包浩杉，林亮倫

(1重慶市設計院，重慶 400015；2重慶市建筑科學研究院，重慶 400020)

細長柱考慮二階效應的設計計算方法

包浩杉1，林亮倫2

(1重慶市設計院，重慶 400015；2重慶市建筑科學研究院，重慶 400020)

細長柱的二階效應在結構設計中容易被忽略。該文通過對“虛柱法”理論的闡述，總結出細長柱可根據“虛柱法”來計算二階效應：由于細長柱的二階效應與構件側向荷載無關，故只需要輸入構件軸向壓力來得到二階效應的剛度，并疊加單元力學屬性的剛度，就可以得到考慮二階效應的細長柱內力計算方法。最后通過Sap2000算例得到驗證。

細長柱；二階效應；虛柱法；結構設計

在結構設計中，側向變形會引起結構的附加內力，因此，我國規(guī)范針對重力二階效應（P-△效應）作出了相應規(guī)定，在《建筑抗震設計規(guī)范》（GB50011-2010）、《高層建筑混凝土結構技術規(guī)范》（JGJ3-2010）等中有針對結構整體P-△效應的計算方法及限值，在 《混凝土結構設計規(guī)范》（GB50010-2010）中有針對偏壓構件二階效應的計算方法。一般來說，我們主要針對結構整體進行二階效應的計算分析，如果達到了規(guī)范限值，則可以忽略重力二階效應給結構帶來的附加內力。即結構剛度足夠大，就可以忽略整體二階效應帶來的附加內力。但在該類結構中，有可能存在長度較長的偏壓細長柱，忽略二階效應將為細長柱設計帶來安全隱患。

目前，根據《混凝土結構設計規(guī)范》（GB50010-2010）[1]附錄B的計算方法，我國對偏壓構件二階效應主要采取近似的增大系數法進行計算設計，其中增大系數具有一定的經驗性，且手工計算量較大。當然，針對二階效應的分析計算，也可采取非線性分析的方法，但是非線性分析需要更多的時間和計算工作，也不符合我國主要采取多遇地震下的彈性分析結果進行結構設計的現(xiàn)狀。因此，細長柱考慮二階效應的分析設計，需要有較小的計算量、并可根據多遇地震下的振型分解反應譜法計算結果來進行分析的計算手段。

1 計算理論

Edward·L·Wilson在《結構靜力與動力分析》[2]中，非常詳細清晰地介紹了“虛柱法”的理論[3]。

圖1 索單元二階效應計算理論圖

由圖1，易得側向力Fi、Fj的計算方法：

或者用符號可表示為FG=κGv。事實上，κG即為索單元二階效應的“側向剛度”。

同理可得，梁單元由物理屬性得到剛度矩陣為κE（忽略剪切變形）：

梁單元二階效應的“側向剛度”κG：

則梁單元總剛度矩陣為κT=κE+κG。即根據總剛度矩陣計算得到的梁單元內力，則是考慮了二階效應的構件內力。

采用“虛柱法”進行細長柱的二階效應分析有極大的便利性，因為該方法中，二階效應的側向剛度只與構件的軸向荷載相關，與構件的側向荷載無關；同時該計算方法為線性計算方法，不需要進行迭代，并且理論上已具有很高的精度。該計算方法在已經應用到常用結構設計軟件Sap2000與ETABS中。

2 計算方法

根據之前所述，如果需要計算單構件考慮二階效應的內力，只需要進行單構件的建模，并輸入P-△效應中的軸力P，以及構件兩端的相對位移、轉角即可?，F(xiàn)應用Sap2000計算某工程細長柱考慮二階效應的x向內力，舉例如下：

該工程細長柱尺寸1200x1200（mm），長27.2m，從基頂直接連接屋面，中間均無拉結。采取Sap2000建模，柱下端剛接、上端自由。如圖2。

在進行細長柱二階效應的計算時，已完成多遇地震下振興分解反應譜法的計算。建模時應根據CQC結果，輸入節(jié)點間的坐標或相對位移。本例細長柱在多遇地震CQC法下x方向柱間相對位移為40mm，底座標（mm）為（0，0，0），頂坐標為（40，0，27200）。柱頂荷載為5000kN，輸入在柱上節(jié)點?？紤]二階效應的軸力P取重力荷載代表值5000kN，在構件屬性中輸入，這樣就可以賦予構件包含二階效應的剛度矩陣。

為了對比，將具有P-△屬性的構件命名為柱A，沒有P-△屬性的構件為柱B、柱C。構件詳細屬性如表1。

圖2 Sap2000中細長柱計算模型

表1 柱A、B、C的構件屬性

計算結果如圖3。

圖3 柱A、柱B、柱C內力對比

從結果可以看出，柱A、B、C軸力相等，而考慮二階效應的柱A柱底彎矩（283.74kNm）、柱C柱底彎矩（289.94kNm）大于柱B（219.58kNm），符合構件考慮二階效應的內力規(guī)律；而采取“虛柱法”線性計算得到的柱A內力和采取非線性迭代得到的柱C內力基本一致，誤差在1%左右。同時，本次計算出的柱A內力為重力荷載代表值下、考慮二階效應的構件內力標準值，可以很方便地與其他工況進行荷載組合得到設計值。其他工況下的細長柱二階效應分析方法是相同的。

3 適用條件

“虛柱法”計算二階效必須以該細長柱不會發(fā)生屈曲為前提。根據歐拉公式計算本例的細長柱可得臨界壓力≈18200kN，若修改本例單元屬性P-△中的軸力P分別為18000kN和19000kN，柱頂軸力和其他條件均不變，分別進行計算可得構件彎矩如圖4。

可以得到，P=19000kN時，彎矩反向并大大增加，細長柱已經進入屈曲狀態(tài)，無法應用“虛柱法”計算構件二階效應，應增大構件剛度或減小長度。

4 結論

本文根據現(xiàn)有結構分析“虛柱法”理論，總結了細長柱二階效應的計算方法。該方法僅需要在Sap2000中建立單構件模型，根據多遇地震下的CQC結果輸入構件兩端節(jié)點相對位移（坐標）和轉角，并輸入重力荷載代表值下的軸力（其他工況也可）以賦予構件二階效應計算的剛度矩陣，即可計算出構件考慮二階效應的內力。該內力可以手工與其他工況下的內力標準值進行荷載組合來進行設計。

該設計方法不需要進行復雜的非線性分析或迭代計算，具有較高的精度，并且為多遇地震下的彈性分析設計方法，符合我國結構設計原則。但構件二階效應的內力不應大于臨界內力，否則無法進行計算。

圖4 P=18000kN和19000kN時柱彎矩圖

[1]中華人民共和國建設部.GB50010-2010混凝土結構設計規(guī)范[S].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2010.

[2]Edward.L.Wilson.結構靜力與動力分析 （第四版）[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2006.

[3]Emilio Rosenblueth．Slenderness Effects in Buildings [J]．Journal of the Structural Division，ASCE，1965(1)．

責任編輯：孫蘇

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（選自：重慶建設網）

Design and Calculation Method for Slender Column Considering Second Order Effect

The second order effect of slender column is easy to be overlooked in structural design.According to the elaboration on"deficiency column method",it is summarized that the second order effect of slender column can be calculated with deficiency column method.Because the second order effect of slender column has nothing to do with the lateral load of the component,the stiffness of the second order effect can be obtained by inputting the axial force of the component,and the internal force of slender column considering the second order effect can be gained by overlaying the stiffness of unit mechanics properties.It's proved through Sap2000.

slender column;second order effect;deficiency column method;structural design

TU3

：A

：1671-9107（2013）12-0050-03

2013-11-06

包浩杉（1986-），男，四川隆昌人，研究生，助理工程師，主要從事結構設計工作。

10.3969／j.issn.1671-9107.2013.12.050