.419 0 rad/日加速到1.503 8 rad/日；

（4）軌道周期在近2×108年內從4.427 8日縮短到4.177 6日；

（5）主星的自轉角速度在近2×108年從開始值2.128 6×10-5rad/s加速到3.417 4×10-5rad/s；

（6）主星的自轉周期在近2×108年內從開始值3.416 4日縮短到2.127 7日。

從同步演化方程組（5）-（10）還可推論軌道達到圓形化時間以后軌道半長軸和軌道偏心率也繼續(xù)減少；軌道平均運動繼續(xù)加速，軌道周期繼續(xù)縮短，而主星自轉角速度繼續(xù)加速，周期繼續(xù)縮短。

［1］P Hut.Stability of tidal equilibrium［J］.Astronomy and Astrophysics，1980，92：167-170.

［2］P Hut.Tidal evolution in Close binary system［J］.Astronomy and Astrophysics，1981，99：126-140.

［3］JP Zahn.Tidal friction in close binary stars［J］.Astronomy and Astrophysics，1977，57：383-394.

［4］JP Zahn.Tidal evolution of close binary stars，I.Revisiting the theory of the equilibrium tide［J］.Astronomy and Astrophysics，1989，220：112-116.

［5］JP Zahn，L Bouchet.Tidal evolution of close binary stars II.Orbital Circula-rization of late-type binaries［J］.Astronomy and Astrophysics，1989，223（1）：112-118.

［6］譚徽松.大陵五型雙星的自轉統(tǒng)計研究［J］.天文學報，1989，30（2）：135-148.Tan Huisong.Statistical study of the rotation of Algols［J］.Acta Astronomical Sinica，1989，30（2）：135-148.

［7］譚徽松，潘開科，汪洵浩.密近雙星自轉的測量和研究（II）自轉同步性的計算［J］.天體物理學報，1995，15（1）：57-69.Tan Huisong，Pan Kaike，Wang Xunhao.Measurement and Study of Rotation in Close Binary Stars（Ⅱ）Synchronization Calculation［J］.Acta Astrophysica Sinica，1995，15（1）：57-69.

［8］潘開科.密近雙星自轉的測量和研究（III）同步性的統(tǒng)計性質 ［J］.天體物理學報，1996，16（3）：291-297.Pan Kaike.Measurement and study of rotation in close binary stars（Ⅲ）statistical analysis of synchronization［J］.Acta Astrophysica Sinica，1996，16（3）：291-297.

［9］李林森.判斷雙星自轉同步性的一種新方法 ［J］.天體物理學報，1998，18（1）：77-82.Li Linsen.A new method for judging the synchronous rotation of binary stars［J］.Acta Astrophysica Sinica，1998，18（1）：77-82.

［10］ 黃潤乾，曽藝容.非同步轉動雙星系統(tǒng)的演化 ［J］.中國科學A輯，數(shù)學，2000，30（2）： 187-192.

［11］Huang Runqian，Zeng Yiron.Evolution of Non-Synchronized Binary Systems［J］.Science in China，Series A.Mathematics，2000，43（3）：331-336.

［12］Li Linsen.An apparent descriptive method for judging the synchronization of rotation of binary stars［J］.Journal of Astrophysics and Astronomy，2004，25（3-4）：203-212.

［13］ SMeibom，RDMathieu，K G Stassun.An observational study of tidal synchronization in Solar-binary stars in the open clusters M 35 and M34［J］.The Astrophys Journal，2006，653（2）：621-635.

［14］ 李林森.判斷分光雙星自轉同步性方法的理論改進［J］.天文研究與技術——國家天文臺臺刊，2009，6（4）：264-270.Li Linsen.Theoretical improvement ofmethods for judging the synchronization of self rotations of stars in a spectroscopic binary system ［J］.Astronomical Research ＆ Technology——Publications of National Astronomical Observatories of China，2009，6（4）：264-270.

［15］Li Linsen.Orbit and spin evolution of synchronous binary stars on the main sequence［J］.Research in Astronomy and Astrophysics，2012，12（12）：1673-1680.

［16］G Giuricin，F(xiàn)Mardirossian，M Mezzetti.Synchronization in eclipsing binary stars［J］.Astronomy and Astrophysics，1984，131（1）：152-158.

［17］ A H Batten，JM Fletcher，D GMaccarthy.Eight catalogue of the orbital elements of spectroscopic binary system［J］.Publication of Dominion Astrophysics of Observatory，1989，17：1-127.

［18］ H K Brancewiez，T Z Dworak.A catalogue of parameters for eclipsing binaries［J］.Acta Astronomica，1980，30（4）：501-524.

［19］A Claret，A Gimenez.Evolutionary stellarmodels using Rogers＆Iglesias opacitieswith particalar attention to internal structure constants［J］.Astronomy and Astrophysics Supplement Series，1992，96（1）：255-261.

［20］T G Cowlling.On themotion of the apsidal line in close binary systems［J］.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，1938，98（2）：734-743.

［21］T Hegeds.AN up-dated List of eclipsing binaries showing apsidal motion［J］.Bulletin d' Information du Centre de Donnees Stellaire，1988，35（1）：15-28.

Numerical Solutions and Evolutionary Trends of the Orbit and Rotation of a Synchronous Binary-Star System at the Orbital Circularization Time

Li Linsen
（School of Physics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

This paper derives a setof equations for the orbitand self-rotation of a synchronous binary-star system from the set of equations for non-synchronous binary stars.The numerical solutions of the equations as derived are subsequently given by using a numerical method.The circularization time，and the numerical values of the orbital semi-major axis，eccentricity，and the rotational angular velocity together with other parameters at that time are calculated for the synchronous binary-star system EKCep.The paper finallymakes certain colollaries about the evolutionary trends of the orbit and self-rotation of the system.

Synchronous binary stars EKCep；Orbital circularization time；Orbit and rotation；Numerical solution

P144；P153

：A

：1672-7673（2013）03-0249-06

2012-08-26；修定日期：2012-09-14

李林森，男，教授.研究方向：天體軌道參數(shù)變化和天體自轉理論.Email：dbsd-lls@163.com

CN 53-1189/P ISSN 1672-7673