龐旭東 朱守正

（華東師范大學信息科學與技術學院，上海200241）

引 言

近年來，電磁隱身斗篷/隱身罩（cloak）的研究成為新型隱身技術的研究前沿.電磁隱身斗篷是基于變換電磁學［1］和電磁超材料這兩方面的研究理論新興發(fā)展形成的一種新穎隱身設計策略.其基本思路是基于Maxwell方程組在不同坐標空間下的形式不變性，將原始空間中的一個實心區(qū)域壓縮變換到變換空間中的一個空心區(qū)域，該空心區(qū)域具有特定的各向異性非均勻介電常數(shù)和磁導率張量，這就是所要設計的隱身斗篷［2］.在變換過程中斗篷外邊界以外區(qū)域的材料參數(shù)保持不變，而變換空間中斗篷內邊界以內區(qū)域則成為隱身區(qū).經典圓柱型隱身斗篷［1-2］是最早被提出的一類斗篷模型，整個變換過程可以看作是將原始空間的中心點通過坐標變換的方法擴展映射為變換空間的內邊界圓，這種直接的擴展式映射方法帶來一個基本難題：在原始空間，入射波通過中心點的時間是零，但是在變換空間，這個中心點被擴展為一個二維圓孔，由此推理，在變換空間中，入射波在隱身斗篷內邊界圓上的傳播速度需達到無窮大，才能使其通過這段半圓路程的時間也是零.這樣，上述擴展映射式隱身斗篷在理論上碰到一個奇異性問題，導致其計算所得材料的參數(shù)將非常極端，可能會趨于零值或無窮大值.這也使得在實際實現(xiàn)中，此類變換電磁學器件只能局限于微波頻段或窄帶應用［2］.

針對電磁隱身斗篷在上述坐標變換過程中產生的奇異性問題，本文討論了三類不同的處理方法.第一類“參數(shù)簡化法”的研究比較成熟［3-5］，本文通過表格對常見的圓柱型線性變換斗篷的材料參數(shù)公式做了簡要的對比與總結，闡述了其中的變換規(guī)律與實質意義.第三類“非歐空間變換法”，是較新提出的變換理念，本文結合引用文獻做了簡要說明.重點討論了第二類“漸變維度擴展法”，這方面的研究較少，雖有相似文獻［6-8］給出空間變換的部分公式與仿真結果，但是其一，從數(shù)學拓撲學角度對這類空間變換本質的討論還比較欠缺，其二，對這類空間變換材料參數(shù)的具體數(shù)值及其分布范圍的變化情況的研究也非常缺乏.本文利用有限元分析軟件Comsol Multiphysics對漸變維度擴展法中兩種不同的方案進行了仿真計算，給出了材料參數(shù)各分量的分布圖、具體數(shù)據曲線以及歸一化參數(shù)分布范圍的變化規(guī)律，從空間拓撲學角度給予了解釋，完善了對隱身斗篷空間變換過程的研究.

1 隱身斗篷奇異性問題的處理方法

對于一個二維隱身斗篷，由于局部各向異性以及空間上的不均勻性，在內邊界材料參數(shù)通常會出現(xiàn)極值情況（∞/0），這個奇異性問題嚴重限制了器件的實際可實現(xiàn)性.目前研究中，涉及此問題的方法較多.從數(shù)學表述和物理涵義角度，可以概括為以下三種方法：1）參數(shù)簡化法；2）漸變維度擴展法；3）非歐空間變換法.第一類方法的研究已經比較成熟［3-5］，但缺少統(tǒng)一性；第二類處理方法研究較少，部分相似工作已有研究［6-8］；第三類處理方法也稱廣義隱身斗篷［9］，是新提出的一種理論解決方案.

1.1 參數(shù)簡化法

隱身斗篷的研究始于J B Pendry，D Shurig等在2006年發(fā)表的論文［1-2］，文中涉及到材料參數(shù)極值問題以及在實驗中的近似處理方法.在此基礎上經過研究改進，逐漸發(fā)展成為參數(shù)簡化法.其中，文獻［3］采用等效色散關系條件來調整材料的參數(shù)值，文獻［4］提出一種將本身不包含奇異性的三維斗篷投影到其橫截面上的鏡像映射法來處理奇異性問題，文獻［5］就線性/非線性映射擴展方式的參數(shù)簡化過程做了詳細介紹.上述文獻得到了類似的簡化參數(shù)表達式［5］.以二維圓柱型斗篷為例，采用簡單的線性變換方式，表1列出了理想模型、簡化模型1、簡化模型2的材料參數(shù)表達式［5］.

表1 圓柱型線性變換斗篷的材料參數(shù)

表1中，a為變換空間中內圓半徑，b為外圓半徑。令τ＝（r-a）/r（a≤r≤b），可以發(fā)現(xiàn)：理想模型三個方向參數(shù)表達式中都含有τ因子，當r＝a時，τ＝0，r與z方向的參數(shù)值都將等于零，同時θ方向的參數(shù)值變?yōu)椤?，即理想模型三個方向的參數(shù)值都存在極值.處理方法：保持μθεz和μrεz的值不變，將表達式中的τ因子同時抵消掉，從而將三個方向上的奇異性集中到徑向r方向上以方便處理，最終得到簡化模型的參數(shù)表達式.

結論：參數(shù)簡化法的實質是將三個不同維度方向上的奇異性通過抵消因子歸集到其中某一個方向上，比如r方向，而其他方向（θ，z）的材料參數(shù)值保持常量，這樣就明顯降低了實際制備的難度.雖然簡化參數(shù)后的斗篷隱身性能有所下降，但仍然具備一定的隱蔽效果，簡化模型除了在r方向上的參數(shù)值會要求零值以外，其他參數(shù)都達到可實現(xiàn)的條件，相比于理想模型，對材料參數(shù)的要求顯著改善.

1.2 漸變維度擴展法

在數(shù)學拓撲學概念中，維度又稱維數(shù)，是數(shù)學中獨立參數(shù)的數(shù)目.點、線、面、體的維度分別是零維、一維、二維和三維.二維經典隱身斗篷中的方法是將原始空間中心點擴展映射為一個空心圓（內邊界圓），是零維到二維的拓撲學變換，這個過程中有了維度上的躍變，入射波經過一個零維點的時間為零，當路程變?yōu)槎S半圓πa時，必然會出現(xiàn)奇異性問題.針對以上路程差的矛盾，以下面兩種維度漸變式處理方案來詳細說明.

1.2.1 方案一：同維度變換法

同維度變換法在空間變換過程中不發(fā)生維度變化，內邊界圓從r＝s的小圓開始變換為r＝a的圓，僅是二維圖形之間的變換.對于這種空間變換，采用擴展式坐標變換法，材料參數(shù)的極值問題可以得到明顯改善.來描述，對二維模型就是散射寬度.由于用有限元法的計算結果是近場數(shù)據，需要運用Huygens原理將其轉化為遠場數(shù)據再進行計算.計算散射寬度的公式為

圖1 圓柱型同維變換斗篷空間變換示意圖

利用上述方法分別對圖2（a）、（b）中兩種情形的散射寬度值進行了計算，結果如圖2（c）、（d）所示.可以發(fā)現(xiàn)：圖2（c）、（d）的散射寬度值基本一致，并且符合圖2（a）、（b）的仿真結果.這種情況下隱身斗篷的材料參數(shù)分布如圖3所示.

圖1為這種方案的示意圖，將斗篷原先的內邊界r＝s擴展延伸到新的內邊界r＝a上.從整體空間上可以看作是將圓環(huán)s≤r≤b區(qū)域壓縮為圓環(huán)a≤r≤b，其中環(huán)形區(qū)域s≤r≤a為隱身區(qū).采用線性變換，坐標變換表達式如下［6］：

在柱坐標系中，變換后的材料參數(shù)表達式如下［7］：

從文獻［6-8］中的理論可以知道：依照上述同維度空間變換設計的圓柱型斗篷的散射模式等效于半徑為s的理想導電體（PEC）小圓環(huán).以下用有限元分析軟件Comsol Multiphysics進行了嚴格的仿真驗證，所選斗篷內外半徑分別為a＝0.25m，b＝0.5 m.仿真計算采用柱面波照射，在波源距離相當遠時柱面波可以近似為平面波［10］.首先取s＝0.10m上述斗篷在f＝2GHz柱面波的照射下產生的散射模式，如圖2（a）、（b）所示，波源距中心的距離d＝1.442m.從中可以發(fā)現(xiàn)，所設計斗篷的散射效果基本等效于半徑0.10m的PEC小圓環(huán)的散射效果.為了給出更加定量化的指標，這里使用散射截面［12］

圖3是s＝0.10m時的ε各分量參數(shù)的具體分布情況，灰度由深到淺對應數(shù)值由低到高.從圖中可以發(fā)現(xiàn)εxx與εyy的變化范圍相同；εxy包含正負數(shù)值，絕對值相等，因此記作｜±εxy｜；εzz沿徑向r逐漸增大.

減小s的大小至0.05m，與圖2中的仿真結果類似，這時同維變換斗篷在柱面波的照射下產生的散射模式等效于半徑0.05m的PEC小圓環(huán)的散射模式，其材料參數(shù)的具體值可查看圖4（a）、（b）.

參數(shù)分析：隨著s的減小，隱身斗篷材料參數(shù)的分布范圍在增大，實際制備難度也逐漸增加［11］.為了充分展示各方向材料參數(shù)ε的極值隨不同s值變化的詳細信息，圖4列出了各方向ε極值隨s的變化曲線，圖4（a）是｜±εxy｜max和εxx｜max＝εyy｜max＝εθ｜min隨不同s值的變化曲線，這四組數(shù)據縱軸分布范圍較大，所以共同放在圖4（a）中表示.圖4（b）中從上往下曲線（1），（2），（3），（4）分別表示的是εzz｜max＝εθ｜min，εzz｜min，εr｜max，εxx｜min＝εyy｜min＝εθ｜min隨不同s值的變化曲線，由于這七組數(shù)據縱軸變化范圍較小，所以共同放在圖4（b）中以方便對比.圖中所有曲線都用不同的標記加以區(qū)別，坐標橫軸s的單位是厘米，0≤s≤a.

圖4 各方向ε極值隨s的變化曲線

s值越小，這種空間變換對原始空間的擠壓率越高，設計斗篷所需的材料參數(shù)也越苛刻.若s＝0，公式（2）～（4）將化簡為表1中理想模型的參數(shù)表達式，材料參數(shù)也將全部出現(xiàn)極值.為了形象表示空間擠壓率和材料參數(shù)變化范圍之間的具體關系，在圖4的基礎上進一步整理出圖5—各方向材料參數(shù)的歸一化分布范圍η隨s的變化曲線，其中η＝（εmaxεmin）/εmax×100%，具體某個方向的極值可以由圖4中的數(shù)值代入.坐標橫軸s值越小表示空間擠壓度越高，當s→0時，η→100%，表示此時材料參數(shù)的分布范圍極大，實際情況中將無法實現(xiàn).而當s→a時，η→0% ，表示此時的材料參數(shù)分布均勻.這里的η也可以表示斗篷材料參數(shù)的實際制備難度.在圖5中，曲線（a）表示r，θ，z方向的η值曲線，呈線性變化；曲線（b）表示xx和yy方向的η值曲線，呈圓弧曲線變化.s＝0.10m 時ηr，θ，z＝60%，具有很強的實際可實現(xiàn)性.

圖5 各方向材料參數(shù)歸一化分布范圍η隨s的變化曲線

結論：利用同維度空間擴展法，雖然不能達到完美隱身，但是在有限范圍的材料參數(shù)下，所構建的隱身器件的確能達到一定的隱蔽效果.整個隱身器件的散射模式僅等效于一個PEC小環(huán)的場分布（圖2），成功地將一個分米級物體的散射截面減小到厘米級，既讓待隱身物體具備了較強的隱蔽性能，同時又避免了參數(shù)的極值問題.

1.2.2 方案二：線變換式擴展法

線變換式擴展法：內邊界圖形以一條經過坐標中心的短線段開始，變換為一個兩維環(huán)狀斗篷，這種從一維過渡到二維的維度連續(xù)階變過程，沒有維度上的躍變，也能減緩奇異性.以下是以二維橢圓型斗篷為例進行的仿真驗證.

如圖6所示，經過坐標中心的短線段L的長度為l，內、外橢圓的短半軸長度分別為a、b，橢圓的軸比都是2.如圖6所示，斗篷內邊界從線段L開始擴展到內橢圓x2/（2a）2＋y2/a2＝1處，這樣除了線段L以外的內橢圓區(qū)成為隱身區(qū)域.具體的坐標變換及參數(shù)表達式可以參考文獻［6-7］.

圖6 線變換式橢圓斗篷空間擴展示意圖

仍采用有限元分析軟件Comsol Multiphysics進行仿真驗證：a＝0.1m，b＝0.2m，線段L的長度l＝0.02m，此次采用f＝4GHz的柱面波進行照射，波源距中心的距離d＝0.721m.采用0.02m的PEC短截線來進行散射效果的對比參照，PEC短截線如線段L一樣橫向放置.仿真結果如圖7所示.

圖7 線變換式橢圓斗篷與PEC短截線的仿真驗證

從圖7可以看出這種線變換式橢圓斗篷的方案是可行的，其散射情況基本上等效為PEC短截線的散射模式.對圖7（a）、（b）兩種情況的散射寬度值也進行了計算，兩者分布情形相似，其散射寬度的峰值均接近5cm.上述斗篷材料參數(shù)仍然存在較大極值，但這些極值只集中在橢圓內外邊界很小一部分區(qū)域，忽略后簡化的橢圓斗篷參數(shù)分布情況見圖8所示.

從拓撲學可以知道這種維度階變的斗篷只能減緩奇異性問題，不能完全消除，數(shù)值仿真結果也給出了驗證.原因是：就x、y坐標分向量而言，圖形x分量的變化中維度沒有變化，只是1維線段長度的拓寬；但y分量變化時則出現(xiàn)了點到線的變化（0維擴展到1維），有了維度階變所以會產生一定的奇異性，影響散射效果.

結論：理想模型中0維到2維的維度躍變實質上是x、y兩個分量方向中0維到1維維度階變的疊加.方案二線變換式擴展法只消除了其中一個方向（x方向）的維度階變，仍然存在一定的奇異性，但其隱身效果比較明顯，器件的散射截面［12］顯著減小，在雷達隱身等領域有著廣泛應用.

1.3 非歐空間變換法

上述兩種方案都是基于擴展式映射理論，對于奇異性問題做出了一定的改善。另一種補救的方法是采用保角映射方法使得波束繞行過某個區(qū)域.擴展式映射與保角映射都是嘗試控制波束繞行過某個區(qū)域，然而擴展式映射只能工作于很窄的帶寬，而保角映射理論卻可以在坐標變換過程中采用非歐幾里德形狀的空間作為變換起點，進而可以消除材料參數(shù)的極值現(xiàn)象，故后者存在寬帶實現(xiàn)的可能［9］.

圖9中原始空間是由一個平面和球表面組成，兩者接觸于一條連接線上，而圖9（1）是這個非歐空間在二維平面上的投影，其附帶的坐標格也被映射到二維平面上.入射波由平面進入球面行進一周后沿原方向傳播出去，圖中外部圓圈規(guī)定了該裝置的外邊界，平面與球面接觸的曲線投影在圖中呈現(xiàn)出眼睛狀圖形，有關本圖的詳細解釋可以參考文獻［9］.文獻中只是提出任何入射波在平面上的投影軌跡都不會經過圖9（1）中的線段s，但沒有給出更詳細的圖例解釋，這里給出了入射波兩種極端情況下的軌跡路徑示意圖，可以更清楚地解釋這類非歐空間變換方法.

圖9 二維非歐隱身裝置圖解［9］

如圖9（1）中所示，虛線a表示波束垂直入射的情況，同時虛線a也是整個投影平面中坐標格最平坦處，所以其投影軌跡呈現(xiàn)為一條直線；黑色曲線c幾乎是水平入射非歐隱身裝置的，這種情況下，坐標格越密集的區(qū)域入射波的投影軌跡也彎曲得越明顯.曲線b是介于這兩種極端情況下的一般入射波軌跡投影.最終入射波都會保持原有方向繼續(xù)傳播，從而器件具備了潛在的隱身功能.圖9（2）是在圖9（1）的基礎上將投影線段s擴展為一個二維的隱身區(qū)域，s周圍的坐標格將被進一步擠壓，曲線b和c也將受到一定的扭曲.文獻［9］的研究顯示，此類非歐隱身裝置的材料參數(shù)分布范圍較小，基本消除了參數(shù)極值問題.

2 結 論

本文針對擴展映射式隱身斗篷的奇異性問題，歸納分析了三類不同的處理方法，重點討論了第二類維度漸變擴展法.

參數(shù)簡化法，將材料參數(shù)的極值歸集到其中一個方向上，降低了實際制備的難度，同時仍然具備一定的隱蔽效果.

漸變維度擴展法，方案二消除了變換空間中一個方向的維度階變，從拓撲學角度來看是一種折中處理方法；方案一徹底消除了維度上的階變，使得材料參數(shù)基本不會出現(xiàn)極值.這兩種方案雖然都無法達到完美隱身，但是待隱蔽物體的散射截面明顯降低，同時又基本避免了參數(shù)極值問題，在實際中有著更廣的應用.

非歐空間變換法，理論上不同于前兩者，涉及到廣義相對論在現(xiàn)代電磁領域中的應用［13］，本文未對其作詳細介紹，但這種方法有可能根本性解決奇異性問題.

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