李炳強(qiáng)，何 欣，袁 濤

（1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院 研究生院，北京 100039）

引 言

空間光學(xué)遙感器的支撐結(jié)構(gòu)將遙感器安裝在飛行器的機(jī)體上，是連接遙感器與飛行器的機(jī)械部件，也是影響成像質(zhì)量的重要因素。為滿足光學(xué)系統(tǒng)的成像要求，其設(shè)計(jì)應(yīng)實(shí)現(xiàn)遙感器自由度全約束，保證光軸指向，同時(shí)需要隔離或降低機(jī)體平臺(tái)精度對(duì)遙感器性能的影響。在飛行器的發(fā)射和在軌運(yùn)行中，機(jī)體平臺(tái)會(huì)產(chǎn)生相對(duì)位移，如果采用剛性支撐結(jié)構(gòu)的安裝形式，相對(duì)位移會(huì)引發(fā)遙感器較大的結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力而導(dǎo)致其形變，降低成像質(zhì)量。鑒于上述條件，支撐結(jié)構(gòu)應(yīng)盡量降低由機(jī)體平臺(tái)相對(duì)位移施加于遙感器的應(yīng)力值和應(yīng)變值。所以，空間光學(xué)遙感器的支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)廣泛地采用運(yùn)動(dòng)學(xué)支撐方案［1－4］。

在運(yùn)動(dòng)學(xué)定位支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，過約束容易引起殘余應(yīng)力、發(fā)生形變、降低成像質(zhì)量，對(duì)構(gòu)件加工的精度和成本提出了更高要求。通過合理的設(shè)計(jì)，可以減少甚至消除過約束，降低由于加工和裝配誤差引起的內(nèi)應(yīng)力［5－6］。

為保證各運(yùn)動(dòng)副正常工作，合理的間隙也是可以存在的，但是會(huì)對(duì)定位精度產(chǎn)生一定的影響。在遙感器的支撐方案中，間隙的影響是不能忽視的。

運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)理論發(fā)展已久，比較著名的有精確約束設(shè)計(jì)，自由度約束拓?fù)淅碚摵图s束螺旋理論等［7］?；谶\(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)理論的機(jī)械結(jié)構(gòu)具有運(yùn)動(dòng)確定、重復(fù)精度高和元件變形小等優(yōu)點(diǎn)，廣泛用于運(yùn)動(dòng)學(xué)聯(lián)接及精密定位平臺(tái)等。進(jìn)入新世紀(jì)以來，許多新的運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)理論不斷地被提出，應(yīng)用這些理論解決了大量的工程問題［8－12］。文中采用約束螺旋理論對(duì)空間光學(xué)遙感器的運(yùn)動(dòng)學(xué)支撐設(shè)計(jì)方案展開分析。

1 約束螺旋理論簡(jiǎn)述［11－12］

1.1 螺旋的概念

如圖1所示，空間一條被直線約束的矢量稱為線矢量或是節(jié)距為零的螺旋，其位置和方向由矢量S 和線距S0決定，S 與S0正交。線矢量的Plücker坐標(biāo)即（S；S0），表達(dá)式為：

一般情況下，對(duì)任意螺旋＄＝（S；S0），其中，S＝r0×S＋hS0，h 即為螺旋的節(jié)距。節(jié)距為零時(shí)螺旋便退化為線矢，在運(yùn)動(dòng)螺旋系中表示轉(zhuǎn)動(dòng)副，在反螺旋系中表示約束力。所有空間運(yùn)動(dòng)副都可以用螺旋來表達(dá)。

1.2 修正的K－G 公式

修正的Kutzbach－Grübler公式表達(dá)為：

M 表示機(jī)構(gòu)的自由度；n表示包括機(jī)架的構(gòu)件數(shù)目；g 表示運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目；fi表示第i 個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度；ν表示并聯(lián)冗余約束數(shù)；ζ表示局部自由度數(shù)；d 表示機(jī)構(gòu)的階，也稱為公共約束因子。λ為機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)。

圖1 線矢Fig.1 Line vector

1.3 公共約束和冗余約束

（1）公共約束

并聯(lián)機(jī)構(gòu)一個(gè)分支中的所有運(yùn)動(dòng)副形成的螺旋構(gòu)成一個(gè)分支螺旋系，對(duì)應(yīng)此分支螺旋系有一個(gè)分支反螺旋系，即分支約束系，它反映了分支約束系統(tǒng)對(duì)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)約束。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)承受了所有分支的約束螺旋，它們構(gòu)成平臺(tái)的約束系，決定了平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)。機(jī)構(gòu)的公共約束就是這個(gè)機(jī)構(gòu)所有運(yùn)動(dòng)螺旋的反螺旋，機(jī)構(gòu)的所有公共約束數(shù)為：

（2）冗余約束

考慮公共約束之外其他的t個(gè)約束是否形成冗余約束。當(dāng)t個(gè)約束形成k 系螺旋，k＜t時(shí)，只有k個(gè)螺旋起到約束作用，其余t－k個(gè)螺旋為冗余約束，即：

2 遙感器的運(yùn)動(dòng)學(xué)支撐方案

2.1 結(jié)構(gòu)模型

空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)具備高精度、高剛度、高承載能力等特性，且三點(diǎn)支撐可以達(dá)到更高的共面精度。所以，空間遙感器的支撐結(jié)構(gòu)采用對(duì)稱的3－RRR 空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過三條均勻分布的R－R－R運(yùn)動(dòng)支鏈Ki（i＝1，2，3）將機(jī)體和遙感器連接起來，其中Sj（j＝1，2，3，……，9）為第j個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線，編號(hào)1，4，7的轉(zhuǎn)動(dòng)副共面連接機(jī)體平臺(tái)，編號(hào)3，6，9的轉(zhuǎn)動(dòng)副共面連接遙感器的底部平臺(tái)，以下簡(jiǎn)稱工作平臺(tái)，編號(hào)2，5，8的三個(gè)中間轉(zhuǎn)動(dòng)副共面且軸線成對(duì)心分布。每條支鏈中上下兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副平行，與中間的轉(zhuǎn)動(dòng)副空間垂直，這樣可以減小誤差累積，降低裝配精度對(duì)性能的影響。支撐結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。

2.2 理想狀態(tài)自由度分解

采用約束螺旋理論分析支撐結(jié)構(gòu)對(duì)工作平臺(tái)的約束問題。在圖2所示坐標(biāo)系中，支鏈K1與支鏈K2關(guān)于x－z平面對(duì)稱，α為S4與z軸夾角，β，θ分別為過點(diǎn)O 做S5和S9的垂線與底部平臺(tái)的夾角，a，r，d，R，分別為點(diǎn)O 到S4，S5，S7，S9的距離。取支鏈K1為分支螺旋系I，依次類推，計(jì)算分支螺旋系I為：

圖2 支撐結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic drawing of supporting structure

可得分支螺旋系I的分支反螺旋系為：

工作平臺(tái)的自由度為：

觀察這個(gè)反螺旋系，三個(gè)反螺旋均為線矢，帶來三個(gè)有效約束，共約束了工作平臺(tái)沿x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，平動(dòng)，以及在y－z平面內(nèi)沿著（sinα，cosα）方向的平動(dòng)，平臺(tái)還具備三個(gè)自由度。

計(jì)算分支螺旋系II為：

可求得分支螺旋系II的分支反螺旋系為：

可得工作平臺(tái)的自由度為：

由表達(dá)式（7）和式（10）可以看出，分支反螺旋系II 與分支反螺旋系I 有一個(gè)共同的約束螺旋（0，0，0；1，0，0），形成公共約束，其余兩個(gè)螺旋為有效約束，約束了平臺(tái)沿z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)及在y－z 平面內(nèi)沿著（－sinα，cosα）方向的平動(dòng)。至此，約束了平臺(tái)三個(gè)平動(dòng)自由度和沿著x 軸，z 軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，平臺(tái)只剩下一個(gè)沿著y 軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度。

同理可求得分支反螺旋系III為：

由三個(gè)分支反螺旋系可知，該結(jié)構(gòu)具備一個(gè)公共反螺旋（0，0，0；1，0，0），支撐結(jié)構(gòu)有一個(gè)公共約束，此力偶約束了上平臺(tái)沿x 軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。由于有三個(gè)支撐分支，此公共約束包含兩個(gè)過約束。

除去公共約束后的六個(gè)約束螺旋組成了一個(gè)五系螺旋，由式（5）可得：

即支撐結(jié)構(gòu)約束了平臺(tái)的全部六個(gè)自由度，同時(shí)具備三個(gè)過約束。在實(shí)際情形中，由于間隙的影響，與理想情況會(huì)有所差別。

2.3 引入間隙后自由度分配

為了保證各運(yùn)動(dòng)副正常工作，避免過盈聯(lián)接，構(gòu)件加工裝配后需存在鉸間隙。但這些間隙會(huì)影響機(jī)構(gòu)的自由度分配，尤其對(duì)空間三分支并聯(lián)機(jī)構(gòu)很明顯。

單獨(dú)考慮每個(gè)支撐分支，三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副都有間隙，在理想約束允許的運(yùn)動(dòng)之外，當(dāng)工作平臺(tái)繞x 軸發(fā)生微小轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，會(huì)引起工作平臺(tái)產(chǎn)生空間微小平動(dòng)。

由式（11）可知，兩分支并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在一個(gè)自由度，為繞y 軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。s實(shí)驗(yàn)中，由于間隙的存在誘發(fā)了轉(zhuǎn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)，使工作平臺(tái)可以繞x 軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度。假設(shè)兩分支中所有轉(zhuǎn)動(dòng)鉸都具備同樣的軸向間隙和徑向間隙，經(jīng)ADAMS軟件采集數(shù)據(jù)和MATLAB進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，可以擬合出間隙與轉(zhuǎn)角大小的關(guān)系，見圖3所示。由圖3可以看出，轉(zhuǎn)角對(duì)軸向間隙更為敏感。

圖3 間隙與轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig.3 Relationship between clearance and rotation angle

3 桿件的優(yōu)化設(shè)計(jì)

計(jì)算壓桿臨界壓力的公式為：

式（15）也就是歐拉公式的普遍形式，F(xiàn)cr為臨界壓力，E 為材料彈性模量，I 為截面慣性矩，l為桿件長(zhǎng)度，μl稱為相當(dāng)長(zhǎng)度，μ 稱為長(zhǎng)度因數(shù)，μ 值如表1所示。

由于支撐方式已經(jīng)確定，為了增加桿件的臨界壓力，增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，應(yīng)適當(dāng)減小桿件的長(zhǎng)度，選擇合理的截面形狀以提高截面慣性矩。為了提高截面慣性矩，可以增加截面面積。在截面面積相同時(shí)，適當(dāng)?shù)匕巡牧戏旁陔x截面形心較遠(yuǎn)處同樣能夠提高截面慣性矩。這樣，空心截面比實(shí)心截面更合理。同時(shí)，在不影響運(yùn)動(dòng)副工作的條件下適當(dāng)減小桿件長(zhǎng)度，可增強(qiáng)穩(wěn)定性。為了與軸相連接，矩形截面的構(gòu)件更容易加工，優(yōu)化后支撐構(gòu)件的截面采用空心矩形，如圖4所示。

優(yōu)化后的支撐結(jié)構(gòu)如圖5所示。

表1 長(zhǎng)度因數(shù)Tab.1 Length factor

圖4 構(gòu)件結(jié)構(gòu)Fig.4 Configuration of component

圖5 完整支撐結(jié)構(gòu)Fig.5 Integrated support structure

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)加工出符合公差范圍與設(shè)計(jì)尺寸的各部件裝配后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中將下平臺(tái)固定于實(shí)驗(yàn)臺(tái)上，對(duì)上平臺(tái)施加各方向的力和扭矩。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，工作平臺(tái)不具備自由度，因間隙的影響沿各軸的平動(dòng)位移都在0.01mm數(shù)量級(jí)，也會(huì)產(chǎn)生微小的轉(zhuǎn)角，工作平臺(tái)沿各軸轉(zhuǎn)角如圖6所示。

從圖6中可以看出，x，y，z 三個(gè)方向能達(dá)到的最大轉(zhuǎn)角分別為3.95″，1.86″，1.81″。

圖6 工作平臺(tái)轉(zhuǎn)角Fig.6 Rotation angle of working platform

5 結(jié) 論

提出了以3－RRR 空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為空間光學(xué)遙感器的運(yùn)動(dòng)學(xué)支撐方案，運(yùn)用約束螺旋理論分析了支撐結(jié)構(gòu)對(duì)工作平臺(tái)的自由度約束問題，研究了微米級(jí)鉸間隙對(duì)自由度分配的影響，在滿足定位要求的前提下，適當(dāng)增加間隙使運(yùn)動(dòng)支撐結(jié)構(gòu)，在裝配精度范圍內(nèi)不具備過約束，這樣既能降低航天器機(jī)體平臺(tái)精度對(duì)遙感器成像性能的影響，又能減少加工和裝配誤差引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力。為了提高穩(wěn)定性，優(yōu)化了支撐構(gòu)件的結(jié)構(gòu)。文中設(shè)計(jì)的支撐方案在理論和實(shí)際中均能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)空間光學(xué)遙感器的支撐和定位。加工裝配后樣機(jī)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：遙感器相對(duì)于機(jī)體平臺(tái)最大平動(dòng)位移在0.01mm 數(shù)量級(jí)，繞x，y，z三個(gè)軸的方向能達(dá)到的最大轉(zhuǎn)角分別為3.95″，1.86″，1.81″，從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度滿足了對(duì)空間光學(xué)遙感器的支撐和精密定位要求。

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