龐壽全，劉永建，朱從旭

1.玉林師范學(xué)院 物理與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 玉林537000

2.玉林師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 玉林537000

3.中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，長沙410083

1 引言

混沌指在確定的非線性系統(tǒng)中，不需要附加任何隨機因素亦可出現(xiàn)的類似隨機行為。該現(xiàn)象普遍存在于自然之中，引起人們的廣泛關(guān)注；混沌的理論與應(yīng)用研究也已經(jīng)成為非線性科學(xué)最重要的前沿內(nèi)容之一。超混沌吸引子是指具有兩個或兩個以上的正Lyapunov 指數(shù)的混沌吸引子，其相軌較一般混沌吸引子而言，將在更多方向上分離，因而其混沌行為更為復(fù)雜。在連續(xù)的自治系統(tǒng)中，能夠出現(xiàn)混沌的非線性常微分方程的最低維數(shù)為三維，而包含超混沌吸引子的相空間維數(shù)至少是四維，需要用包含4個以上的一階耦合自治常微分方程描述，且引起系統(tǒng)不穩(wěn)定項的數(shù)量至少為兩個，常微分方程組中至少有一個非線性項[1]。 因此，超混沌系統(tǒng)無論在代數(shù)結(jié)構(gòu)還是動力學(xué)行為上都比通常的混沌系統(tǒng)更復(fù)雜。

在混沌保密通信中，利用混沌信號的類隨機性對有用信息進行加密，信息的保密程度與混沌模型的維數(shù)以及混沌信號的復(fù)雜程度有著直接的關(guān)系。己經(jīng)證明，用簡單的混沌系統(tǒng)加密信息并不安全[2]。因為信號一旦被截獲，便可通過非線性信號的處理技術(shù)對其破譯。然而高階超混沌系統(tǒng)能夠提供比通常混沌吸引子更為復(fù)雜的超混沌吸引子，因而具有更好的保密性[3-4]。同樣的道理，正是由于超混沌吸引子的動力學(xué)行為更難以預(yù)測，使得其在需要復(fù)雜混沌行為的其他工程領(lǐng)域，例如數(shù)字語音、激光和振蕩等各方面有著更為巨大的應(yīng)用潛力和更為廣泛的應(yīng)用前景。因而，對超混沌的機理和應(yīng)用研究成為了混沌學(xué)中的又一熱點。

在維數(shù)大于4 的連續(xù)自治系統(tǒng)中，混沌現(xiàn)象是比較容易產(chǎn)生的。對于高維（維數(shù)大于4）連續(xù)自治系統(tǒng)，使其具有兩個正的Lyapunov 指數(shù)也比較容易實現(xiàn)。常用的方法是把多個低維連續(xù)自治混沌系統(tǒng)耦合到一起形成超混沌系統(tǒng)[5]。比如，文獻[6]把兩個蔡式電路耦合產(chǎn)生超混沌；文獻[7]在兩個耦合的Rossler 混沌系統(tǒng)中實現(xiàn)了混沌到超混沌的轉(zhuǎn)換；還有耦合振蕩器產(chǎn)生的超混沌[8]，利用兩個非線性耦合的諧振電路實現(xiàn)的超混沌等等。但是，能夠產(chǎn)生超混沌的自治連續(xù)系統(tǒng)的最低維數(shù)是四維，因此對于四維連續(xù)自治超混沌系統(tǒng)的研究就具有特別的意義。據(jù)資料顯示，第一個超混沌連續(xù)系統(tǒng)是Rossler 在1979 年利用計算機仿真獲得的[9]。1986 年，Matsumoto 等人首次利用一個四階電子電路實現(xiàn)了超混沌實驗[10]。之后，研究人員使用不同的方法實現(xiàn)了一些超混沌系統(tǒng)，例如，利用一個四階自治電路與一個齊納二極管的連結(jié)來實現(xiàn)超混沌，利用耦合低維系統(tǒng)實現(xiàn)超混沌等。

Lorenz混沌系統(tǒng)作為第一個被提出的混沌系統(tǒng)模型[11]，已經(jīng)成為了混沌系統(tǒng)的典范，在混沌研究領(lǐng)域具有廣泛的普適意義。本文將在經(jīng)典Lorenz 混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過增加一個非線性控制器，構(gòu)建一個新的超混沌Lorenz 系統(tǒng)。數(shù)值分析結(jié)果表明，非線性控制器的增加，導(dǎo)致新系統(tǒng)的動力學(xué)行為更加復(fù)雜。同時，本文還設(shè)計了與該新超混沌系統(tǒng)相對應(yīng)的超混沌電路，通過示波器能很好地觀察到該電路的混沌吸引子相圖，實驗結(jié)果與系統(tǒng)的數(shù)值模擬結(jié)果基本吻合，進一步驗證了該超混沌Lorenz 系統(tǒng)的混沌行為。通過將新系統(tǒng)應(yīng)用于圖像加密實驗，表明了由該系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列具有良好的密碼學(xué)特性。

2 超混沌Lorenz系統(tǒng)的構(gòu)造

Lorenz 系統(tǒng)是Lorenz 于1963 年發(fā)現(xiàn)的首個具有混沌特性的三維自治系統(tǒng)，其狀態(tài)方程如下：

當參數(shù)a=10,b=8/2,c=28 時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，其吸引子在各平面的投影如圖1 所示。

要使系統(tǒng)產(chǎn)生超混沌吸引子，必須滿足以下條件：系統(tǒng)具有耗散結(jié)構(gòu)，方程的維數(shù)不少于4，系統(tǒng)至少有兩個增強不穩(wěn)定因素的方程且方程中至少含有一個非線性項。當保持系統(tǒng)（2）參數(shù)a、b、c 與系統(tǒng)（1）一致時，對系統(tǒng)進行全微分，不難得到：

?V ＜0，說明系統(tǒng)（2）滿足耗散結(jié)構(gòu)條件，將會產(chǎn)生混沌吸引子。當t →∞時，系統(tǒng)將以e-13.67t速率收斂，所有系統(tǒng)的軌線都被限制在一個體積為零的極限點集上。

3 超混沌Lorenz系統(tǒng)的動力學(xué)行為

為了研究系統(tǒng)的動力學(xué)行為隨控制參數(shù)k 的變化情況，保持參數(shù)a、b、c 的值與系統(tǒng)（1）一致，令k 在（0，17）區(qū)間變化，得到系統(tǒng)隨k 變化的分岔圖，如圖2 所示。 Xmax表示系統(tǒng)在每個不穩(wěn)定周期或穩(wěn)定周期中x 的峰值，當系統(tǒng)做周期運動時，對應(yīng)同一個k 值Xmax只能取到一個或有限幾個值，而當系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，對于同一個k 值Xmax卻能取無數(shù)個值。同時還不難得到系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)隨k的變化圖，如圖3 所示。

由圖3 可以看出，當k ∈(0,3.8)，系統(tǒng)的4 個李雅普諾夫指數(shù)λ1＞0, λ2＞0, λ3=0, λ4＜0，說明此時系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。當k ∈(3.9,6.2)時，λ1=0, λ2=0, λ3＜0, λ4＜0 ，系統(tǒng)處于擬周期運動狀態(tài)；當k ∈(6.3,10),λ1＞0,λ2=0,λ3＜0,λ4＜0，系統(tǒng)又處于混沌狀態(tài)，當k ∈(10,11)系統(tǒng)的第一個李雅普諾夫指數(shù)λ1出現(xiàn)多次正負變化，說明系統(tǒng)處于周期和混沌兩者之間交替變化的狀態(tài)。 k ∈(11.2,12)時，第一個李雅普諾夫指數(shù)λ1恒為正，則說明系統(tǒng)保持混沌狀態(tài)不變，當k ＞12 時，λ1=0，系統(tǒng)運動狀態(tài)為周期振蕩。當參數(shù)k=2 時，λ1=0.223 0, λ2=0.138 9, λ3=0, λ4=-14.038 0, 由此可得系統(tǒng)吸引子的分形維數(shù)：

圖2 系統(tǒng)（2）隨參數(shù)k變化的分岔圖

DL為分數(shù)，表明系統(tǒng)具有分形特征。

由以上分析可知，隨著控制參數(shù)k 的變化，系統(tǒng)（2）將呈現(xiàn)出不同的動力學(xué)行為。利用Matlab 軟件，采用四階龍格-庫塔算法，對系統(tǒng)進行了數(shù)值模擬，得到系統(tǒng)（2）的混沌吸引子相圖分別如圖4 和圖5 所示。由圖4 可見，隨著k 的變化，得到了系統(tǒng)分別處于超混沌、擬周期、混沌和周期的運動狀態(tài)。圖5 為系統(tǒng)混沌吸引子在各個平面的投影圖。

彭加萊截面也是系統(tǒng)動力學(xué)行為特征的重要判據(jù)，但截面的選取必須恰當，截面不能和吸引子的軌線相切，也不能在軌線平面上。當彭加萊截面是兩個離散的點時，說明系統(tǒng)是周期振蕩，截面上出現(xiàn)幾對離散點，系統(tǒng)運動形式是擬周期振蕩。當系統(tǒng)的彭加萊截面是由片狀或線狀的、并具有分形特征的大量點組成時，系統(tǒng)的運動方式是混沌運動。為了進一步判斷系統(tǒng)的動力學(xué)特征，根據(jù)系統(tǒng)混沌吸引子截取得到系統(tǒng)（2）的彭加萊截面圖，如圖6 所示，可見系統(tǒng)具有混沌行為。

圖3 Lyapunov 指數(shù)隨參數(shù)k變化

圖4 控制參數(shù)k取不同值時，系統(tǒng)混沌吸引子呈現(xiàn)的狀態(tài)特征

圖5 k=1.5 時系統(tǒng)吸引子在各平面的投影圖

圖6 系統(tǒng)（2）在x-z平面上的彭加萊截面圖

4 超系統(tǒng)Lorenz系統(tǒng)電路的設(shè)計及其實驗

為了從實驗上驗證混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為，可以采用設(shè)計非線性電路的方法，用電壓來模擬系統(tǒng)的狀態(tài)變量，這種實驗方法的物理量易于測量，同時也能較準確地反映混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為[12]。為了驗證系統(tǒng)（2）的動力學(xué)行為，根據(jù)系統(tǒng)（2）的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計了一個非線性實驗電路，以便于觀察系統(tǒng)的動力學(xué)行為。在設(shè)計電路的時，為了能更好地觀察系統(tǒng)的狀態(tài)變化圖，在不改變系統(tǒng)狀態(tài)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對系統(tǒng)方程進行線性變換，以便于使系統(tǒng)的變量在電路元器件允許的范圍內(nèi)變化。于是將系統(tǒng)（2）的方程進行線性變換成如下形式：

根據(jù)上述方程（5），不難設(shè)計出如圖7 所示的電路和電路方程（6），根據(jù)實驗設(shè)計電路再給出實物圖。圖中U1～U11采用型號為LM741 的運算放大器，模擬乘法器采用了AD633 型號。

圖7 超混沌Lorenz系統(tǒng)的電路實現(xiàn)圖

該電路的電路方程為：

該電路方程與系統(tǒng)（2）的方程形式是一致的，通過選用合適的元件參數(shù)，即可以實現(xiàn)與系統(tǒng)（2）一致。因此，取R1=R2=R3/1.0, R7=R11/2.8, R8=R9=R11/0.1, R10=R11/10 ，R15=R17/2.8,R16=R17/10,R22=R23/3，通過改變R21來實現(xiàn)對參數(shù)k 值的改變。同時取R3=R4=R5=R6=R11=R12=R13=R14=R17=R18=R19=R20=R23=R24=10 kΩ,則R1=R2=10 kΩ,R7=3.57 kΩ,R8=100 kΩ,R9=100 kΩ,R10=1 kΩ,R15=3.75 kΩ,R16=1 kΩ,R22=300 kΩ,R23=50 kΩ。另外，為了便于能在示波器上觀察到完整、穩(wěn)定的波形圖，取C1=C2=C3=C4=100 nF,此時波形的振蕩頻率約為1 000 Hz，通過示波器觀察到的實驗結(jié)果如圖8 所示。由圖可見，電路的實驗結(jié)果和系統(tǒng)（2）的數(shù)值仿真結(jié)果吻合。

圖8 實驗電路在示波器中演示得到的實驗結(jié)果

5 新系統(tǒng)在圖像加密中的應(yīng)用

將本文提出的超混沌Lorenz 系統(tǒng)（2）應(yīng)用于圖像加密，實驗取256×256×8 位的標準Lena 灰度圖像（像素數(shù)量N=256×256）。系統(tǒng)（2）的狀態(tài)初值?。?.4，3.5，4.6，5.0）；系統(tǒng)參數(shù)?。篴=10，b=8/3，c=28，k=2.0，使得系統(tǒng)（2）是超混沌的；時間步長取0.001。預(yù)迭代1 000 次后，繼續(xù)迭代N/4次，對4 個狀態(tài)變量序列各取后面長為N/4 的子序列，再將4 個子序列連接成長度為N 的序列S={xi,yi,zi,wi,i=1,2,…,N/4}, 令S={sj},j=1,2,…,N 。然后按公式（7）對序列S 進行改造（即取sj實數(shù)的小數(shù)點后14 位數(shù)字構(gòu)成的整數(shù)對256 取余），得到適用于圖像加密的密鑰序列K={kj},j=1,2,…,N 。

其中，floor（x）取小于或等于x 的最大整數(shù)。然后，利用公式（8）明文圖像像素pi逐個進行加密，得到密文像素序列{cj}：

其中，p-1為一預(yù)設(shè)常數(shù)，這里取p-1＝66。實驗所得結(jié)果如圖9 所示，圖（a）和（b）分別是原始圖像及其像素值分布直方圖，而圖（c）和（d）則分別是加密圖像及其像素值分布直方圖。

圖9 Lena圖像加密實驗結(jié)果

從圖9 可以看到，加密圖像的直方圖呈非常均勻的分布，完全不同于原始圖像的直方圖，這表明由超混沌系統(tǒng)（2）產(chǎn)生的混沌序列所加密的圖像，其像素值分布是均勻的。因此，密文將具有很好的抗統(tǒng)計分析攻擊的性能。

6 結(jié)論

本文在經(jīng)典的Lorenz 系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過引入非線性控制器，構(gòu)建了一個新的四維超混沌系統(tǒng)，通過調(diào)整新系統(tǒng)的控制參數(shù)，實現(xiàn)了系統(tǒng)的超混沌、混沌、擬周期和周期振蕩等豐富的動力學(xué)行為。此外，根據(jù)新的超混沌Lorenz系統(tǒng)方程，設(shè)計了實驗電路，通過電路狀態(tài)量的測量進一步驗證了該Lorenz 系統(tǒng)的動力學(xué)行為及其演化規(guī)律，電路的實驗結(jié)果與數(shù)值仿真的結(jié)果能很好地吻合。本文的理論及電路設(shè)計方法，對超混沌信號源的設(shè)計均具有指導(dǎo)意義。最后，將該系統(tǒng)應(yīng)用于圖像加密實驗，結(jié)果表明，該系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機序列具有很好的密碼學(xué)性能，因此，該系統(tǒng)在多媒體信息保密通信和信息安全領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用前景。

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