方少麟，李建華，黃 瑩，邱 偉，桑天松

（1.西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，西安710049；2.南方電網(wǎng)科學(xué)研究院，廣州510080）

變壓器是電力系統(tǒng)中的重要元件之一，諧波下其數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確程度直接影響到電力系統(tǒng)諧波分析與計(jì)算的準(zhǔn)確性。雖然工頻下已有公認(rèn)的變壓器模型，但隨著頻率的升高，這些模型將不再適用，因此，尋求準(zhǔn)確的變壓器諧波模型對(duì)于諧波研究有著重要的意義。

在對(duì)電網(wǎng)進(jìn)行諧波潮流計(jì)算或諧波阻抗計(jì)算時(shí)，往往只給出各變壓器在基波下的電抗與電阻，如何利用基波下的阻抗值合理地表示諧波下變壓器的特性，是諧波下變壓器建模的關(guān)鍵。

工頻下的變壓器模型，一般不考慮勵(lì)磁支路的影響，直接將變壓器繞線電阻與漏抗串聯(lián)來表示變壓器模型。但隨著頻率的升高，鐵心中的渦流損耗及其他附加損耗增加，勵(lì)磁支路的影響將不能忽略[1]。諧波分析中，一般也采用繞線電阻與漏抗串聯(lián)的變壓器模型，但為了考慮導(dǎo)線集膚效應(yīng)或鐵心損耗的影響，模型中的串聯(lián)電阻將是頻率的函數(shù)[2～5]；也有學(xué)者提出采用電阻與漏抗并聯(lián)來建立變壓器的諧波模型[5，6]。這些模型在頻率特性上差別很大，但目前用于系統(tǒng)諧波分析與計(jì)算方面的變壓器諧波模型的理論性研究不夠，相關(guān)文獻(xiàn)中并沒給出各模型的適用條件。

國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)變壓器諧波模型的建立提出了相應(yīng)的方法。文獻(xiàn)[7-9]分別論述了各自方法的優(yōu)缺點(diǎn)，但可看出變壓器諧波電阻隨頻率的升高顯著升高，電感隨頻率的升高逐漸下降的特性。文獻(xiàn)[10]采用指數(shù)與多項(xiàng)式的表達(dá)式來表述換流變壓器諧波阻抗與基波阻抗的關(guān)系，有一定的指導(dǎo)意義，但由于其研究對(duì)象為換流變壓器，未必適用于普通電力變壓器，因此需對(duì)電力變壓器進(jìn)行進(jìn)一步研究。文獻(xiàn)[11]對(duì)于變壓器在諧波下的有功損耗和漏磁場的磁效應(yīng)進(jìn)行了深入研究，并得到較為適用的損耗估算方法。在某頻率下，變壓器整體消耗的有功功率對(duì)應(yīng)于在該頻率下變壓器的等效電阻。文獻(xiàn)[12]采用該方法計(jì)算了變壓器的渦流損耗，與測量結(jié)果基本相符，證實(shí)了該方法的準(zhǔn)確性。本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，提出考慮諧波下變壓器各部分鐵耗和銅耗對(duì)應(yīng)其諧波有效電阻的方法來建立變壓器諧波模型，并以此作為變壓器諧波模型的參考模型；對(duì)常用的六種變壓器諧波模型進(jìn)行理論分析，得到最合理的諧波模型；并對(duì)兩類變壓器實(shí)例進(jìn)行計(jì)算，將常用模型與參考模型進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證目前常用變壓器諧波模型的適用性。

1 變壓器頻率特性

在某特定頻率下，變壓器所消耗的有功功率，為其相應(yīng)頻率等效電阻上消耗的有功功率。因此，通過計(jì)算不同頻率下變壓器的有功功率損耗，即可求出變壓器的諧波等效電阻。

變壓器的諧波損耗主要由鐵耗和銅耗兩部分組成。鐵耗與頻率存在著較大關(guān)系，因此在建立諧波模型時(shí)，應(yīng)充分考慮到鐵耗的影響。鐵耗主要由磁滯損耗、渦流損耗和鐵心附加損耗三部分組成。其中，磁滯損耗與頻率成正比，渦流損耗與頻率平方成正比，這兩部分是由硅鋼片材料決定。鐵心附加損耗由設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)及加工等原因引起，可引進(jìn)一個(gè)附加系數(shù)來考慮附加損耗。在基波工作條件下，頻率相對(duì)較低，變壓器銅耗占有功損耗的主要部分。但在諧波分析時(shí)，由于頻率逐漸提高，導(dǎo)線內(nèi)部電流的不均勻分布和去磁作用的影響越來越顯著，在建立變壓器模型時(shí)，也應(yīng)予以考慮。

按什捷因麥茨公式[11]，可計(jì)算出磁滯損耗和渦流損耗，其表達(dá)式為

式中：PH為磁滯損耗；PE為渦流損耗；f 為電壓的頻率；Bm為磁通密度幅值；t 為矽鋼片厚度；k1和k2取決于矽鋼的特性。

當(dāng)外施電源頻率提高時(shí)，矽鋼片中渦流的去磁效應(yīng)會(huì)顯現(xiàn)出來，即矽鋼片中部的磁通被排擠到邊緣，這種現(xiàn)象也稱作磁通的排擠效應(yīng)。渦流的去磁效應(yīng)使得渦流損耗降低的數(shù)值是矽鋼片厚度、頻率、鋼片磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率的函數(shù)[11]，即

式中：f 為頻率；μ 為磁導(dǎo)率；γ 為電導(dǎo)率。

漏磁通在變壓器的油箱壁、壓板、夾件和其它大質(zhì)量的鐵磁介質(zhì)零件里產(chǎn)生渦流損耗和磁滯損耗，其中渦流損耗起決定性作用。對(duì)于變壓器所有結(jié)構(gòu)元件里的渦流損耗之和的計(jì)算，一直沿用公式[11]為

式中：hT為線圈高度；f 為電壓的頻率；xM%為變壓器短路感抗的相對(duì)值；Φ 為每柱磁通；∏σ為油箱周長；K 為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)；r1為漏磁通主空道的平均半徑；r2為油箱的平均半徑。

由式（3）可以看出，漏磁場引起的有功損耗與頻率成正比。

變壓器的漏磁場在線圈導(dǎo)線里感應(yīng)出電動(dòng)勢，在此電動(dòng)勢作用下將產(chǎn)生電流。即在線圈導(dǎo)線里除了存在負(fù)載電流之外，還存在著漏磁場所引起的電流，這個(gè)電流在各導(dǎo)線內(nèi)部閉合，與負(fù)載電流不同，它并不流出線圈以外去。這就使得電流密度沿線圈導(dǎo)線橫截面的分布以及各并聯(lián)導(dǎo)線間的電流分布變得不均勻，這種現(xiàn)象也稱作電流的排擠效應(yīng)。這些電流建立自身的磁場，削弱變壓器的漏磁場，即存在一定的去磁作用。

由于以上原因，隨頻率的增加，線圈的實(shí)際電阻比通過直流電流時(shí)的電阻大為增加，用系數(shù)kr表示實(shí)際電阻與直流電阻之比；這些電流產(chǎn)生的磁場能大大削弱線圈所在空間的漏磁場，使線圈感抗減小，用系數(shù)kx表示考慮去磁作用后的漏抗與不考慮去磁作用漏抗之比。電阻增大及電感減小的系數(shù)計(jì)算式[11]為

式中：nb為徑向方向?qū)Ь€根數(shù)，kr>1，kx<1。

由于載流導(dǎo)體并沒有占據(jù)線圈高度上的全部空間，以β1表示載流導(dǎo)體占據(jù)的實(shí)際高度與線圈高度之比；b 為導(dǎo)體的輻向尺寸。

綜上所述，在諧波分析時(shí)，變壓器模型的諧波電阻需要考慮以上各種變壓器損耗的影響。包括鐵心磁滯損耗、鐵心渦流損耗、鐵心附加損耗、繞組負(fù)載電流引起的損耗、漏磁場在導(dǎo)線內(nèi)引起的渦流損耗以及在結(jié)構(gòu)元件中引起的渦流損耗。諧波電抗需要考慮到導(dǎo)線中渦流的去磁作用。在以上分析的基礎(chǔ)上，本文提出一種較為全面的變壓器諧波模型，由電阻與電抗串聯(lián)組成，電阻和電抗表達(dá)式分別為

式中：h 為諧波次數(shù)；R1為一次側(cè)繞組直流電阻；R2為二次側(cè)繞組直流電阻；Rst為結(jié)構(gòu)元件鐵耗等效電阻，可根據(jù)式（3）工頻下的有功損耗來計(jì)算；RH為磁滯損耗等效電阻，可根據(jù)式（1）工頻下的磁滯損耗來計(jì)算；RE為渦流損耗等效電阻，可根據(jù)式（1）工頻下的渦流損耗來計(jì)算；kad為附加損耗系數(shù)，表示鐵心附加損耗，這里取1.25；X1為一次側(cè)繞組漏抗；X2為二次側(cè)繞組漏抗；kr1為一次側(cè)繞組電阻排擠系數(shù)，kr2為二次側(cè)繞組電阻排擠系數(shù)，kr1和kr2由式（4）來計(jì)算，表示繞組導(dǎo)線內(nèi)電流不均勻分布而引起交流電阻增大的系數(shù)；kx1為一次側(cè)繞組電抗排擠系數(shù)，kx2為二次側(cè)繞組電抗排擠系數(shù)，kx1和kx2由式（5）來計(jì)算，表示漏磁場在繞組導(dǎo)線內(nèi)感生的渦流存在去磁作用而引起漏感減小的系數(shù)；ξ 為鐵心去磁系數(shù)，由式（2）來計(jì)算，表示鐵心中渦流的去磁效應(yīng)使得渦流損耗減小的系數(shù)。

上述分析可知，針對(duì)電力系統(tǒng)的諧波分析與計(jì)算，本文提出的變壓器諧波模型，比其他常用變壓器諧波模型包含了更全面的影響因素，考慮了多種與變壓器諧波參數(shù)相對(duì)應(yīng)的有功損耗以及鐵心和繞組渦流的去磁效應(yīng)，理論上更為準(zhǔn)確。但該模型要求已知過多的變壓器參數(shù)，而且其中的部分參數(shù)不易獲得。因此該方法只適于理論分析及已獲得大量信息的特定變壓器的諧波建模，而不適用于對(duì)大量不同類型變壓器的諧波建模。故這里將該變壓器諧波模型作為理想的參考模型，以此檢驗(yàn)?zāi)壳俺Ｓ米儔浩髦C波模型的適用性。

2 常用變壓器諧波模型分析

在進(jìn)行電網(wǎng)諧波計(jì)算時(shí)，通常只了解各個(gè)變壓器的部分信息，比如工頻阻抗，難以通過上述方法進(jìn)行變壓器建模，為了進(jìn)行諧波計(jì)算，通常只能根據(jù)基頻下的部分參數(shù)（如電阻、電抗和功率）來進(jìn)行建模。目前常用的變壓器模型如下。

模型1 變壓器電阻與頻率的平方根成正比[3]

模型2 變壓器電阻與頻率成正比[4]

模型3 變壓器諧波損耗的增量與頻率的1.5次方成正比[1]

由于變壓器損耗與頻率存在著復(fù)雜的關(guān)系，以上三種表述均不夠準(zhǔn)確，并沒有充分考慮到鐵心損耗的影響。在低頻下差別雖然很小，但隨著頻率的升高，差距會(huì)明顯增大。

模型4 引入磁滯渦流系數(shù)J 來考慮鐵耗影響[5]

其中J 為磁滯渦流損耗，對(duì)硅鋼取3，k=1/（J+1）

前四種模型都沒有考慮到隨著頻率增加，導(dǎo)線內(nèi)感生渦流的去磁作用使得漏感減小的影響。

模型5 等值電路如圖1 所示[5]。

模型6 等值電路如圖2 所示[6]。

X 為50 Hz 時(shí)的變壓器漏抗，Rp和Rs不隨頻率的變化而變化，其中：

模型5 和模型6 中，都含有電阻與電抗并聯(lián)的部分。

對(duì)于模型5

對(duì)于模型6

繞組導(dǎo)線中占主導(dǎo)作用的渦流損耗都近似與頻率的平方成正比，因此可用模型5 中h2X/80 和模型6 中h2X/10tan φ 表示這部分損耗。電抗與頻率成正比，因此用jhX 表示電抗，但隨著頻率的升高，繞組導(dǎo)線和鐵心中渦流都會(huì)起到去磁效應(yīng)，使得導(dǎo)線中的渦流損耗、鐵心中的渦流損耗和漏感出現(xiàn)一定程度的減小，模型5 和模型6 采用（1 +h2/6400）-1和（1+（h/10tan φ）2）-1來考慮去磁效應(yīng)，在頻率較低時(shí)，去磁效應(yīng)較弱，這兩項(xiàng)影響可忽略，但隨著頻率的升高，去磁效應(yīng)逐漸加強(qiáng)，這兩項(xiàng)才會(huì)體現(xiàn)出去磁的作用。在低頻下，繞組導(dǎo)線的歐姆損耗仍是總損耗的主導(dǎo)部分，模型5 中只計(jì)及了導(dǎo)線和鐵心的渦流損耗，沒考慮歐姆損耗，因此在低頻時(shí)，模型5 的電阻值應(yīng)呈現(xiàn)出偏小的趨勢。而模型6 中則通過串聯(lián)一個(gè)電阻來表示導(dǎo)線繞組的歐姆電阻，而且根據(jù)不同容量的變壓器，其采用不同阻抗角來計(jì)算導(dǎo)線阻抗，更為合理。

3 模型驗(yàn)證

推薦模型的計(jì)算需負(fù)載損耗、空載損耗、結(jié)構(gòu)件損耗和繞組導(dǎo)線規(guī)格等參數(shù)，在電力系統(tǒng)諧波分析及計(jì)算時(shí)，常采用電網(wǎng)潮流計(jì)算數(shù)據(jù)，因此上述參數(shù)難以獲得。因此采用推薦模型作為參考模型，以此來研究六種常用模型的適用性。本文以SF9-25000/110 型變壓器和SZ9-3150/35 型變壓器為例，來驗(yàn)證以上六種常用變壓器諧波模型的適用性，兩種變壓器的技術(shù)參數(shù)如表1[13]所示。以式（6）和（7）為參考模型，將六種模型共同繪制出其頻率特性曲線，并與參考模型的頻率特性進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算頻率為電網(wǎng)諧波分析常關(guān)注的頻率區(qū)間50 Hz～2500 Hz，計(jì)算結(jié)果如圖3～圖8 所示。

從圖3～圖8 中的實(shí)線為本文提出的變壓器諧波參考模型的計(jì)算結(jié)果，該模型由于考慮了變壓器各部分的鐵耗和銅耗，同時(shí)考慮了繞組導(dǎo)線內(nèi)渦流的去磁效應(yīng)，因此更為接近于變壓器在諧波下運(yùn)行的實(shí)際情況。這里將該參考模型作為基準(zhǔn)，其它六種常用模型與該參考模型進(jìn)行對(duì)比，以檢驗(yàn)其適用性。由參考模型的計(jì)算結(jié)果可知，隨著頻率的升高，由于鐵耗和銅耗的存在，會(huì)使得變壓器諧波等效電阻顯著增加，由于繞組導(dǎo)線中渦流的去磁作用，漏感也會(huì)顯著地減小，因此在建立變壓器諧波模型時(shí)，有必要考慮這兩個(gè)因素。

表1 變壓器技術(shù)數(shù)據(jù)Tab.1 Technique data of transformer

由圖3 和圖6 可知，模型1、模型2 和模型3，其電阻的頻率特性曲線遠(yuǎn)小于參考模型電阻的頻率特性曲線，由前面分析可知，變壓器諧波模型1和模型3 只在工頻附近與參考模型比較接近；模型2 在300 Hz 以下時(shí)與參考模型比較接近。隨著頻率的升高，前三種模型的計(jì)算結(jié)果與參考模型之間的偏差越來越顯著，這是由于沒有充分考慮鐵芯和繞組導(dǎo)線中渦流損耗影響所致，不夠準(zhǔn)確。

由圖4 和圖7 可知，模型4 雖然考慮鐵耗的影響，但其并沒有區(qū)分鐵耗中渦流損耗和磁滯損耗與頻率呈不同的函數(shù)關(guān)系，將鐵芯磁滯損耗和渦流損耗一起當(dāng)作與頻率的平方成正比進(jìn)行處理，而且對(duì)于渦流損耗，也沒考慮去磁作用。在300 Hz 以下，由于渦流損耗的作用還不明顯，因此模型4 與參考模型較接近。隨頻率的升高，其電阻值增長較快，在2500 Hz 時(shí)，為參考模型阻值的2～3 倍。模型5 與模型6，與前文理論分析的結(jié)果相同，由于考慮了變壓器繞組導(dǎo)線和鐵芯中占主導(dǎo)作用的渦流損耗，同時(shí)還考慮到了渦流去磁效應(yīng)的作用，其阻值與參考模型得到的阻值比較接近。

對(duì)于SF9-25000/110 和SZ9-3150/35 兩種型號(hào)的變壓器，低頻時(shí)，模型5 沒有考慮繞組導(dǎo)線的直流電阻，存在一定誤差，工頻時(shí)其電阻僅為參考模型電阻的0.09～0.2 倍；模型6 的計(jì)算結(jié)果，更接近于參考模型，其電阻為參考模型的1.1～1.6 倍，這與前面的分析完全吻合，即模型6 中串聯(lián)電阻在低頻時(shí)能夠有效地模擬導(dǎo)線繞組的歐姆電阻，并且這部分電阻在低頻時(shí)占到了變壓器全部電阻的主要部分。在中、高頻時(shí)，模型5 的計(jì)算結(jié)果更接近于參考模型。

由圖5 和圖8 可知，由于參考模型考慮了繞組導(dǎo)線中渦流的去磁作用，因此在高頻時(shí)，會(huì)呈現(xiàn)漏感顯著下降的趨勢。在500 Hz 以下，繞組導(dǎo)線內(nèi)渦流的去磁作用非常小，可以忽略不計(jì)；在500 Hz～1 000 Hz 之間，去磁作用逐漸顯現(xiàn)，使得漏感略微減?。辉? 000 Hz 以上時(shí)，去磁作用愈發(fā)顯著，必須要考慮去磁的作用。模型1、模型2、模型3 和模型4，其電抗與頻率呈現(xiàn)嚴(yán)格的線性關(guān)系，并沒有考慮到頻率升高時(shí)，導(dǎo)線中渦流的去磁作用。而模型5 和模型6 中，考慮導(dǎo)線中渦流的去磁效應(yīng)，因此其漏電感隨著頻率的升高，出現(xiàn)逐漸下降的趨勢，在一定程度上反映了渦流的去磁效應(yīng)。

由于本文提出的變壓器諧波模型是基于功率與電阻等效關(guān)系的理論公式，其計(jì)算結(jié)果與變壓器實(shí)際情況可能存在一定誤差，但隨著頻率升高，變壓器等效電阻顯著增加，等效電抗逐漸減小的趨勢與實(shí)際情況應(yīng)是相符的。模型5 和模型6 在50 Hz～2 500 Hz 頻率區(qū)間內(nèi)，其反映出電阻增大與電抗減小的趨勢與參考模型相一致，因此模型5與模型6 都可較為準(zhǔn)確地模擬變壓器的諧波特性。相比，模型6 在低頻時(shí)更準(zhǔn)確，而模型5 在本文所采用的兩個(gè)變壓器算例中，在高頻時(shí)更準(zhǔn)確。在300 Hz 以下時(shí)，由于鐵耗的作用和導(dǎo)線內(nèi)渦流的去磁效應(yīng)還不夠明顯，也可用模型2 和模型4來模擬變壓器的諧波特性。而模型1 和模型3，只適用于100 Hz 以下的變壓器諧波建模。但隨著頻率的升高，前四種變壓器諧波模型不再適用。

4 結(jié)語

本文根據(jù)變壓器在某特定頻率下所消耗的有功功率來計(jì)算諧波等效電阻，根據(jù)漏磁場的去磁效應(yīng)，計(jì)算諧波等效電抗，以此提出一種變壓器諧波模型。該模型需較多變壓器結(jié)構(gòu)參數(shù)，不易獲得，因此難以在工程上使用，但可作為參考模型檢驗(yàn)其它變壓器諧波模型的適用性。本文分析了六種常用變壓器諧波模型的特點(diǎn)及合理性。指出模型5 和模型6 由于考慮了導(dǎo)線的渦流損耗、電流排擠效應(yīng)、鐵心損耗及渦流的去磁效應(yīng)，因此更準(zhǔn)確。二者相比，模型6 考慮了基波的銅耗，因此在低頻時(shí)更準(zhǔn)確。通過對(duì)兩種類型變壓器實(shí)例計(jì)算，進(jìn)行了模型驗(yàn)證，計(jì)算頻率區(qū)間為50 Hz～2 500 Hz，其計(jì)算結(jié)果與理論分析一致，模型5 和模型6 與參考模型更接近。因此，在電網(wǎng)諧波分析與計(jì)算中，可采用模型5 和模型6 來模擬變壓器諧波模型。

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