隆建軍

(攀枝花市大河中學(xué)，四川 攀枝花617061)

0 引 言

這里，常數(shù)π/sin(π/p)是最佳值［1］，其等價(jià)形式是［2］

這里，常數(shù)［π/sin(π/p)］p仍是最佳值. 稱(1)為Hardy - Hilbert 不等式.

當(dāng)p = q = 2 時(shí)，不等式(1)和(2)變?yōu)?

上式的常數(shù)因子π 與π2是最佳的.

不等式(1)～(4)是分析學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域的重要不等式.近年來(lái)有許多專家、學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究，得到了許多優(yōu)秀的結(jié)果.

1999 年，BC.Yang 在文獻(xiàn)［3］中，利用權(quán)系數(shù)的方法，對(duì)(1)式進(jìn)行改進(jìn)，得到:

這里γ = 0.5772+.

2003 年，Bicheng Yang 在文獻(xiàn)［4］中改進(jìn)權(quán)系數(shù)不等式，得到:

得到(1)的改進(jìn)式:

當(dāng)p = q = 2 時(shí)，不等式(6)變?yōu)?

2012 年，隆建軍在文獻(xiàn)［5］中得到如下精密的Hardy - Hilbert 不等式:

則

當(dāng)p = q = 2，不等式(7)和(8)變?yōu)?

設(shè)an，bn≥0，0 ＜＜∞，則

設(shè)an≥0，使，則

本文利用權(quán)系數(shù)的方法，給出(1)～(4)的新的加強(qiáng)改進(jìn)式，而且本文結(jié)論和文獻(xiàn)［5］的結(jié)論不具有等價(jià)性，所以它們都是Hardy -Hilbert 不等式的全新推廣結(jié)論.

1 幾個(gè)引理

引理1［6］若f(2r)(x)＞0，f(2r+1)(x)＜0，x ∈∞，則有

則權(quán)系數(shù)不等式成立:

引理2 設(shè)r ＞1，n ∈N，定義下列權(quán)系數(shù):

又由

由引理1 的(9)式和以上運(yùn)算結(jié)果，有

對(duì)n ∈N，結(jié)合Bernoulli 不等式，有

把(12)式代入(11)即得(10).

引理3 設(shè)r ＞1，n ∈N，則下列權(quán)系數(shù)不等式成立:

證明:

所以

把(14)代入引理2 中的(10)，得

故引理3 成立.

2 主要結(jié)論及其證明

證明: 由Holder 不等式，有

故定理1 的(15)式成立. 證畢.

由(13)式和以上所得，有

故定理2 成立. 證畢.

在(15)和(17)式中取p = q = 2，可得:

推論1 設(shè)an，bn≥0(n ∈N).若，則有

推論2 若an≥0，使，則

［1］ Hardy G H，Littlewood J E，Polya G. Inequalities［M］. Cambridge Univ Press，1952.

［2］ YANG Bi-cheng.On a Generalization of Hilbert＇s Double Series Theorem［J］.Math Ineq Appl，2002，5(2):484 -497.

［3］ Yang BC.On a Strengthened Version of the more Accurate Hardy-Hilbert＇s Inequality［J］. Acta Math. Sinica(N. S.)，1999，(42):1103 -1110.

［4］ Bicheng Yang.A Strengthened Hardy -Hilbert＇s Inequality［J］.Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society，2003，6(2):119 -124.

［5］ 隆建軍.較為精密的Hardy-Hilbert 不等式的一個(gè)加強(qiáng)［J］.井岡山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，33(4):25 -29.

［6］ 徐立治，王興華.數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講［M］.北京:高等教育出版社，1985:81 -98.