劉均利，方 志

（1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙410082；2.桂林理工大學(xué) 廣西巖土力學(xué)與工程重點實驗室，廣西 桂林541004）

在一般大氣環(huán)境中，混凝土碳化是導(dǎo)致鋼筋銹蝕的主要原因之一。混凝土碳化機(jī)理的研究已比較充分，但混凝土碳化受多種因素影響，如水泥品種和用量、水灰比、混凝土的養(yǎng)護(hù)、混凝土強(qiáng)度等級和環(huán)境因素等［1－2］。國內(nèi)外學(xué)者從不同角度提出了許多混凝土碳化深度預(yù)測模型，牛荻濤等［1］以抗壓強(qiáng)度為主要參數(shù)，考慮澆筑面、角部位置、工作應(yīng)力、環(huán)境溫度和濕度等因素影響，提出一個半理論半經(jīng)驗隨機(jī)模型；張譽(yù)等［2］以水灰比和水泥用量為主要參數(shù)，并通過快速碳化試驗數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行了修正，建立了一個既有理論依據(jù)又有實用價值的碳化深度預(yù)測模型；Hakkinen［3］以抗壓強(qiáng)度為主要參數(shù)并考慮水泥摻合料和環(huán)境因素影響，建立一個模型，目前在歐洲廣泛應(yīng)用；Wang等［4］建立了能考慮粉煤灰影響的預(yù)測混凝土碳化深度的數(shù)值模型；Talukdar等［5－6］以CO2濃度、CO2擴(kuò)散系數(shù)為主要參數(shù)，建立了能考慮氣候影響的碳化深度預(yù)測模型。由于各個碳化深度預(yù)測模型考慮的側(cè)重點不同，對同一工程，不同模型的預(yù)測結(jié)果存在顯著的差異。盧峰等［7］通過不同預(yù)測模型計算結(jié)果與實際工程檢測數(shù)據(jù)對比，發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果與實際工程測試結(jié)果差異普遍在30%～50%左右，且不同模型的適用條件也不同，如張譽(yù)模型計算粉煤灰混凝土碳化深度的精度較高，而牛荻濤模型計算普通水泥混凝土碳化深度的精度較高，模型的選擇對評估結(jié)果的精度影響顯著。

對一個既有結(jié)構(gòu)，其各種因素對碳化的影響都已定型，理論上可依據(jù)碳化深度實測值確定碳化的概率模型，但碳化檢測是有損檢測，實際工程檢測中樣本數(shù)量受到限制而缺乏足夠的代表性，單依靠小樣本檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行碳化可靠性分析可能導(dǎo)致統(tǒng)計不確定性太大［8］，且當(dāng)前工程檢測中常用測量碳化深度的酚酞指示劑測試法易受外界因素影響，精度不高。貝葉斯方法可以綜合數(shù)學(xué)預(yù)測模型的先驗信息和現(xiàn)場檢測的自然信息，更新預(yù)測模型，提高預(yù)測的精度。衛(wèi)軍等［8］利用檢測數(shù)據(jù)對混凝土模型和鋼筋銹蝕模型的參數(shù)進(jìn)行了更新，并利用更新后的參數(shù)計算結(jié)構(gòu)的可靠度；Caspeele等［9］應(yīng)用貝葉斯方法將文獻(xiàn)資料信息和少量試驗資料結(jié)合，提高混凝土抗壓強(qiáng)度的統(tǒng)計分布精度；Hyun等［10］應(yīng)用貝葉斯方法將驗證荷載引入樁基的可靠性設(shè)計；吳本英等［11］采用貝葉斯理論結(jié)合模型信息和檢測信息，對碳化深度預(yù)測模型的參數(shù)進(jìn)行更新，更新后的模型預(yù)測精度提高，同時發(fā)現(xiàn)如果模型選擇恰當(dāng)，更新后結(jié)果與實際工程吻合良好，如果模型選擇不當(dāng)，更新后的預(yù)測結(jié)果仍不理想。

筆者提出一個預(yù)測混凝土碳化深度的兩層次貝葉斯更新模型，將碳化預(yù)測模型的均值和方差均看做隨機(jī)變量，首先選擇幾個模型作為先驗?zāi)Ｐ筒ζ淦骄x以權(quán)重，然后應(yīng)用檢測信息，對模型的分布參數(shù)和模型權(quán)重進(jìn)行更新，最后用更新后的模型參數(shù)和權(quán)重預(yù)測混凝土碳化深度。

1 雙層貝葉斯更新模型

1.1 預(yù)測模型分布參數(shù)的貝葉斯更新

已有研究成果證明，混凝土的碳化深度x較好地服從正態(tài)分布N（μ，σ2），由于存在主觀不確定性，預(yù)測模型中碳化深度x的均值μ和方差σ2均應(yīng)為隨機(jī)變量，在對具體工程的碳化深度檢測前，對均值μ和方差σ2的認(rèn)識來自經(jīng)驗和已有研究成果（模型），這種認(rèn)識叫做先驗信息［1，12－13］。

采用共軛分布確定碳化深度x的均值μ和方差σ2的先驗分布和后驗分布［14］，當(dāng)σ2已知時，均值μ符合正態(tài)分布：

方差σ2服從倒伽馬分布：

均值μ和方差σ2的共軛先驗分布為：

式中：k0、υ0、σ0和μ0為超參數(shù)［14］，可根據(jù)先驗矩法、先驗分位數(shù)等方法確定。均值μ和方差σ2的先驗分布反映過去的研究成果對事物的認(rèn)識，混凝土結(jié)構(gòu)運營一段時間，通過檢測獲得一個碳化深度的樣本x1，x2，…，xn后，對均值μ和方差σ2有了新的認(rèn)識。樣本x1，x2，…，xn的聯(lián)合密度函數(shù)可表示為：

均值μ和方差σ2的后驗分布為［14］：

式中：

后驗分布與先驗分布形式上相同，只是以μn、υn、kn和υnσ代替μ0、υ0、k0和υ0σ。后驗均值μn是先驗均值μ0和檢測均值ˉx的加權(quán)平均值。k0的含義：先驗信息相當(dāng)于“k0個樣本”所提供的信息，kn＝k0＋n相當(dāng)于先驗信息和后驗信息的“總樣本容量”。后驗自由度υn是先驗自由度加樣本容量。

1.2 模型不定性的貝葉斯更新

假如有m個模型可以預(yù)測事件X的結(jié)果，但不知哪一個模型是最合理的，即m個模型都有可能是合理的，則事件X發(fā)生的概率可表示為：

式中：P（Mi）是模型的權(quán)重，滿足不知哪個模型最合理時，可取相同的概率，即P（Mi）＝P（Mj）。θi＝ ｛θi1，θi2，…，θin｝表示模型 Mi的分布參數(shù)向量；π（θi｜Mi）表示模型Mi中參數(shù)θi的先驗分布；P（X｜θi，Mi）是事件X 對（Mi，θi）的條件分布。

模型Mi與分布參數(shù)θi的先驗分布π（Hi）為：

當(dāng)獲得了X的觀測數(shù)據(jù)x后，可根據(jù)貝葉斯原理給出Hi的后驗分布：

將式（12）兩邊對θi積分，可得Mi的后驗分布：

當(dāng)有多個觀測值時，P（x｜Hi）即樣本x的聯(lián)合概率密度函數(shù)。式（12）除以式（13），可得θi的后驗分布：

則X的后驗分布可表示為

在沒有獲得檢測數(shù)據(jù)前，應(yīng)用貝葉斯先驗?zāi)Ｐ褪剑?0）預(yù)測碳化深度值；當(dāng)獲得檢測數(shù)據(jù)后，應(yīng)用貝葉斯后驗?zāi)Ｐ褪剑?5）預(yù)測碳化深度值。隨著服役期增長，檢測數(shù)據(jù)增多，可以不斷對碳化深度預(yù)測模型進(jìn)行貝葉斯更新，提高預(yù)測精度。

2 算例

張令茂［15］做了一個10a期的室內(nèi)暴露碳化試驗，采用425＃普通水泥（含15%摻合料），室溫20℃，CO2的體積分?jǐn)?shù)為340×106，相對濕度70%，其中10號試件摻加30%粉煤灰。檢測了0.5、1、2、5和10a的碳化深度資料，如表1所示。

表1 試驗數(shù)據(jù)

試驗結(jié)果和牛荻濤模型、張譽(yù)模型和Hakkinen模型的計算結(jié)果對比見圖1。對1號試件，牛荻濤模型與檢測結(jié)果最接近，誤差在30%左右，Hakkinen模型與試驗結(jié)果相差最大，誤差接近100%；對10號試件，Hakkinen模型吻合最好，誤差小于15%，牛荻濤模型誤差最大，超過100%。

圖1 碳化模型計算結(jié)果與試驗結(jié)果對比

取碳化系數(shù)為統(tǒng)計量，牛荻濤模型［1］是隨機(jī)模型，可計算標(biāo)準(zhǔn)差，張譽(yù)模型［2］和 Hakkinen［3］模型是確定型模型，取與牛荻濤模型相同的離散系數(shù)作為先驗信息。由于文獻(xiàn)［15］只給出了5次碳化深度實測值，假設(shè)實測是3個試件均值，總共測試15個試件，根據(jù)統(tǒng)計理論計算出1號試件和10號試件的實測均值和方差。

貝葉斯更新后的模型權(quán)重見表2。對1號試件，牛荻濤模型吻合最好，更新后牛荻濤模型權(quán)重最大，而Hakkinen的權(quán)重更新后接近0。而10號試件，Hakkinen模型吻合最好，更新后的權(quán)重也最高。碳化系數(shù)的密度曲線見圖2，先驗分布是3個模型的平均值，試驗數(shù)據(jù)曲線是5次檢測總樣本曲線。隨著更新次數(shù)增多，樣本量增大，模型計算的碳化系數(shù)中值逐步接近實測值，標(biāo)準(zhǔn)差也逐步接近真實標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)實驗樣本無限大時，貝葉斯更新的概率密度曲線與真實概率密度曲線重合。圖3為更新后碳化深度預(yù)測值，更新次數(shù)越多，結(jié)果越精確，更新后的預(yù)測結(jié)果精度高于單一模型預(yù)測精度。

表2 各種模型的先驗與后驗權(quán)重

圖2 碳化系數(shù)的先驗與后驗分布

3 結(jié) 語

圖3 碳化深度均值的貝葉斯更新

通過貝葉斯方法，將小樣本工程檢測數(shù)據(jù)與現(xiàn)有碳化預(yù)測模型結(jié)合，對模型的選擇和模型參數(shù)的取值進(jìn)行更新，有效降低模型選擇和模型參數(shù)的主觀不定性和隨機(jī)性。本方法尤其適用于存在多個結(jié)果差異較大的預(yù)測模型情形，采用本方法，僅應(yīng)用少量檢測數(shù)據(jù)即可獲得更合理的結(jié)果，如在工程結(jié)構(gòu)生命期內(nèi)定期檢測，可實現(xiàn)貝葉斯動態(tài)信息更新，使預(yù)測結(jié)果更加接近工程結(jié)構(gòu)的實際情況。

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