高顯彩， 單雪紅， 張麗慧

(1.宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州234000;2.宿州市第二中學(xué)，安徽 宿州234000)

0 引 言

休假排隊(duì)泛指服務(wù)臺(tái)在某些時(shí)候不能為顧客提供服務(wù)的排隊(duì)模型.在過去的20 年里，關(guān)于休假排隊(duì)模型的研究得到了廣泛而深入的研究［1～3］，在休假排隊(duì)模型中，服務(wù)員在休假期中完全停止服務(wù)，但可以從事輔助工作.2002 年，Servi 和Finn 引入了工作休假策略［4］:服務(wù)員在休假期并未完全停止工作，而是以較低的速率為顧客服務(wù). 他們研究了工作休假策略下的M/M/1 排隊(duì)，得到了穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)和相關(guān)排隊(duì)指標(biāo). 隨后，有學(xué)者對(duì)M/M/1 工作休假排隊(duì)進(jìn)行了研究［6～7］.本文研究工作休假策略下連續(xù)時(shí)間的M/G/1 排隊(duì). 若在工作休假期間服務(wù)員的服務(wù)速率減小為零，則工作休假排隊(duì)模型就成為了一個(gè)經(jīng)典休假排隊(duì)模型，所以，工作休假排隊(duì)模型是經(jīng)典休假排隊(duì)模型的擴(kuò)展.

1 系統(tǒng)描述

在工作休假的M/G/1 排隊(duì)中，顧客到達(dá)服從泊松分布，在服務(wù)忙期和休假期的服務(wù)時(shí)間都為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量且服從一般分布.在休假期服務(wù)員以較低的速率為顧客服務(wù)而不是完全停止服務(wù)，當(dāng)排隊(duì)隊(duì)列為空時(shí)服務(wù)員開始一個(gè)隨機(jī)長(zhǎng)度的工作休假.當(dāng)假期結(jié)束，如果隊(duì)列中有客戶，服務(wù)員更改到快速服務(wù)速率為顧客服務(wù)，在休假結(jié)束時(shí)服務(wù)中斷，回到正常工作狀態(tài);否則，開始另一個(gè)假期.連續(xù)兩個(gè)假期之間的時(shí)間間隔稱為一個(gè)服務(wù)期.在休假結(jié)束時(shí)，若隊(duì)列中沒有顧客服務(wù)期間的長(zhǎng)度為零.為了研究方便，我們使用以下符號(hào):

λ 為到達(dá)率;v(t)為一個(gè)工作休假長(zhǎng)度的概率密度函數(shù)(pdf);V(t)為一個(gè)工作休假長(zhǎng)度的分布函數(shù);H(t)為工作休假中服務(wù)時(shí)間的分布函數(shù);B(t)為服務(wù)期中服務(wù)時(shí)間的分布函數(shù);φ(s)為拉普拉斯變換(LT);Ψ(s)為H(t)拉普拉斯斯蒂階變換(LTS);β(s)為B(t)拉普拉斯斯蒂階變換(LTS);v 為V(t)的均值;b 為B(t)的均值.

2 模型求解

令Y(t)表示t 時(shí)刻M/G/1 隊(duì)列中的顧客數(shù)，設(shè)Y(0)= i(0 ≥)，轉(zhuǎn)移概率矩陣為:

其概率母函數(shù)為:

Γi(z，t)的LT 為:

τ(s)是滿足方程的最小非負(fù)根.

Ni(t)表示在時(shí)間間隔(0，t］被服務(wù)的顧客的數(shù)量.Ni(t)的LT 為:

X(t)表示t 時(shí)刻隊(duì)列中的顧客數(shù)，{X(n);n =0，1，2，…}為一個(gè)離散時(shí)間馬爾可夫鏈，X(n)表示在一個(gè)服務(wù)期間一個(gè)休假開始或一個(gè)服務(wù)開始時(shí)刻的隊(duì)列大小，在假期服務(wù)開始時(shí)刻不是一個(gè)馬爾可夫點(diǎn).{X(n);n = 0，1，2，…}的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為:pij= P{X(n+1)= j| X(n)= i};i，j = 0，1，2，…

當(dāng)X(n)=0 意味著第n 個(gè)馬爾可夫點(diǎn)為一個(gè)休假的開始時(shí)刻，則有，

若X(n)＞0，第n 個(gè)馬爾可夫點(diǎn)為在服務(wù)期中一個(gè)服務(wù)開始的時(shí)刻.因此有X(n+1)≥X(n)-1 和pij

假設(shè)馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的，極限分布為:

滿足平衡方程:

設(shè){πi;i = 0，1，2，…}的概率母函數(shù)為:Π(z)

由(7)式兩端同乘以zj對(duì)j = 0，1，2，…進(jìn)行求和得:

其中

是休假結(jié)束時(shí)刻隊(duì)列大小的概率母函數(shù).

為了說明(8)，(9)給出以下假設(shè)和引理.

假設(shè)1. 一個(gè)工作休假長(zhǎng)度的概率密度函數(shù)v(t)有拉普拉斯變換(LT)φ(s).

引理1［5］假設(shè)A(t)為一個(gè)具有指數(shù)階0 的函數(shù)，t ∈［0，∞)

備注1.方程(10)可為:

若Γ0(z，t)是指數(shù)階0，| Γ0(z，t)|≤1，| z|≤1.由引理1，方程(9)可為:

把(2)式代入(12)式得:

引理2［5］如果假設(shè)1 成立，c1＜c ＜c2，| z|≤1，則

在(13)式中當(dāng)z = 1 時(shí)

3 結(jié) 論

本文研究了空竭服務(wù)的M/G/1 多重工作休假，服務(wù)員在休假期并不是完全停止服務(wù)而是以不同的服務(wù)速率為顧客服務(wù)，在服務(wù)忙期和休假期的服務(wù)時(shí)間都為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量且服從一般分布.我們得到了穩(wěn)定狀態(tài)下列隊(duì)大小的分布和概率母函數(shù).有關(guān)M/G/1 工作休假的排隊(duì)系統(tǒng)有待于進(jìn)一步研究.

［1］ 田乃碩. 休假隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)［M］. 北京:北京大學(xué)出版社，2001.

［2］ 田乃碩，岳德權(quán). 擬生滅過程與矩陣幾何解［M］. 北京:科學(xué)出版社，2002.

［3］ Takagi H. Queueing Analysis，Vol. 3 Discrete - Time Systems［M］. North-Holland，1993.

［4］ L.D. Servi，S. G. Finn，M/M/1 Queues with Working Vacations (M/M/1WV)，Perform. Eval，2002，50(1):41 –52.

［5］ D. - A. Wu. Queueing Models for Multimedia Communication Networks.PhD Dissertation，Institute of Policy and Planning Sciences，University of Tsukuba，January 2004.

［6］ 樊劍武，趙曉華，田乃碩.帶有負(fù)顧客的M/M/1/N 單重工作休假排隊(duì)系統(tǒng)［J］. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2009，44(8):68-73.

［7］ 顧慶鳳，朱翼雋. 帶有負(fù)顧客且具有Bernoulli 反饋的M/M/1工作休假排隊(duì)［J］. 運(yùn)籌與管理，2008，17(3):64 -69.