劉曉輝 黨亞民 王潛心 楊 磊

1)中國測繪科學(xué)研究院，北京 100830

2)山東科技大學(xué)，青島266510

1 引言

所謂定姿，就是確定載體坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系的相對關(guān)系。在航空、航天、航海和陸地導(dǎo)航任務(wù)中，都需要準(zhǔn)確測定載體的姿態(tài)信息。目前用于測定姿態(tài)的傳感器主要有陀螺儀、星敏感器、太陽敏感器、磁力計和全球定位系統(tǒng)(GNSS)等。

通常將確定三軸姿態(tài)的算法分為兩類:確定性算法和最優(yōu)化算法［1］。目前最好的確定性算法是TRIAD 算法［2］，但該算法只能利用兩個觀測矢量的信息，不是最優(yōu)算法且有主軸敏感性。黎湧等人［4］于2000年提出一種融合TRIAD 算法，他們利用兩個觀測矢量的和與差構(gòu)造正交矢量從而消除了主軸敏感性，并且對姿態(tài)角而不是對姿態(tài)矩陣進行加權(quán)從而省去了矩陣的正交化過程。最優(yōu)化算法就是尋找使建立的代價函數(shù)最小的姿態(tài)矩陣，也就是Wahba 問題［5］，這一問題直到QUEST 算法［6］提出才得以完滿解決。但是QUEST 方法需要求解特征值和特征向量，計算過程復(fù)雜、耗時長，對計算機要求較高。在雙基線定姿的實際應(yīng)用中，有時需要較高的姿態(tài)更新率，有時需要程序計算簡單，有時需要較高的定姿精度，究竟該選擇哪種算法才能滿足需要，本文將對這一問題進行研究。

2 雙基線定姿算法

2.1 TRIAD 算法

已知參考坐標(biāo)系下兩條非平行單位矢量為W1和W2，它們在載體坐標(biāo)系下對應(yīng)的單位矢量為V1和V2。

在參考坐標(biāo)系下構(gòu)造三條正交的單位矢量:

在載體坐標(biāo)系下構(gòu)造三條正交單位矢量:

利用單位正交矢量構(gòu)造單位正交陣:

式中A 為姿態(tài)矩陣。

式中α 為橫滾角，β 為俯仰角，γ 為航向角。

2.2 優(yōu)化TRIAD 算法

一般情況下，第一個觀測矢量和第二個觀測矢量測量精度不同。該方法就是分別用第一和第二個觀測矢量作為主矢量構(gòu)造正交陣，得到兩個姿態(tài)矩陣，然后再對這兩個矩陣進行加權(quán)平均，最后對得到的矩陣進行正交化。具體解算步驟如下:

以W1和V1作為主矢量求得的姿態(tài)矩陣為A1，方差為;以W2和V2為主矢量求得的姿態(tài)矩陣為A2，方差為。

式(5)是對A'的正交化［3］。矩陣A 即為最后要得到的姿態(tài)矩陣。

2.3 Quest 算法

設(shè)代價函數(shù)定義為:

最優(yōu)化算法是尋找最優(yōu)的正交姿態(tài)矩陣Aopt使L(A)最小，Quest 算法把問題轉(zhuǎn)化為尋找最優(yōu)四元數(shù)，然后根據(jù)四元數(shù)和姿態(tài)矩陣的關(guān)系求得姿態(tài)角，四元數(shù)與姿態(tài)矩陣的關(guān)系為:

定義函數(shù)

載體運動后的姿態(tài)可以看作是繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動一定的角度得到的，旋轉(zhuǎn)軸所指方向的單位矢量用n表示，轉(zhuǎn)動的角度用θ表示。

用四元數(shù)q表示繞n 旋轉(zhuǎn)θ 角的表達式為:

函數(shù)g(A)可以表示成關(guān)于四元數(shù)q 的二次型函數(shù):

3 試驗分析

分別用TRIAD 方法、優(yōu)化TRIAD 方法、QUEST方法對不同的仿真雙基線數(shù)據(jù)進行處理，然后對各種方法的計算精度、計算耗時、代價函數(shù)進行分析。

選取載體坐標(biāo)系下的基線W1和W2如下:

姿態(tài)矩陣為:

如果沒有誤差，則V1和V2為:

由于傳感器觀測存在誤差，假設(shè)基線誤差服從零均值高斯分布，根據(jù)基線精度和姿態(tài)角精度的關(guān)系［7］，并參考實際測量中姿態(tài)角的測量精度，在V1中加入均值為零、方差為0.000 1m2的隨機白噪聲，根據(jù)第二條基線和第一條基線的精度比=40、20、10、5 、1、0.2、0.1、0.05 在V2中分別加入8 種均值

從圖1 可以看出，利用優(yōu)化TRIAD 方法和QUEST 方法計算得到的航向角完全相同。隨著的減小，用優(yōu)化TRIAD 方法和QUEST 方法計算的優(yōu)勢越來越明顯(1)。

圖1 三種方法得到的航向角偏差Fig.1 Heading angle deviation with the three algorithms

表1 姿態(tài)角標(biāo)準(zhǔn)差信息(單位:°)Tab.1 Standard deviation of attitude angles(unit:°)

通過對三種方法進行比較可以看出:優(yōu)化TRIAD 方法和QUEST 方法計算得到的航向角、俯仰角和翻滾角的精度完全相同，值為0.1 和0.05時利用優(yōu)化TRIAD 和QUEST 方法得到的姿態(tài)角精度比TRIAD 方法高;利用TRIAD 方法得到的姿態(tài)角精度隨的增大而減小，這是因為主基線的精度不變，而第二條基線的精度不斷增高，因此總體上精度不斷增高;而優(yōu)化TRIAD 和QUEST 方法得到的姿態(tài)角精度從向兩邊遞減，并且向減小的方向遞減的速度明顯高于增大的方向的遞減速度。

圖2 不同精度比下三種方法的代價函數(shù)比較Fig.2 Comparison among the three algorithms in different precision ratio

表2 代價函數(shù)平均值Tab.2 Mean values of cost function

表3 不同情況下三種方法的計算耗時(單位:s)Tab.3 Computation time in different cases(unit:s)

4 結(jié)論

1)利用兩條基線進行姿態(tài)解算，優(yōu)化TRIAD 算法和QUEST 算法得到的定姿結(jié)果完全相同;

4)姿態(tài)角解算精度與代價函數(shù)的變化規(guī)律不一致。

1 Malcolm D Shuster.Deterministic three-axis attitude determination［J］.The Journal of the Astronautical Science，2004，52(3):405－419.

2 BLACK H D.A passive system for determining the attitude of a satellite［J］.AIAA Journal，1964，2:1 350－1 351.

3 Itzhack Y Bar－Itzhack and Richard R Harman.Optimized TRIAD algorithm for attitude determination［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics(S0731－5090)，1997，20(1):208－211.

4 黎湧，吳宏鑫，劉良棟.融合TRIAD 算法用于GPS 姿態(tài)確定［J］.中國空間科學(xué)技術(shù)，2000，4(2):30－36.(Integration of TRIAD algorithm for GPS attitude determination［J］.Space Science and Technology，2000，4(2):30－36)

5 WAHBA G.Problem 65－1:A Least Squares Estimate of Spacecraft Attitude［J］.SIAM Review，1965，7(3):409.

6 Shuster M D and OH S D.Three-axis attitude determination from vector observations［J］.Journal of Guidance and Control，1981，4(1):70－77.

7 Lu G.Development of a GPS multi-antenna system for attitude determination［D］.University of Calgary，Calgary ，Canada，1995.