嚴(yán)劍鋒 鄧喀中

1)中國(guó)礦業(yè)大學(xué)國(guó)土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測(cè)國(guó)家測(cè)繪局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，徐州 221116

2)中國(guó)礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測(cè)繪學(xué)院，徐州221116

1 引言

三維激光掃描技術(shù)是20世紀(jì)90年代發(fā)展起來(lái)的一種快速獲取空間三維信息的新技術(shù)手段，以其非接觸、掃描速度快、獲取信息量大、實(shí)時(shí)性強(qiáng)、自動(dòng)化等優(yōu)點(diǎn)廣泛用于測(cè)繪領(lǐng)域［1］。大部分情況下，三維激光點(diǎn)云處理的最終目的是建立精確的掃描物體的可視化模型。石銀濤等［2］采用CAD 建模和地面三維激光掃描建模分別對(duì)某歷史建筑進(jìn)行三維模型重建，得出掃描建模方法具有快速、高效、精度高等優(yōu)點(diǎn);張毅等［3］將地面三維激光掃描技術(shù)應(yīng)用于公路建模，完成了數(shù)字表面模型、等高線(xiàn)、縱橫斷面等的模型生成。

由于真實(shí)場(chǎng)景中含有大量平面特征，這些平面特征可以在后續(xù)建模中簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)或者直接進(jìn)行局部建模。因此平面特征提取成為3D 建模的重要組成部分，獲取高精度的擬合平面是建模的重要研究?jī)?nèi)容［4］。很多研究人員對(duì)于平面擬合進(jìn)行了研究和應(yīng)用，潘國(guó)榮等［5］對(duì)RANSAC 算法進(jìn)行改進(jìn)，提出擬合平面自動(dòng)提取算法，得到了理想的結(jié)果;官云蘭等［4］針對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)存在粗差或異常值情況，采用一種以特征值法為基礎(chǔ)的穩(wěn)健的點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合方法。蔡來(lái)良［6］對(duì)三維激光掃描儀采集的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行平面擬合處理，分析了建筑物的整體形變，證明該方法的可行性和有效性。

三維激光掃描點(diǎn)云數(shù)據(jù)在獲取過(guò)程中因樹(shù)木、行人等遮擋會(huì)出現(xiàn)異常值，當(dāng)異常點(diǎn)較多時(shí)，平面擬合結(jié)果會(huì)產(chǎn)生較大的偏差，最小二乘就失去了擬合的意義，影響最終的建模結(jié)果。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文引入可以表征數(shù)據(jù)對(duì)模型估計(jì)影響大小的Cook 距離，提出一種基于Cook 距離的平面擬合方法。這種方法通過(guò)優(yōu)選擬合點(diǎn)進(jìn)行最小二乘平差計(jì)算，從而達(dá)到精確的平面擬合結(jié)果。

2 點(diǎn)云數(shù)據(jù)的平面擬合

設(shè)空間平面方程:

平面擬合總存在一定的誤差，對(duì)測(cè)得的點(diǎn)云數(shù)據(jù)(xi，yi，zi)(i=0，1，…，m)，要求其最小二乘擬合平面其實(shí)就是使

即可表示成:vi=a0xi+a1yi+a2zi+1，i 為點(diǎn)的個(gè)數(shù)。求使v 最小的a0、a1、a2的值。對(duì)于有m 個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，間接平差模型為

寫(xiě)成誤差方程:

用最小二乘求解，得:

擬合中誤差為:

式中，P 為權(quán)陣，一般取單位權(quán)。A 為由已知點(diǎn)信息構(gòu)成的系數(shù)矩陣。

3 Cook 距離的定義

設(shè)有線(xiàn)性回歸模型

這里Y 為n×1 的觀測(cè)向量，β 為p×1 的參數(shù)向量，e 為n×1 的誤差向量，X 為n ×p 的系數(shù)矩陣。在回歸分析中，常常需要考慮對(duì)回歸推斷具有較大影響的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)稱(chēng)為強(qiáng)影響點(diǎn)。在眾多選擇強(qiáng)影響點(diǎn)的方法中，重要的一類(lèi)是所謂的影響函數(shù)。記β 為從完全數(shù)據(jù)算出的β 的LS 估計(jì);β(i)為剔除第i 組數(shù)據(jù)后，從其余n－1 組數(shù)據(jù)算出的β 的LS估計(jì)。稱(chēng)

為第i 組數(shù)據(jù)對(duì)β 的影響函數(shù)。IFi反映了剔除的數(shù)據(jù)引起回歸系數(shù)的LS 估計(jì)變化大小。

為了更方便地表征影響函數(shù)變化的大小，通常考慮它的某種函數(shù)。對(duì)于剔除一組數(shù)據(jù)的情形，Cook 等引進(jìn)了判定數(shù)據(jù)對(duì)LS 估計(jì)影響大小的IFi函數(shù):

這里的M是正定方陣，C 為給定的常數(shù)。Di，1(M，C)愈大表示第i 組數(shù)據(jù)剔除后，β 變化愈大。因此，Di，1(M，C)度量了回歸系數(shù)估計(jì)β 影響的大小。顯然，Di，1(M，C)依賴(lài)于M、C 的選擇。取M=為必要觀測(cè)數(shù)，為利用完全數(shù)據(jù)算得的單位權(quán)方差)，則稱(chēng)為Cook 距離:

Cook 距離愈大，表示剔除第i 組數(shù)據(jù)后，參數(shù)的變化愈大［7－9］。

對(duì)于本文的平面擬合，不同于文獻(xiàn)［7］中的情況:文獻(xiàn)［7］不存在剔除較大誤差點(diǎn)的問(wèn)題，只需要找到對(duì)擬合影響最大的點(diǎn)，也稱(chēng)為強(qiáng)擾動(dòng)點(diǎn);本文中，計(jì)算得到的Cook 值較大的點(diǎn)實(shí)際上是平面擬合的強(qiáng)擾動(dòng)點(diǎn)，Cook 值越大，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)云整體偏差越大。Cook 值越小，說(shuō)明去掉該點(diǎn)對(duì)整體平面擬合的影響并不大，該點(diǎn)在點(diǎn)云的趨勢(shì)中或接近點(diǎn)云整體趨勢(shì)，為平面擬合的強(qiáng)勢(shì)點(diǎn)。本文基于Cook 距離的最小二乘擬合的目的是將偏離真實(shí)平面較多的點(diǎn)剔除在外，采用準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

文中對(duì)于部分點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)選，期望用若干Cook 距離較小的點(diǎn)，進(jìn)行平面擬合，獲得較準(zhǔn)確的結(jié)果。本文為說(shuō)明問(wèn)題，進(jìn)行試驗(yàn)分析，采用一已知平面:1.732 0x+0.577 3y－z+1=0，用該平面完成試驗(yàn)分析。

已知平面如圖1，從該平面上隨機(jī)選取50 個(gè)點(diǎn)，并人為將其中任意13個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)改動(dòng)，使之成為異常點(diǎn)(有的異常點(diǎn)粗差較大，有的較小，如15號(hào)點(diǎn)只在z 方向加了0.04 的誤差)，誤差點(diǎn)達(dá)到了26%。為方便辨識(shí)，異常點(diǎn)號(hào)為:5、7、10、15、18、20、25、30、35、37、40、45、50。在三維激光掃描的點(diǎn)云數(shù)據(jù)中，這些異常點(diǎn)由樹(shù)木、行人等遮擋產(chǎn)生。下面的實(shí)驗(yàn)基于經(jīng)過(guò)改動(dòng)的50 個(gè)點(diǎn)的新坐標(biāo)數(shù)據(jù)。

圖1 原始平面Fig.1 Original plane

用所有50 個(gè)點(diǎn)進(jìn)行最小二乘平面擬合，得出平面方程2 為:1.635 7x+0.545 7y－0.947 6z+1=0，由式(5)計(jì)算擬合中誤差。由式(9)計(jì)算Cook 距離，選出Cook 值最小的6 個(gè)點(diǎn)，即Cook距離達(dá)到0 的6 個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)號(hào)為:13、14、36、43、44、48。

這6 個(gè)點(diǎn)即為對(duì)準(zhǔn)確的模型估計(jì)影響最大的點(diǎn)，用該6 個(gè)點(diǎn)擬合平面方程3 為:1.732 0x +，擬合中誤差

和用所有數(shù)據(jù)擬合中誤差相比，Cook 點(diǎn)選取擬合精度更高，相差的數(shù)量級(jí)在103。

Cook 距離最大的6 個(gè)點(diǎn)如表1。從表1 可以看出，這6 個(gè)點(diǎn)全是異常值較大的點(diǎn)，通過(guò)Cook 距離計(jì)算可以被選出與剔除。這樣可以對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行有效去噪。

增加兩個(gè)異常點(diǎn)，當(dāng)異常點(diǎn)達(dá)到15 個(gè)時(shí)，計(jì)算Cook 距離并選出值最小的6 個(gè)點(diǎn)用于平面擬合，如表2。

用表2 中點(diǎn)擬合出的平面方程為:1.732 1x +0.577 3y－1.000z+1=0，中誤差為2.369 5 ×10－5，結(jié)果仍較準(zhǔn)確。

表1 Cook 距離最大的6 個(gè)點(diǎn)Tab.1 6 points with the largest Cook distance

表2 15 個(gè)異常點(diǎn)時(shí)Cook 距離計(jì)算的6 個(gè)強(qiáng)影響點(diǎn)Tab.2 6 strong impact points based on Cook distance when 15 outliers exist in the point cloud

當(dāng)然，當(dāng)點(diǎn)云中異常點(diǎn)較多時(shí)，擬合精度和可靠性會(huì)降低。通過(guò)多次試驗(yàn)，當(dāng)有17 個(gè)異常點(diǎn)時(shí)，無(wú)論異常數(shù)據(jù)在整體點(diǎn)云的哪個(gè)位置，15 號(hào)點(diǎn)(異常點(diǎn))的Cook 值始終較小，導(dǎo)致作為異常數(shù)據(jù)的15 號(hào)點(diǎn)被選為擬合點(diǎn)。當(dāng)擬合點(diǎn)中混入異常數(shù)據(jù)，對(duì)于后期的最小二乘平面擬合不利，精度必然降低。試算發(fā)現(xiàn)，該情況下，參數(shù)估計(jì)中誤差在10－3的數(shù)量級(jí)，精度明顯下降。這時(shí)可以通過(guò)適當(dāng)增加選取的擬合點(diǎn)來(lái)提高精度。

5 結(jié)論

1)基于Cook 距離的點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合精度較高，穩(wěn)定性較好，在一定范圍內(nèi)不會(huì)因?yàn)槟硞€(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化而導(dǎo)致整個(gè)平面的變化。當(dāng)粗差點(diǎn)在30%內(nèi)時(shí)，可以保持?jǐn)M合結(jié)果的可靠性，和真實(shí)平面相當(dāng)接近。同時(shí)，在平面特征明顯的區(qū)域使用該方法可以大幅度縮減點(diǎn)云，精簡(jiǎn)數(shù)據(jù)。

2)在最小二乘進(jìn)行平面擬合過(guò)程中，擬合點(diǎn)并不是越多越好，選取適量并有效的擬合點(diǎn)才是應(yīng)用最小二乘方法的關(guān)鍵。

3)當(dāng)異常點(diǎn)超過(guò)30%，中誤差會(huì)下降很快，并且擬合出的平面和原始平面差距較大。在三維激光點(diǎn)云數(shù)據(jù)中，異常點(diǎn)數(shù)超過(guò)這一限值的情況并不多，然而，對(duì)于某些復(fù)雜情況，則需要將該方法和其他簡(jiǎn)單的濾波方法結(jié)合使用，以期達(dá)到較高的建模精度。同時(shí)，基于Cook 距離的最小二乘也可以進(jìn)行點(diǎn)云去噪，即通過(guò)計(jì)算，Cook 距離值較大的點(diǎn)即為誤差較大點(diǎn)或粗差點(diǎn)。

1 張啟福，孫現(xiàn)申.三維激光掃描儀測(cè)量方法與前景展望［J］.北京測(cè)繪，2011，(1):39－42.(Zhang Qifu and Sun Xianshen.Measuring principle and developmental prospect of 3D laser scanner［J］.Beijing Surveying and Mapping，2011，(1):39－42)

2 石銀濤，程效軍，張鴻飛.地面三維激光掃描建模精度研究［J］.河南科學(xué)，2010，2(2):182－186.(Shi Yintao，Cheng Xiaojun and Zhang Hongfei.Study on the accuracy of terrestrial 3D laser scanning modeling［J］.Henan Science，2010，2(2):182－186)

3 張毅，閆利，崔晨風(fēng).地面三維激光掃描技術(shù)在公路建模中的應(yīng)用［J］.測(cè)繪科學(xué)，2008，9(5):100－102.(Zhang Yi，Yan Li and Cui Chenfeng.Application of terrestrial 3D laser scanning to highway modeling［J］.Science of Surveying and Mapping，2008，9(5):100－102)

4 官云蘭，程效軍，施貴剛.一種穩(wěn)健的點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合方法［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，7(7):981－984.(Guan Yunlan，Cheng Xiaojun and Shi Guigang.A robust method for fitting a plane to point clouds［J］.Journal of TONGJI University(Nature Science)，2008，7(7):981－984)

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6 蔡來(lái)良，吳侃，張舒.點(diǎn)云平面擬合在三維激光掃描儀變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用［J］.測(cè)繪科學(xué)，2010，9(5):231－232.(Cai Lailiang，Wu Kan and Zhang Shu.Application of point cloud plan fitting to deformation monitoring using 3D laser scanner［J］.Science of Surveying and Mapping，2010，9(5):231－232)

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9 田保光.最小二乘估計(jì)中的Cook 距離與相關(guān)系數(shù)［J］.貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1993，(2):10－15.(Tian Baoguang.Cook Distance and Correlation Coefficient in Least Square Estimator［J］.Journal of Guizhou Normal University(Natural Science)，1993，(2):10－15)