李曉宇 楊 洋 胡曉粉 賈蕊溪

1)中國人民解放軍裝備學(xué)院，北京 101416)

2)中國人民解放軍61081 部隊，北京100094

1 引言

高精度、高穩(wěn)定性的星載原子鐘是衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)精確定位的關(guān)鍵，是衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)有效載荷的核心。研究認(rèn)為原子鐘的頻率總波動是幾種不同噪聲的線性疊加，因此很難建立精確的原子鐘運(yùn)行模型［1］。衛(wèi)星鐘差則是衛(wèi)星導(dǎo)航定位尤其是精密單點(diǎn)定位的主要誤差源［2］。鐘差預(yù)報的可靠程度直接決定導(dǎo)航精度，研究鐘差預(yù)報有利于提高參數(shù)預(yù)報的可靠性和準(zhǔn)確性。

傳統(tǒng)的鐘差預(yù)報模型主要有線性模型、二次項模型與灰色預(yù)報模型。線性模型和二次項模型計算簡單、短期預(yù)報效果好，但由于二次多項式建模時，把噪聲看作是服從正態(tài)分布的誤差，從而導(dǎo)致預(yù)報精度隨時間的增加而降低;灰色模型需要樣本數(shù)據(jù)少，抗干擾能力強(qiáng)，但是模型要求原函數(shù)光滑且呈指數(shù)規(guī)律變化，影響了預(yù)報的精度和長度［3］。這幾種模型均考慮鐘差的趨勢項，忽略了其隨機(jī)項。

本文針對灰色模型預(yù)報的局限性以及鐘差的組成特點(diǎn)，結(jié)合ARMA 模型隨機(jī)項建模的突出優(yōu)勢，構(gòu)建組合模型進(jìn)行鐘差預(yù)報，并采用IGS 提供的精密鐘差進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證模型的有效性和可行性。

2 灰色模型的改進(jìn)

2.1 灰色模型［4］

設(shè)x0={x0(1)，x0(2)，…，x0(k)，…，x0(n)}為原始鐘差數(shù)據(jù)列，對x0進(jìn)行一次累加得生成數(shù)列x1={x1(1)，x1(2)，…，x1(k)，…，x1(n)}，其中x1(k)，k=1，2，…，n。

對生成數(shù)列x1有:

式(1)的解為:

其離散形式為:

式中，k 為自變量序列，a 為發(fā)展系數(shù)，u 為控制系數(shù)。其中參數(shù)序列數(shù)據(jù)陣為G，數(shù)據(jù)列為Yn，即:

2.2 灰色模型的改進(jìn)

由文獻(xiàn)［5］可知，對于衛(wèi)星鐘差預(yù)報，不同的模型指數(shù)系數(shù)對預(yù)報精度的影響很大。圖1 為對PRN1 號衛(wèi)星利用灰色模型對模型指數(shù)系數(shù)分別為1 和0.99 時時預(yù)報15天的衛(wèi)星鐘差。由圖(1)可以看出指數(shù)系數(shù)為1 時，鐘差誤差最大達(dá)到40 ns，當(dāng)指數(shù)系數(shù)為0.99 時，鐘差誤差最大約10 ns。

圖1 不同模型指數(shù)系數(shù)得到的預(yù)報誤差Fig.1 Prediction errors with different model exponent coefficient

由于灰色模型對GPS 衛(wèi)星鐘差的預(yù)報結(jié)果并不好，文獻(xiàn)［5］提出引入指數(shù)系數(shù)變量λ，對模型進(jìn)行改進(jìn)，即將式(3)修改為

為了研究不同衛(wèi)星鐘差類型情況下的指數(shù)系數(shù)，可以得到指數(shù)系數(shù)變量λ 的一般表達(dá)式為

在GM(1，1)模型中，a是發(fā)展系數(shù)，a 的大小及符號反映了以及的發(fā)展趨勢［6］。如果a 為負(fù)，那么態(tài)勢是增長的，a 的絕對值越大，增長越快;如果a 為正，那么態(tài)勢是衰減的，a 的絕對值越大，衰減越快。在GM(1，1)模型中引入指數(shù)模型參數(shù)λ，使預(yù)測模型得到優(yōu)化。如果以及(k)發(fā)展態(tài)勢增長太快，可以考慮引入λ ＜1，抑制增長態(tài)勢;反之引入λ ＞1，促進(jìn)增長態(tài)勢。模型指數(shù)系數(shù)的優(yōu)化步驟可概括為:

1)利用原始序列建立灰色模型，通過最小二乘求參數(shù)a、u;

2)λ 取值范圍為［0.5，2］，微調(diào)λ 代入式(5)利用改進(jìn)灰色模型計算預(yù)報誤差;

3)求出每個λ 對應(yīng)的灰色預(yù)測誤差的均方差;

4)均方差最小對應(yīng)的λ 值即為最優(yōu)值，代入改進(jìn)灰色模型進(jìn)行鐘差預(yù)報。

3 ARMA 模型

時間序列分析(ARMA，Auto Regressive Moving Average)對于一個時間序列{Xi}可以表示為ARIMA(p，d，q)，p、q 稱為模型的階，d表示差分次數(shù)。

自回歸滑動平均模型ARMA(p，q)的基本形式為

模型定階過程是通過考察平穩(wěn)序列樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)選擇適合的模型擬和觀察值序列，估計自相關(guān)階數(shù)和滑動平均階數(shù)［7］。

由自相關(guān)及偏相關(guān)計算作圖可以概略判斷ARMA 模型的階數(shù)，獲得準(zhǔn)確的ARMA 模型階數(shù)使用BIC 準(zhǔn)則［8］:

確定模型之后，可以對模型中的參數(shù)進(jìn)行估計，選用自回歸方法對參數(shù)進(jìn)行估計。其基本方法為，首先對觀測數(shù)據(jù)建立AR 模型，取自回歸階數(shù)的上界P］，采用BIC 定階方法得到ARMA 模型的階數(shù)自回歸系數(shù)的估計(a'1，a'2，…，a'p)，計算殘差得

式中t=p' +1，p' +2，…，N。由此可以得到近似的ARMA(p ，q)模型為

式中t=L+1，L +2，…，N，L=max(p'，p，q)，a、b是待定參數(shù)。

采用最小二乘估計的計算方法求解待定參數(shù):

則可解出參數(shù)的最小二乘估計為:

4 組合模型

鐘差序列可以認(rèn)為是由趨勢項和隨機(jī)噪聲項兩部分疊加而成。針對這一特點(diǎn)，提出一種基于改進(jìn)灰色模型和ARMA 模型的組合預(yù)報模型。組合模型鐘差預(yù)報過程如圖2 所示。

1)鐘差數(shù)據(jù)的預(yù)處理。主要是檢測鐘差數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn)、無數(shù)據(jù)段、數(shù)據(jù)跳變等數(shù)據(jù)異常，并對這些異常進(jìn)行修正，以便預(yù)測模型取得更好的結(jié)果。對于異常點(diǎn)和無數(shù)據(jù)段，在取出異常點(diǎn)的基礎(chǔ)上，可以用插值的方法內(nèi)插出這些點(diǎn)以及無數(shù)據(jù)段。而對于數(shù)據(jù)的跳變，可以采用滑動窗口探測到跳變，在鐘差預(yù)處理完成后，即可進(jìn)行鐘差預(yù)報模型的建立;

圖2 組合模型鐘差預(yù)報示意圖Fig.2 Block diagram of clock error prediction with integrated model

2)利用改進(jìn)灰色模型對M 個歷元進(jìn)行鐘差預(yù)報，提取鐘差的趨勢項、隨機(jī)項，并利用ARMA 模型對隨機(jī)項建模，建立隨機(jī)項預(yù)報模型;

3)對后N 個歷元利用改進(jìn)灰色模型進(jìn)行趨勢項預(yù)報，利用ARMA 模型進(jìn)行隨機(jī)項預(yù)報，將結(jié)果相加得到鐘差預(yù)報值。

5 算例分析

采用IGS 公布的精密星歷的鐘差數(shù)據(jù)，對星載原子鐘真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，時間2011-01-01 T0:00分—2011-07-30T23:55 分，數(shù)據(jù)間隔5 分鐘。將鐘差預(yù)報結(jié)果的最大值、最小值、標(biāo)準(zhǔn)差、均方差作為評價指標(biāo)對結(jié)果進(jìn)行分析。

方案一:選擇PRN3、PRN14、PRN21、PRN24 四顆衛(wèi)星，其中PRN03、PRN24 為星載銫鐘，PRN14、PRN21 為星載銣鐘。采用灰色模型和改進(jìn)灰色模型進(jìn)行分別進(jìn)行衛(wèi)星鐘的短期預(yù)報，預(yù)報時間1天，結(jié)果如圖3 和表1 所示。

由圖3 和表1 可以看出，四顆衛(wèi)星改進(jìn)的灰色預(yù)報模型在短期預(yù)報中精度要高于灰色模型。由結(jié)果可以看出PRN14、PRN21 衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果好于PRN03、PRN24 衛(wèi)星，這是由于銫鐘主要應(yīng)用于早期發(fā)射的衛(wèi)星，本身精度不高，由于長時間使用也造成設(shè)備的老化。

方案二:選擇PRN3、PRN14、PRN21、PRN24 四顆衛(wèi)星，采用改進(jìn)灰色模型和改進(jìn)灰色ARMA 模型進(jìn)行分別進(jìn)行衛(wèi)星鐘的短期預(yù)報，預(yù)報時間1天，結(jié)果如圖4 和表2 所示。

由圖4 和表2 可以看出，基于改進(jìn)灰色模型的時間序列分解模型對鐘差進(jìn)行短期預(yù)報與改進(jìn)灰色模型相比具有更好的精度，而且24 小時的預(yù)報精度均達(dá)到了ns級。這是由于利用改進(jìn)灰色模型對鐘差進(jìn)行趨勢項提取后，隨機(jī)項經(jīng)過差分具有很好的平穩(wěn)性;而ARMA 模型利用提取的平穩(wěn)序列擬合數(shù)據(jù)，對線形系統(tǒng)的預(yù)測具有較高的精度，因此預(yù)測精度較高，驗(yàn)證了模型的合理性和可行性，同時銣鐘的鐘差預(yù)報精度同樣優(yōu)于銫鐘。

圖3 PRN3、PRN14、PRN21、PRN24 灰色與改進(jìn)灰色模型鐘差預(yù)報Fig.3 Clock error prediction of PRN3，PRN14，PRN21，PRN24 with grey model and improved grey model

表1 PRN3、PRN14、PRN21、PRN24 灰色與改進(jìn)灰色模型鐘差預(yù)報對比結(jié)果(單位:ns)Tab.1 Comparison between grey model and improved grey model for clock error prediction of PRN3，PRN14，PRN21，PRN24(unit:ns)

圖4 PRN3、PRN14、PRN21、PRN24 改進(jìn)灰色ARMA 模型鐘差預(yù)報Fig.4 PRN3，PRN14，PRN21，PRN24 clock error prediction of improved Grey ARMA model

表2 改進(jìn)灰色模型與基于改進(jìn)灰色模型ARMA 鐘差預(yù)報對比結(jié)果(單位:ns)Tab.2 Comparason between improved grey model and improved grey ARMA model for clock error prediction of PRN3，PRN14，PRN21，PRN24(unit:ns )

6 結(jié)論

針對常用鐘差預(yù)報中存在的問題，將鐘差分為趨勢項和隨機(jī)項之和，提出改進(jìn)灰色模型與ARMA模型相結(jié)合的模型。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的可行性和有效性。但在長期預(yù)報時文中構(gòu)建的模型與傳統(tǒng)灰色模型相比優(yōu)勢并不突出，這是由于在利用初始?xì)v元進(jìn)行模型指數(shù)系數(shù)解算時，結(jié)果并不是長期鐘差趨勢的最優(yōu)值。

1 Mishra A and Shenyblat L.Multipath and satellite clock bias error minimization in DGPS based radiolocation［A］.EUROCOMM 2000.Information Systems for Enhanced Public Safety and Security.IEEE/AFCEA［C］.2007，95－99.

2 Gotoh Tadahiro.Improvement GPS time link in Asia with all in view［A］.2005 Joint IEEE International Frequency Control Symposium(FCS)and Precise Time and Time Interval(PTTI)Systems and Applications Meeting［C］.2005.

3 鄭作亞，盧秀山.幾種GPS 衛(wèi)星鐘差預(yù)報方法比較及精度分析［J］.山東科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，27(4):6－11.(Zheng Zuoya and Lu Xiushan.Comparison and precision analysis of several GPS satellite clock bias prediction methods［J］.Journal of Shandong University of Science and Technology(Natural Science)，2008，27(4):6－11)

4 張清華，等.利用改進(jìn)灰色模型的鐘差預(yù)報算法及精度分析［J］.測繪科學(xué)，2012，37(1):51－53.(Zhang Qinghua，et al.A prediction method of the clock errors based on modified grey model［J］.Science of Surveying and Mapping，2112，37(1):51－53)

5 鄭作亞，陳永奇，盧秀山.灰色模型修正及其在實(shí)時GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報中的應(yīng)用研究［J］.天文學(xué)報，2008，(3):306－320.(Zheng Zuoya，Chen Yongqi and Lu Xiushan.An improved grey model for the prediction of real－time GPS satellite clock bias［J］.Acta Astronomica Sinica，2008，(3):306－320)

6 Erdal Kayacan and Baris Ulutas.Grey system theory based models in timing series prediction［J］.Expert Systems with Application，2010，37:1 784－1 789.

7 徐君毅，曾安敏.ARIMA(0，2，q)模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報中的應(yīng)用［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2009，(5):116－120.(Xu Junyi and Zeng Anmin.Application of ARIMA(0，2，q)model to prediction of satellite clock error［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2009，(5):116－120)

8 張清華，隋立芬，牟忠凱.基于小波與ARMA 模型的衛(wèi)星鐘差預(yù)報方法［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2010，(6):100－104.(Zhang Qinghua，Sui Lifen and Mu Zhongkai.A GPS precise clock errors prediction model based on wavelet and ARMA［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2010，(6):100－104)