趙 坤， 代少軍， 黃晉陽

(1.佳木斯大學理學院，黑龍江 佳木斯154007;2.天津工業(yè)大學理學院，天津300387;3.北京化工大學理學院，北京100029)

1 介 紹

設G = (V(G)，E(G))是一個簡單連通圖，頂點集為V(G)，邊集為E(G)，對任意的頂點u，v ∈V(G)，dG(u)(或者簡記為d(u))和dG(u，v)表示u 的度數(shù)和u，v 的距離(即最短路徑的邊數(shù)目). 如果d(u)= 1，則u 稱為G 的一個懸掛點.稱uv ∈E(G)為一條邊，是指u，v 以為結(jié)束頂點的邊.設G1∪G2表示一個包含G1和G2兩個分支的非連通圖，kG 表示k(≥0)個圖G 的組合，圖G1和G2的交G1∨G2表示滿足頂點集為V(G1∨G2)= V(G1∪G2)及邊集為E(G1∨G2)= E(G1)∪E(G2)∪{uv:u ∈V(G1)，v ∈V(G2)}的圖.通常，Kn，Pn及Cn分別表示n 個頂點的完全圖，路徑圖及圈圖.特別地，K1表示一個孤立點. 一個圖稱為仙人掌圖，或樹形圖，是指它的任何圈最多有一個公共頂點［1，2］. 如果仙人掌圖的所有圈僅有一個公共頂點，則稱G 為叢圖［1］.本文要研究的就是這類特殊的圖.設G(n，c)表示有n 個頂點和c 個長度為3 的圈的叢圖，如圖1.這里n ≥2c+1 且c ≥0.有定義，我們得到G(n，c)= K1∨(cK2∪(n-2c-1)K1).

Schultz［3］在1989 年介紹了用一個結(jié)構圖論的整數(shù)描繪了烷烴的特征，命名為Schultz 指數(shù)，定義為

通過修改公式(1)，Gutman［4］定義了修正Schultz指數(shù)，即

Schultz 指數(shù)和Schultz 修正指數(shù)是利用數(shù)學性質(zhì)研究某些化學結(jié)構的拓撲指數(shù)之一，它們與許多的有機化合物的物理化學性質(zhì)有密切的關系，特別是QSPR 和QSAR 性質(zhì).此類研究在參考文獻［5 ～8］中有顯見.

本文就主要考慮G(n，c)圖的Schultz 指數(shù)和Schultz 修正指數(shù)，并對指數(shù)進行排序.

圖1 G(n，c)圖

2 G(n，c)圖的Schultz 指數(shù)

定理1 對任意的整數(shù)對(n，c)

這里n ≥2c +1 且c ≥1.

證明: 設v 表示圖G(n，c)的中心頂點. 為了便于計算，我們將G(n，c)圖的頂點分成三類.第一類為cK2中的頂點，第二類為頂點v，第三類為(n-2c -1)K1中的頂點.利用公式(1)，得到

(i)u，v 為第一類頂點，則貢獻Schultz 指數(shù)為:

(ii)u，v 為分別第一類和第二類頂點，則貢獻Schultz 指數(shù)為:

(iii)u，v 為第三類頂點，則貢獻Schultz 指數(shù)為:

(iv)u，v 為分別第二類和第三類頂點，則貢獻Schultz 指數(shù)為:

(v)u，v 為分別第一類和第三類頂點，則貢獻Schultz 指數(shù)為:

綜合上面的計算，我們得到定理1 的結(jié)論.

引理1 對于固定的n，S(G(n，c))關于變量c是單調(diào)遞增的.

證明: 由定理1，有

得證S(G(n，c))是單調(diào)遞增的.

顯然，由引理1，得到定理2，對Schlutz 指數(shù)S(G(n，c))進行了排序.

定理2 對固定的n，S(G(n，c))的排序為S(G(n，1))＜S(G(n，2))＜… ＜S(G(n，c0))這里c0滿足0 ≤n -2c0-1 ≤1.G(n，1)具有最小的Schlutz 指數(shù).

3 G(n，c)圖的Schultz 修正指數(shù)

定理3 對任意的整數(shù)對(n，c)

這里n ≥2c +1 且c ≥1.

證明: 設v 表示圖G(n，c)的中心頂點. 為了便于計算，我們將G(n，c)圖的頂點分成三類.第一類為cK2中的頂點，第二類為頂點v，第三類為(n-2c -1)K1中的頂點.利用公式(1)，得到

(i)u，v 為第一類頂點，則貢獻Schultz 修正指數(shù)為:

(ii)u，v 為分別第一類和第二類頂點，則貢獻Schultz 修正指數(shù)為:

(iii)u，v 為第三類頂點，則貢獻Schultz 修正指數(shù)為:

(iv)u，v 為分別第二類和第三類頂點，則貢獻Schultz 修正指數(shù)為:

(v)u，v 為分別第一類和第三類頂點，則貢獻Schultz 修正指數(shù)為:

綜合上面的計算，我們得到定理2 的結(jié)論.

引理2 對于固定的n，S*(G(n，c))關于變量c 是單調(diào)遞增的.

證明: 由定理3，有

得證S(G(n，c))是單調(diào)遞增的.

顯然，由引理2，我們得到定理4，對Schlutz修正指數(shù)S*(G(n，c))進行了排序.

定理4 對固定的n，S*(G(n，c))的排序為S*(G(n，1))＜S*(G(n，2))＜… ＜S*(G(n，c0))這里c0滿足0 ≤n -2c0-1 ≤1. G(n，1)具有最小的Schlutz 修正指數(shù).

4 結(jié) 論

通過上面的定理2 和4，能夠知道在所有G(n，c)圖中，當圖的頂點數(shù)目n 固定時，圖G(n，1)是同時具有最小Schlutz 指數(shù)和最小Schlutz 修正指數(shù)的圖.

［1］ Borovicanin B，Petrovic M. On the Index of Cactuses with n Vertices［J］. Publications Deinstitut Mathematique (Beograd)，2006，79(93):13 -18.

［2］ Radosavljevic Z，Rasajski M. A Class of Reflexive Cactuses with Four Cycles［J］. Publikacije ElektrotehnickogFakulteta-serija:Matematika，2003，14:64 -85.

［3］ Schultz H P. Topological Organic Chemistry. 1. Graph Theory and Topological Indices of Alkanes［J］. Journal of Chemical Information and Computer Science，1989，29(3):227 -228.

［4］ Gutman I. Selected Properties of the Schultz Molecular Topological Index［J］. Journal of Chemical Information and Computer Science，1994，34(5):1087 -1089.

［5］ Xiao Z M，Chen S，Li J F. The Modified Schultz Index of Nanotubes Covered by［J］. Journal of Computational and Theoretical Nanoscience，2009，6:662 -666.

［6］ Xiao Z M，Chen S. The Modified Schultz Index of Armchair Polyhex Nanotubes［J］. Journal of Computational and Theoretical Nanoscience，2009，6:1109 -1114.

［7］ Chen S. Modified Schultz Index of Zig-Zag Polyhex Nanotubes［J］. Journal of Computational and Theoretical Nanoscience，2009，6:1494 -1498.

［8］ Chen S，Xia F L. The Modified Schultz Index of Nanotubes［J］.Journal of Computational and Theoretical Nanoscience，2009，6:1499 -1503.