楊利霞 陳 偉 孔 娃 施衛(wèi)東 于萍萍

（1.江蘇大學(xué)通信工程系，江蘇 鎮(zhèn)江212013；2.江蘇大學(xué) 流體機(jī)械工程技術(shù)研究中心，江蘇 鎮(zhèn)江212013）

引 言

光子晶體是指具有光子帶隙（PBG）特性的人造周期性電介質(zhì)結(jié)構(gòu)，有時(shí)也稱(chēng)為PBG光子晶體結(jié)構(gòu).所謂的光子帶隙是指某一頻率范圍的波不能在此周期性結(jié)構(gòu)中傳播，即這種結(jié)構(gòu)本身存在“禁帶”.從材料結(jié)構(gòu)上看，光子晶體是一類(lèi)在光學(xué)尺度上具有周期性介電結(jié)構(gòu)的人工設(shè)計(jì)和制造的晶體.20世紀(jì)80年代 Yablonovitch［1］，John［2］等提出了光子晶體的概念.光子晶體的研究近年來(lái)不斷深入并且作為一個(gè)新興研究的方向深受?chē)?guó)內(nèi)外的關(guān)注［3］.目前，無(wú)論是民用方面還是軍事方面，無(wú)論是學(xué)術(shù)界還是工業(yè)界，都激起了人們極大的熱情.人們利用光子晶體的這個(gè)特性在發(fā)光二極管、光纖、光集成器件等方面有廣泛的運(yùn)用［4-9］.

等離子體光子晶體（PPC）是由等離子體和介質(zhì)交替排列的一種人工周期性結(jié)構(gòu)，它的概念是由Hojo等［10］提出.它涉及等離子體物理學(xué)、電磁學(xué)、電子學(xué)、固體物理學(xué)、材料學(xué)等諸多學(xué)科，屬于交叉學(xué)科范疇.等離子體光子晶體的研究近年來(lái)取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展.短短幾年中，各國(guó)學(xué)者已經(jīng)投入其大量精力進(jìn)行相關(guān)研究，同時(shí)大量的相關(guān)文獻(xiàn)不斷得以涌現(xiàn).等離子體光子晶體的特性主要包括：光子帶隙特性、光子局域特性和光學(xué)特性.其中光子的帶隙特性尤為引起人們的關(guān)注，在光學(xué)上，人們利用等離子體光子晶體的特性可以制造微波濾波器、等離子體天線，文獻(xiàn)［10-14］僅對(duì)在不考慮外磁場(chǎng)和等離子體層為均勻分布的等離子體光子晶體進(jìn)行了研究，然而在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中等離子體頻率也會(huì)隨著空間位置的變化而發(fā)生變化.對(duì)非均勻等離子體頻率情況下的研究，能找到的文獻(xiàn)并不是很多，國(guó)際上，O.Sakai，T.Sakaguchi和 K.Tachibana［15］等對(duì)非均勻等離子光子晶體做了一些相關(guān)研究.目前國(guó)內(nèi)也處于起步階段，有南昌大學(xué)的劉崧和南京航空航天大學(xué)的劉少斌等［16］，對(duì)非均勻分布等離子體光子晶體光子的帶隙分析做了相關(guān)研究，其主要是基于由密度線性分布、非磁化、碰撞、中溫的等離子體和電介質(zhì)構(gòu)成的一維等離子體光子晶體的光子帶隙特性.以上就是等離子體光子晶體國(guó)內(nèi)外的一些相關(guān)情況.因此，研究等離子體頻率的空間變化對(duì)等離子體光子晶體禁帶的影響，在工程應(yīng)用方面具有重要的理論意義.

針對(duì)等離子體光子晶體頻率的空間變化進(jìn)行了研究，采用改進(jìn)的磁化等離子體時(shí)域有限差分（FDTD）方法討論了等離子體頻率隨空間呈脈沖函數(shù)形式變化的等離子體光子晶體帶隙特性.通過(guò)計(jì)算電磁波的反射系數(shù)和透射系數(shù)獲得其禁帶結(jié)構(gòu).在一維情況下計(jì)算了垂直入射的情形，通過(guò)改變等離子體頻率的大小來(lái)驗(yàn)證空變等離子體光子晶體的帶隙特性.

1 空變等離子體光子晶體的FDTD迭代式

在各向異性色散介質(zhì)碰撞磁化等離子體中，Maxwell方程組和相關(guān)的本構(gòu)方程為

式中：ε0為真空中的介電常數(shù)；μ0為真空中導(dǎo)磁率；ωp（z）是關(guān)于空間變化的函數(shù)；ωb＝eB0/me為電子旋轉(zhuǎn)頻率，B0為外部靜態(tài)磁場(chǎng)，e和me各自表示電子電量和電子質(zhì)量.

對(duì)于一維情況下的橫電磁波（TEM波），并設(shè)外磁場(chǎng)的方向?yàn)椋珃方向即ωb＝ωb，在笛卡爾坐標(biāo)下的各矢量表示為

在上述坐標(biāo)下，則有（1）和（2）兩式可寫(xiě)為如下形式

將式（3）改寫(xiě)為矩陣可得

式中：

對(duì)公式（8）利用如下拉普拉斯變換對(duì)進(jìn)行拉普拉斯變化得［17］

整理可得

式中：

再對(duì)式（13）逆拉普拉斯變換可得

式中

先對(duì)式（15）在時(shí)間上進(jìn)行離散可得

這里在n時(shí)刻對(duì)J（t）進(jìn)行離散后，由式（4）和式（5）知磁場(chǎng)的迭代方程為

由式（6）和式（7）知電場(chǎng)的迭代方程為

2 ωp（z）的空變函數(shù)關(guān)系式及其圖形

ωp（z）在空間位置的取值隨著函數(shù)z的變化而不同，這里ωp（z）為高斯脈沖形式的周期函數(shù)［18］為

式中：k是高斯脈沖函數(shù)的寬度，k越大等離子體頻率變化越緩，k越小等離子體頻率變化越迅速；Λ為等離子體介質(zhì)和普通介質(zhì)的總寬度；n為介質(zhì)板層數(shù).ωp（z）的空變函數(shù)關(guān)系式圖形如圖1所示.

圖1 等離子體頻率ωp（z）

3 算例驗(yàn)證

利用改進(jìn)的空變等離子體光子晶體的FDTD算法并選用均勻等離子體頻率所得反射系數(shù)與非空變（均勻）等離子體光子晶體的反射系數(shù)進(jìn)行算例驗(yàn)證，模型為7層介質(zhì)、6層等離子體構(gòu)成的等離子體光子晶體.等離子體頻率設(shè)為ωp＝2π×109rad/s，實(shí)際物理結(jié)構(gòu)如圖3所示，圖中a為普通介質(zhì)寬度，b為等離子體介質(zhì)寬度.計(jì)算時(shí)，a＝b＝2.4mm，F(xiàn)DTD的空間步長(zhǎng)為60μm，時(shí)間步長(zhǎng)為0.02ps.兩端采用Mur吸收邊界，入射波為微分高斯脈沖.計(jì)算結(jié)果如圖2所示.

從圖2可以看出數(shù)值解和理論解的結(jié)果完美一致，驗(yàn)證了空變等離子體算法的準(zhǔn)確性.

圖2 一維垂直入射驗(yàn)證算例

4 空變等離子體光子晶體的帶隙特性分析

4.1 空變等離子光子晶體的模型及參數(shù)

空變等離子體光子晶體（PPC）的物理模型同驗(yàn)證算例，如圖3所示.電磁波垂直入射到該一維等離子體光子晶體結(jié)構(gòu).中間層狀空變等離子體的等離子體頻率變化規(guī)律如式（22）所示.計(jì)算中，入射波波形為微分高斯脈沖即E（t）＝-4.67 ·，其中t0＝22×10-12s，τ＝5.4×10-12s，F(xiàn)DTD的計(jì)算參數(shù)空間步長(zhǎng)Δz＝60×10-6m，時(shí)間步長(zhǎng)Δr＝1.0×10-14s.

圖3 等離子光子晶體圖

4.2 非磁化等離子體情形

對(duì)于空變非磁化（ωb＝0）等離子體，計(jì)算中ωp＝2π×109rad/s，碰撞頻率v＝0，分別計(jì)算了脈沖寬度k＝0.6mm、1.2mm、2.4mm與均勻等離子體頻率的反射系數(shù)與透射系數(shù)，計(jì)算結(jié)果如圖4，圖5所示.

圖4、圖5給出的是空變情況與非空變情況下PPC的反射系數(shù)和透射系數(shù)頻譜圖，從圖中可以清楚的看到：無(wú)論是反射系數(shù)還是透射系數(shù)，空變等離子體頻率的反射系數(shù)和均勻介質(zhì)反射系數(shù)有非常大的差別，等離子體光子晶體的禁帶隨著高斯脈沖函數(shù)寬度k的變化而有規(guī)律的變化，隨著k的逐漸變小光子晶體的禁帶中心頻率也逐漸向低頻方向移動(dòng)，但光子晶體的周期性并沒(méi)有改變.這說(shuō)明通過(guò)改變?chǔ)豴（z）的高斯脈沖形式的函數(shù)寬度對(duì)PPC結(jié)構(gòu)的禁帶形成是可控的.

圖4 非磁化情況下空變PPC與非空變PPC反射系數(shù)圖

圖5 非磁化情況下空變PPC與非空變PPC透射系數(shù)圖

4.3 磁化等離子體情形

對(duì)于磁化（ωb＝10GHz）等離子體情形，計(jì)算中，ωp＝2π×10GHz，碰撞頻率v＝10GHz，分別計(jì)算了脈沖寬度k＝0.6mm、1.2mm、2.4mm 與均勻等離子體頻率的反射系數(shù)與透射系數(shù)頻譜對(duì)比圖，如圖6、圖7所示.

由圖6、圖7可以看到出：在磁化情況下，無(wú)論是反射系數(shù)還是透射系數(shù)，其等離子體光子晶體的禁帶仍然隨著高斯脈沖函數(shù)寬度（k）的變化而有規(guī)律的變化，隨著k的逐漸變小光子晶體的禁帶逐漸變大，但光子晶體的周期性并沒(méi)有改變.這說(shuō)明通過(guò)改變?chǔ)豴（z）的高斯脈沖形式的函數(shù)寬度對(duì)PPC結(jié)構(gòu)的禁帶形成是可控的.

5 結(jié) 論

采用改進(jìn)的磁化等離子體電磁波傳播的FDTD算法研究了一維空變等離子體光子晶體的禁帶特性.以微分高斯脈沖為激勵(lì)源，引入了Mur吸收邊界.用算法公式所得的電磁波反射系數(shù)來(lái)討論隨空間變化的等離子體頻率對(duì)其禁帶特性的影響.結(jié)果表明，對(duì)于光子晶體禁帶的形成和產(chǎn)生，通過(guò)對(duì)等離子體空間頻率的變化，能對(duì)禁帶的周期性和寬度進(jìn)行控制.等離子體頻率隨空間成高斯脈沖形式的函數(shù)變化，當(dāng)脈沖寬度減小，其禁帶的寬度也越小，脈沖寬度越大，禁帶的寬度也越大.因此，要實(shí)現(xiàn)對(duì)等離子體光子晶體禁帶的控制，可以通過(guò)改變等離子體頻率的大小來(lái)獲得.

［1］YABLONOVITCH E.Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics ［J］.Phys Rev Lett，1987，58（20）：2059-2062.

［2］JOHN S.Localization of photons in certain disordered dielectric super lattices［J］.Phys Rev Lett，1987，58（23）：2486-2489.

［3］梅洛勤，葉衛(wèi)民，曾 淳，等.用傳輸矩陣法（TMM）研究二維光子晶體傳輸特性［J］.量子光學(xué)學(xué)報(bào)，2003，9（2）：88-92.MEI Luoqin，YE Weimin，ZENG Chun，et al.Characteristic properties of transmission research of 2-D photonic crystals using the transfer matrix method（TMM）［J］.Acta Sinica Quanturn Optica，2003，9（2）：88-92.（in Chinese）

［4］歐陽(yáng)征標(biāo)，安鶴男，阮雙琛，等.利用二維光子晶體提高波的耦合效率［J］.光子學(xué)報(bào)，2004，33（1）：69-72.OUYANG Zhengbiao，AN Henan，RUAN Shuangchen，et al.Promoting the coupling efficiency of waves by a 2D photonic crystal［J］.Acta Photonica Sinica，2004，33（1）：69-72.（in Chinese）

［5］吳維慶，陳雄文，周 輝，等.混合纖芯光子晶體光纖超平坦色散的研究［J］.光子學(xué)報(bào)，2006，35（1）：109-113.WU Weiqing，CHEN Xiongwen，ZHOU Hui，et al.Investigation of the ultraflattened dispersion in photonic crystal fiberswithhybrid cores［J］.Acta Photonica Sinica，2006，35（1）：109-113.（in Chinese）

［6］李 巖，鄭瑞生，馮玉春，等.一種發(fā)光二極管模型中無(wú)序光子晶體對(duì)光輸出影響的研究［J］.光子學(xué)報(bào)，2006，35（6）：903-905.LI Yan，ZHENG Ruisheng，F(xiàn)ENG Yuchun，et al.Influence of disordered photonic crystal on Light extraction of a kind of light emitting diode model［J］.Acta Photonica Sinica，2006，35（6）：903-905.（in Chinese）

［7］陳 松，王維彪，梁靜秋，等.二維點(diǎn)缺陷正方光子晶體的微腔結(jié)構(gòu)［J］.發(fā)光學(xué)報(bào)，2007，28（1）：7-11.CHEN Song，WANG Weibiao，LIANG Jingqiu，et al.Two-dimensional square photonic crystal microcavitives［J］.Chinese Journal of Luminescence，2007，28（1）：7-11.（in Chinese）

［8］王政平，王 成.含負(fù)折射率材料的一維"啁啾"光子晶體的透射譜［J］.發(fā)光學(xué)報(bào)，2008，29（2）：221-224.WANG Zhengping， WANG Cheng. Transmission spectrum of one-dimensional"Chirped"photonic crystal containing negative re-fraction materials［J］.Chinese Journal of Luminescence，2008，29（2）：221-224.（in Chinese）

［9］李洪濤，邵明珠，羅詩(shī)裕.介電常數(shù)呈正弦平方規(guī)律變化的一維光子晶體帶結(jié)構(gòu)［J］.發(fā)光學(xué)報(bào)，2008，29（2）：229-232.LI Hongtao，SHAO Mingzhu，LUO Shiyu.Band structure of one-dimensional photonic crystal with dielectric constant as a sine-squared function in coordinate space［J］.Chinese Journal of Luminescence，2008，29（2）：229-232.（in Chinese）

［10］HOJO H，MASE A.Dispersion relation of electro magnetic wave in one-dimensional plasma photonic crystals［J］.J Plasma Fusion Res，2004，80（2）：89-92.

［11］楊 娟，梁昌洪，李樂(lè)偉.二維光子晶體的負(fù)折射現(xiàn)象［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2005，12（6）：703-706.YANG Juan，LIANG Changhong，LI Lewei.Negative refractive behaviors of two-dimensional photonic crystals［J］.Chinese Journal of Radio Science 2005，12（6）：704-706.（in Chinese）

［12］劉少斌，顧長(zhǎng)青，周建江，等.磁化等離子體光子晶體的FDTD 分 析 ［J］.物 理學(xué) 報(bào)，2006，54（6）：2804-2808.LIU Shaobin，MO Jingjun，YUAN Naichang et al.FDTD simulation for magnetized plasma photonic crystals［J］.Acta Phys.Sin，2005，54（6）：2804-2808.（in Chinese）

［13］莫錦軍，劉少斌，袁乃昌.非均勻等離子體覆蓋目標(biāo)隱身研究［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2002，17（1）：69-73.MO Jinjun，LIU Shaobin，YUAN Naichang.On the stealth effect of non-uniform plasma covered radar targets［J］.Chinese Journal of Radio Science，2002，17（1）：69-73.（in Chinese）

［14］林寶勤，袁乃昌.二維金屬型光子晶體的有限差分法分析［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2006，21（2）：233-237.LIN Baoqin，YUAN Naichang.Finite difference analysis of 2-D metallic photonic crystals［J］.Chinese Journal of Radio Science，2006，21（2）：233-237.（in Chinese）

［15］劉 崧，劉少斌.非均勻分布等離子體光子晶體帶隙分析［J］.核聚變與等離子體物理，2009，29（4）：365-369.LIU Song，LIU Shaobin.Analysis of photonic band gap in inhomogeneous plasma photonic crystals［J］.Nuclear Fusion and Plasma Physics，2009，29（4）：365-369.（in Chinese）

［16］SAKAI O.Verification of a plasma photonic crystal for microwaves of millimeter wavelength range using two-dimensional array of columnar microplasmas［J］.Appiled Physics Letters，2005，83（24）：505-508.

［17］XU Lijun，YUAN Naichang.JEC-FDTD for 2-D conducting cylinder coated by anisotropic magnetized plasma［J］.Microwave and Wireless Components Letters，2005，15（12）：892-894.

［18］DIKSHITULU K K.Eleectromagnetics of Complex Media Frequency Shifting by a Transient Magnetoplasma Medium［M］.New York：CRC press，1998：11-37.