周 珺，郭紅衛(wèi)

（上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072）

引 言

三角函數(shù)與反三角函數(shù)作為基本初等函數(shù)，在工程技術(shù)與科學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用，但在某些特定情況下則需通過(guò)逼近函數(shù)來(lái)計(jì)算其近似值。例如，在工業(yè)中常采用單片機(jī)、硬件計(jì)算設(shè)備或各種小型系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)過(guò)程的控制［1］，然而這些系統(tǒng)可能并不支持三角函數(shù)的庫(kù)函數(shù)計(jì)算，那么就需要尋找替代的逼近方法來(lái)計(jì)算其數(shù)值。另外，相對(duì)于一般算術(shù)運(yùn)算，三角函數(shù)與反三角函數(shù)計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較高，計(jì)算耗時(shí)，難以滿足各種實(shí)時(shí)性要求。例如，在機(jī)器人動(dòng)力學(xué)［2］方程的快速計(jì)算中，三角函數(shù)的計(jì)算也占很大的比例［3］。另外，在計(jì)算機(jī)三維建模與三維游戲中，三維模型的空間坐標(biāo)變換也涉及到大量連續(xù)的三角函數(shù)運(yùn)算［4］。GPU［5］作為一種可編程的圖形處理器，利用Vertex Shader計(jì)算反三角函數(shù)也很浪費(fèi)時(shí)間。在這些情況下，采用三角函數(shù)的快速近似計(jì)算可以大大提高計(jì)算效率［6－7］，滿足各類實(shí)時(shí)性要求。

同樣，在光學(xué)檢測(cè)技術(shù)中，也涉及到大量的三角函數(shù)運(yùn)算。例如，傅里葉變換位相分析方法［8－9］中，大量的復(fù)指數(shù)運(yùn)算需通過(guò)正余弦函數(shù)的計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)；相移步距未知情況下的相移算法中，需使用反余弦函數(shù)來(lái)求解相對(duì)相移量［10］；各種位相分析方法一般需通過(guò)四象限反正切函數(shù)逐像素計(jì)算條紋圖像上的位相分布［11］；而在多視角（口徑）測(cè)量［12－13］中，則需利用坐標(biāo)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)各視角測(cè)量結(jié)果的配準(zhǔn)與拼接，也要用到大量的三角函數(shù)計(jì)算。這些計(jì)算消耗大量時(shí)間，已成為快速測(cè)量或?qū)崟r(shí)測(cè)量的一個(gè)瓶頸問(wèn)題，同時(shí)也使得測(cè)量數(shù)據(jù)的硬件或固件計(jì)算處理難以實(shí)現(xiàn)。

三角函數(shù)與反三角函數(shù)的快速近似計(jì)算可采用多種方法實(shí)現(xiàn)。其中，查表法首先對(duì)函數(shù)特定區(qū)間按特定分辨率進(jìn)行采樣并計(jì)算其數(shù)值，并建表存儲(chǔ)在內(nèi)存中。使用時(shí)，直接訪問(wèn)相應(yīng)地址即可獲得需要的三角函數(shù)值。查表法簡(jiǎn)便易行，效率很高，但需要占用一定的內(nèi)存空間。特別是當(dāng)精度要求提高時(shí)，所需內(nèi)存的大小也需相應(yīng)地增大。泰勒級(jí)數(shù)也常被用來(lái)計(jì)算函數(shù)的近似值。根據(jù)泰勒定理，一個(gè)無(wú)限可微函數(shù)可由其泰勒展開(kāi)式無(wú)限逼近。但泰勒級(jí)數(shù)收斂較為緩慢，無(wú)法實(shí)現(xiàn)低階高精度的逼近。例如在區(qū)間［－1，1］上用泰勒級(jí)數(shù)計(jì)算反正切函數(shù)值時(shí)，若要精度達(dá)到10－3數(shù)量級(jí)，需將其展開(kāi)至49階；若要精度達(dá)到10－4數(shù)量級(jí)，則需將其展開(kāi)至499階。這一現(xiàn)象說(shuō)明，當(dāng)精度要求較高時(shí)，泰勒級(jí)數(shù)并不是一種實(shí)用有效的函數(shù)逼近方法。另一種方法是采用最小二乘多項(xiàng)式逼近三角函數(shù)，該多項(xiàng)式與目標(biāo)函數(shù)之間的平方距離可達(dá)到極小值。由于最小二乘多項(xiàng)式系數(shù)的計(jì)算十分簡(jiǎn)單，該方法較易于實(shí)現(xiàn)。采用這種方法，僅需5階和7階多項(xiàng)式即可分別使上述區(qū)間內(nèi)的反正切函數(shù)的求解精度達(dá)到10－3和10－4數(shù)量級(jí)，其逼近效率遠(yuǎn)高于泰勒級(jí)數(shù)法。但是，這種最小二乘多項(xiàng)式并非是最優(yōu)的。換言之，存在階數(shù)更低的多項(xiàng)式可達(dá)到相同的精度。不同于上述方法，本文討論三角函數(shù)及反三角函數(shù)的最佳逼近方法，推導(dǎo)了基于無(wú)窮范數(shù)的最佳逼近多項(xiàng)式。

1 三角函數(shù)逼近算法

1.1 原理

假設(shè)y＝f（x）是區(qū)間［x1，x2］內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，該區(qū)間其N 階逼近多項(xiàng)式可表示為：

pn（n＝0，1，…，N）為其系數(shù)。該方程涉及N（1＋N）／2次乘法和N 次加法運(yùn)算。為簡(jiǎn)化，式（1）可改寫(xiě)為：

對(duì)于具體的三角函數(shù)，首先針對(duì)其某一特定區(qū)間［x1，x2］求解逼近多項(xiàng)式，然后再將其結(jié)果推廣到整個(gè)2π周期區(qū)間。根據(jù)數(shù)值分析理論，f＾（x）－f（x）在閉區(qū)間［x1，x2］內(nèi)至少有N＋1個(gè)不同的根（根的集合可能包含x1和x2），在開(kāi)區(qū)間（x1，x2）內(nèi)至少有N 個(gè)交錯(cuò)極值點(diǎn)，其極值的絕對(duì)值相等正負(fù)號(hào)交替。當(dāng)將區(qū)間［x1，x2］上的逼近方程拓展到區(qū)間外時(shí)，不僅要保證分段逼近函數(shù)在整個(gè)函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)盡可能是最優(yōu)的，而且要保證其在整個(gè)定義區(qū)間上的連續(xù)性。為此要求，在選定區(qū)間［x1，x2］的邊緣處，多項(xiàng)式與函數(shù)f（x）的關(guān)系滿足一定條件。假設(shè)x＝xi（i＝1或2）是一個(gè)邊緣點(diǎn)。如果函數(shù)f（x）關(guān)于x＝xi左右對(duì)稱則在x＝xi處有一個(gè)附加的交錯(cuò)極值點(diǎn)，即：

其中，η為極值。關(guān)于極值的正負(fù)號(hào)，當(dāng)i＝1（左邊緣點(diǎn)）時(shí)，m＝0，當(dāng)i＝2（右邊緣點(diǎn)）時(shí)，m＝N＋1。如果函數(shù)f（x）在x＝xi處非左右對(duì)稱，則強(qiáng)制要求與f（x）精確相等，即：

第1步：任選N 個(gè)點(diǎn)ξk（k＝1，2，…，N），滿足x1＜ξ1＜ξ2＜…＜ξN ＜x2。

第2步：假設(shè)差值f＾（ξk）－f（ξk）（k＝1，2，…，N）具有相等的絕對(duì)值和交錯(cuò)的正負(fù)號(hào)，即：

將式（6）與式（4）或式（5）聯(lián)立形成一個(gè)包含N＋2個(gè)方程式的線性方程組，該方程組包含pn（n＝0，1，…，N）和η共N＋2個(gè)未知數(shù)。

第3步：利用第二步計(jì)算所得系數(shù)pn構(gòu)建多項(xiàng)式。解方程：

這種方法可以構(gòu)建出一個(gè)函數(shù)在區(qū)間［x1，x2］內(nèi)的逼近多項(xiàng)式。利用該方法可以推導(dǎo)出基本的三角函數(shù)（正弦，正切）及其反函數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)的逼近多項(xiàng)式，然后再將其結(jié)果拓展至整個(gè)2π周期或整個(gè)函數(shù)定義區(qū)間。

1.2 結(jié)果和討論

1.2.1 余弦函數(shù)逼近

正弦和余弦函數(shù)是兩種基本的三角函數(shù)。因?yàn)閟in（x）＝cos（π／2－x），正弦函數(shù)sin（x）可以由通過(guò)余弦函數(shù)cos（x）求得，所以只需針對(duì)余弦函數(shù)進(jìn)行討論。余弦函數(shù)是一個(gè)定義在（－∞，＋∞）內(nèi)的周期函數(shù)，利用上述方法可以在一個(gè)基本周期［0，2π］內(nèi)求解其逼近多項(xiàng)式。但是這種分段方式無(wú)法獲得效率較高的逼近方程。例如，采用4次逼近多項(xiàng)式，最大誤差達(dá)到0.035；若要使逼近精度達(dá)到10－3數(shù)量級(jí)，多項(xiàng)式次數(shù)至少為6次。這意味著執(zhí)行較多的乘法運(yùn)算，要消耗較多的計(jì)算時(shí)間。因此，函數(shù)逼近區(qū)間局限在［0，π／2］范圍內(nèi)，最后通過(guò)三角恒等式得到整個(gè)周期上的分段逼近多項(xiàng)式。采用第2.1節(jié)所述的方法，對(duì)［0，π／2］區(qū)間內(nèi)的余弦函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式逼近。由于余弦函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間左邊界x＝0處，采用式（4）作為邊界條件；而在右邊界x＝π／2處，以式（5）作為邊界條件。計(jì)算所得的3至5次多項(xiàng)式系數(shù)及最大誤差如表1所示，其中pn為式（1）所定義的多項(xiàng)式的n次項(xiàng)系數(shù)。

表1 區(qū)間［0，π／2］內(nèi)余弦函數(shù)逼近多項(xiàng)式系數(shù)和最大誤差Tab.1 Coefficients and maximum errors of approximation polynomials for the cosine function in［0，π／2］

整周期［0，2π］區(qū)間內(nèi)的余弦函數(shù)則可以利用上述逼近多項(xiàng)式，以分段逼近多項(xiàng)式計(jì)算得到，即

1.2.2 正切函數(shù)逼近

正切函數(shù)tan（x）是一個(gè)周期函數(shù)。在周期（－π／2，π／2）之內(nèi)，當(dāng)x 趨近于±π／2 時(shí)，該函數(shù)取值趨近于±∞。在整個(gè)周期上就無(wú)法獲得正切函數(shù)單一的最佳逼近多項(xiàng)式。但是可以選取一個(gè)相對(duì)較小的區(qū)間計(jì)算其逼近多項(xiàng)式。例如，表2所示是采用1.1節(jié)方法求得的正切函數(shù)在［0，π／2］之間的逼近多項(xiàng)式的系數(shù)及最大誤差。為保證連續(xù)性，計(jì)算采用的邊界條件由式（5）確定。

圖1 余弦函數(shù)3次（短劃線）、4次（點(diǎn)線）和5次（實(shí)線）分段逼近多項(xiàng)式誤差Fig.1 The approximation errors of cos（x）with polynomial degree being 3（dashed），4（dot）and 5（solid lines）

表2 區(qū)間［0，π／4］內(nèi)正切函數(shù)逼近多項(xiàng)式系數(shù)與最大誤差Tab.2 Coefficients and maximum errors of approximation polynomials for the tangent function in［0，π／4］

利用上述［0，π／4］區(qū)間內(nèi)的逼近多項(xiàng)式，有多種方法可以實(shí)現(xiàn)整個(gè)周期區(qū)間內(nèi)的正切函數(shù)的近似計(jì)算。第一種方法就是利用三角恒等式，可得：

式（9）表示正切函數(shù)在一個(gè)整周期（－π／2，π／2）上的分段逼近函數(shù)。其誤差分布如圖2所示。從中可見(jiàn)，根據(jù)式（9）所得正切函數(shù)近似值在一個(gè)周期內(nèi)仍然是連續(xù)分布的。在［－π／4，π／4］區(qū)間上最大逼近誤差被最小化，其逼近函數(shù)是最佳逼近。但是，在［－π／4，π／4］區(qū)間之外，誤差分布是不均勻的，這種逼近不再是最佳逼近。特別是在靠近周期邊緣處，當(dāng)接近π／2時(shí)，誤差增大較快。這是由于正切函數(shù)在此處趨近于∞的性質(zhì)決定的。

第二種獲取整周期函數(shù)的方法是利用前述正弦函數(shù)sin（x）和余弦函數(shù)cos（x）的逼近多項(xiàng)式，通過(guò)三角關(guān)系式tan（x）＝sin（x）／cos（x）進(jìn)行計(jì)算。模擬實(shí)驗(yàn)證明在接近±π／2處，這種方法精度略高于第一種方法，但是其誤差仍然不是均勻分布，這種方法也不是最優(yōu)的，并且需要執(zhí)行較多的乘法運(yùn)算。實(shí)際上，正切函數(shù)在（－π／2，π／2）周期內(nèi)不存在一個(gè)最佳逼近多項(xiàng)式或分段的最佳逼近多項(xiàng)式。在具體應(yīng)用中，所要求解的正切函數(shù)角度范圍往往被限制在一個(gè)較小的已知區(qū)間內(nèi)，此時(shí)就可以利用1.1節(jié)所述方法直接求解該區(qū)間內(nèi)的最佳逼近多項(xiàng)式。

1.2.3 反余弦函數(shù)逼近

反正弦和反余弦函數(shù)是兩種基本的反三角函數(shù)。因?yàn)閍rcsin（x）＝π／2－arccos（x）成立，反正弦函數(shù)arcsin（x）的近似值可以通過(guò)反余弦函數(shù)arccos（x）的逼近函數(shù)求得。反余弦函數(shù)是一個(gè)定義在區(qū)間［－1，1］內(nèi)的函數(shù)。如果在整個(gè)區(qū)間內(nèi)求解單一的逼近多項(xiàng)式，也無(wú)法獲得效率較高的逼近方程。例如，采用3次逼近多項(xiàng)式，最大誤差達(dá)到0.14；若要使逼近精度達(dá)到10－4數(shù)量級(jí)，多項(xiàng)式次數(shù)至少為11次。這是因?yàn)榉从嘞液瘮?shù)在x趨近于±1時(shí)，導(dǎo)數(shù)趨近于±∞，這就要求采用非常高階的多項(xiàng)式才能逼近該曲線。采用高階多項(xiàng)式意味著需執(zhí)行更多的乘法運(yùn)算，消耗更多的時(shí)間。因此，將函數(shù)逼近的區(qū)間局限在范圍內(nèi)，最后通過(guò)三角恒等式得到整個(gè)定義域上的分段逼近多項(xiàng)式。

采用1.1節(jié)所述的方法，以式（5）為邊界條件，分別用1、3、5次多項(xiàng)式對(duì)區(qū)間內(nèi)的余弦函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式逼近，所得的多項(xiàng)式系數(shù)及最大誤差如表3所示。

圖2 正切函數(shù)的3次（短劃線）和5次（實(shí)線）分段逼近多項(xiàng)式誤差Fig.2 The approximation errors of tan（x）with polynomial degrees being 3（dashed）and 5（solid lines）

表3 區(qū)間內(nèi)反余弦函數(shù)逼近多項(xiàng)式的系數(shù)和最大誤差Tab.3 Coefficients and maximum errors of approximation polynomials for the arccosine function in

表3 區(qū)間內(nèi)反余弦函數(shù)逼近多項(xiàng)式的系數(shù)和最大誤差Tab.3 Coefficients and maximum errors of approximation polynomials for the arccosine function in

多項(xiàng)式的 多項(xiàng)式系數(shù) 最大逼近次數(shù)p0 p1 p2 p3 p4 p5誤差／rad 1 π／2 －1.110 720 0.033 00 3 π／2 －1.019 450 0.126 854 －0.361 939 0.000 87 5 π／2 －1.002 146 0.036 749 －0.364 830 0.432 948 －0.420 863 0.000 038

可以看出式（10）所得到的逼近多項(xiàng)式在各分段邊界處是連續(xù)的，在各個(gè)分段區(qū)間內(nèi)的最大誤差是一致的。與前述整個(gè)定義區(qū)間上單一的逼近多項(xiàng)式相比，其多項(xiàng)式次數(shù)較少，計(jì)算量要小得多。

1.2.4 反正切函數(shù)逼近

反正切函數(shù)arctan（x）是定義在（－∞，＋∞）上的奇對(duì)稱函數(shù)，無(wú)法獲得整周期內(nèi)的單一逼近多項(xiàng)式。為此可以選取一個(gè)小區(qū)間計(jì)算其逼近多項(xiàng)式，再把其拓展到整個(gè)區(qū)間。表4 所示是采用1.1 節(jié)方法，以式（5）為邊界條件，求得的正切函數(shù)在［0，1］之間的逼近多項(xiàng)式的系數(shù)及最大誤差。從表中可見(jiàn)，由于反正切函數(shù)的奇對(duì)稱性質(zhì)，這些多項(xiàng)式的0次項(xiàng)（常數(shù)項(xiàng)）為0。

圖3 反余弦函數(shù)的3次（短劃線）與5次（實(shí)線）分段逼近多項(xiàng)式誤差Fig 3 The approximation errors of arccos（x）with polynomial degrees being 3（dashed）and 5（solid lines）

表4 區(qū)間［0，1］內(nèi)反正切函數(shù)逼近多項(xiàng)式的系數(shù)和最大誤差Tab.4 Coefficients and maximum errors of approximation polynomials for the arctangent function in［0，1］

得到區(qū)間［0，1］內(nèi)的逼近多項(xiàng)式后，整個(gè)定義域區(qū)間（－∞，＋∞）內(nèi)的反余弦函數(shù)可以利用分段逼近多項(xiàng)式計(jì)算得到，即：

圖4顯示在使用3次與5 次逼近時(shí)誤差的比較。可以看出式（11）所得到的逼近多項(xiàng)式在各分段邊界處是連續(xù)的，在各個(gè)分段區(qū)間內(nèi)的最大誤差是一致的。

2 應(yīng) 用

2.1 條紋分析算法

圖4 反正切函數(shù)的3次（短劃線）與5次（實(shí)線）分段逼近多項(xiàng)式誤差Fig 4 The approximation errors arctan（x）with polynomial degrees being 3（dashed）and 5（solid lines）

光學(xué)三維測(cè)量技術(shù)常以二維條紋圖像的形式提供其原始測(cè)量數(shù)據(jù)［14－15］。其中，第三維信息就包含于條紋圖像的位相之中。因此，分析條紋的位相信息是實(shí)現(xiàn)光學(xué)測(cè)量的關(guān)鍵步驟，其中涉及大量的三角函數(shù)計(jì)算。下面以相移步距未知情況下的相移算法為例來(lái)說(shuō)明本文方法在條紋圖像分析中的應(yīng)用。當(dāng)相移步距未知并沿圖像為不均勻分布時(shí)，第k 幅相移條紋圖可表示為

其中，（x，y）是圖像像素坐標(biāo)；Ik、a和b 分別表示光強(qiáng)、背景光強(qiáng)與調(diào)制度；位相φ 與相對(duì)相移量α 均為未知量。條紋分析的第一步是針對(duì)每一像素估計(jì)其相對(duì)相移量：

再利用最小二乘相移算法求解位相。解方程組：

則各像素的位相為

上述過(guò)程對(duì)每一像素點(diǎn)來(lái)說(shuō)總共涉及2 K 次的正弦或余弦計(jì)算，一次反余弦計(jì)算和一次反正切計(jì)算。這些運(yùn)算都可以利用本文方法計(jì)算，以簡(jiǎn)化計(jì)算。

2.2 實(shí)驗(yàn)

上述相移步距未知情況下的相移算法，適用于匯聚光相移干涉測(cè)量［16］、陰影莫爾形貌測(cè)量［17］、鏡像莫爾形貌測(cè)量［18］等。在這些方法中，位相與相移量均依賴于被測(cè)表面的深度或梯度等形貌信息，因而未知且呈非均勻分布。圖5所示為一幅相移鏡像莫爾條紋圖。總相移步數(shù)為K＝64。圖6比較了條紋分析的結(jié)果。圖6（a）和6（b）為通過(guò)式（13），分別利用標(biāo)準(zhǔn)反余弦函數(shù)及其逼近算法計(jì)算所得相對(duì)相移量。其中，逼近多項(xiàng)式階數(shù)為3，系數(shù)見(jiàn)表3。圖6（c）顯示兩者的差值，說(shuō)明逼近方法誤差小至10－4數(shù)量級(jí)。圖6（d）和6（e）為通過(guò)式（14）與式（15），分別利用標(biāo)準(zhǔn)三角函數(shù)及其逼近算法計(jì)算所得包裹位相。其中，逼近多項(xiàng)式階數(shù)為3，余弦函數(shù)逼近多項(xiàng)式系數(shù)見(jiàn)表1，反正切函數(shù)逼近多項(xiàng)式系數(shù)見(jiàn)表4。圖6（f）為兩者之差，從中可見(jiàn)，采用3階多項(xiàng)式逼近算法，導(dǎo)致的最大位相計(jì)算誤差僅為0.027rad。采用更高階多項(xiàng)式，可以進(jìn)一步提高精度。對(duì)整幅圖像進(jìn)行處理，采用標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)算法與逼近算法所用時(shí)間分別為45.70s和39.15s。后者略快于前者。除計(jì)算復(fù)雜性外，計(jì)算速度還取決于計(jì)算機(jī)性能，程序代碼的優(yōu)化等等。在某些情況下，函數(shù)變量局限于一個(gè)較小的已知區(qū)間時(shí)，可以減少比較運(yùn)算的次數(shù)，大大提高計(jì)算的效率。

圖5 莫爾條紋圖Fig 5 A Moiréfringe pattern

圖6 條紋圖像分析結(jié)果Fig 6 Fringe pattern analysis results

3 結(jié) 論

在三角函數(shù)及反三角函數(shù)的特定區(qū)間內(nèi)推導(dǎo)了基于無(wú)窮范數(shù)的最佳逼近多項(xiàng)式，得到了各個(gè)三角函數(shù)和反三角函數(shù)分段的多項(xiàng)式。利用三角函數(shù)的關(guān)系式將這些三角函數(shù)推廣到整周期區(qū)間，或利用反三角函數(shù)的關(guān)系式將這些反三角函數(shù)推廣到整個(gè)定義區(qū)間。文中也給出了一定精度內(nèi)的各函數(shù)逼近多項(xiàng)式的系數(shù)及最大誤差。將上述結(jié)果應(yīng)用于光學(xué)條紋圖像的分析，通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了方法的有效性。所述三角函數(shù)逼近算法，由于只是涉及一些簡(jiǎn)單的邏輯和算術(shù)運(yùn)算，非常適合于光學(xué)測(cè)量信息處理中硬件與固件計(jì)算的實(shí)現(xiàn)。另外，在一些具有實(shí)時(shí)性要求的應(yīng)用中，可以替代庫(kù)函數(shù)運(yùn)算，提高計(jì)算速度。此外，這些結(jié)果具有普遍性，也可用于其它科學(xué)研究及工程應(yīng)用目的。

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