劉德友，牛九肖

（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島066004）

常見的二次規(guī)劃問(wèn)題

其中：x∈Rn是決策變量；c∈Rn；Ω∈Rm是閉的凸集.約束二次規(guī)劃已經(jīng)應(yīng)用于許多科學(xué)和工程領(lǐng)域，如回歸分析、信號(hào)和圖像的處理、制造業(yè)、優(yōu)化控制和模式識(shí)別等.在過(guò)去的十年里，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被認(rèn)為是解決二次規(guī)劃問(wèn)題的一種最有前景的方法［1-5］.目前，已經(jīng)有一些投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)解決了二次優(yōu)化問(wèn)題.然而，以往所研究的二次規(guī)劃僅僅停留在凸二次規(guī)劃上，即矩陣Q為正定或者半正定的［6-7］，而在許多情況下，二次規(guī)劃并不是凸的，也就是說(shuō)矩陣Q可能不是正定或半正定的.此外，在許多實(shí)際應(yīng)用中，最優(yōu)化問(wèn)題還有一個(gè)自然時(shí)變亟待解決，時(shí)間延時(shí)可能導(dǎo)致震動(dòng)現(xiàn)象或者網(wǎng)絡(luò)的不穩(wěn)定.本文研究一類新的二次規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)解的穩(wěn)定性，推廣了以往所研究的凸二次規(guī)劃問(wèn)題，

1 模型的提出

所研究的二次規(guī)劃問(wèn)題為

式（1）中：x∈Rn是決策變量；Q∈Rn×n是亞（半）正定矩陣；c∈Rn；Ω∈Rm是閉的凸集.

為了方便討論，給出亞（半）正定矩陣的定義.

式（10）中：τ≥0是時(shí)間延遲；φ（t）在［-τ，0］上是連續(xù)的.

顯然，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式（10）的平衡點(diǎn)和二次規(guī)劃問(wèn)題（1）的解是一致的.因此，時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在其平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，那么網(wǎng)絡(luò)的輸出就是式（1）的解.

下面給出一些相關(guān)的定義和引理.

引理1Q為對(duì)稱的亞正定矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)Q為正定矩陣.

由此可見，以前所研究的嚴(yán)格凸的二次規(guī)劃是本文所研究二次規(guī)劃的一種特例.

2 穩(wěn)定性分析

根據(jù)引理2可以得到‖x（t）‖≤（（1＋τ）‖φ‖＋β1‖x＊‖T）exp（β1t），t∈［0，T］.所以，x（t）在［0，T］上是有界的.根據(jù)引理4，式（10）在區(qū)間［0，＋∞）上存在一個(gè)連續(xù)解x（t）.

定理2 時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（10）全局漸近穩(wěn)定于二次優(yōu)化（1）的解，當(dāng)矩陣Q是一個(gè)亞（半）正定矩陣.

證明 假設(shè)x＊是（10）的平衡點(diǎn)，考慮如下的李亞普諾夫函數(shù)

3 數(shù)值舉例

例1 考慮如下二次規(guī)劃問(wèn)題

利用5個(gè)初始值來(lái)測(cè)驗(yàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，所有的結(jié)果顯示出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂到問(wèn)題的最優(yōu)解，仿真結(jié)果如圖1所示.對(duì)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和非時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如圖2所示.

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真結(jié)果Fig.1 Simulation results of the neural network

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軌跡對(duì)比Fig.2 Comparison of the trajectory of neural network

例2 考慮如下二次規(guī)劃問(wèn)題：

令時(shí)間延遲t＝0.25，根據(jù)定理3，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（10）的平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，并且收斂于二次規(guī)劃的最優(yōu)解x＊.因此，利用7個(gè)初始值來(lái)測(cè)驗(yàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，所有的結(jié)果顯示出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂到問(wèn)題的最優(yōu)解，其仿真結(jié)果如圖3所示.相應(yīng)的，對(duì)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和非時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖4所示.

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of the neural network

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軌跡對(duì)比Fig.4 Comparison of the trajectory of neural network

4 結(jié)論

研究一種新的二次規(guī)劃最優(yōu)解的穩(wěn)定性，是對(duì)以前凸規(guī)劃的進(jìn)一步深入推廣，給出了解決此類問(wèn)題的投影時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，以及鞍點(diǎn)定理與最優(yōu)解的關(guān)系.同時(shí)，文中給出了判定平衡點(diǎn)全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，并借助李亞普諾夫函數(shù)給出系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的新的充分條件.最后，用數(shù)值舉例說(shuō)明了所給系統(tǒng)的有效性.

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