李路雷，蔡忠清，惠 升，徐培民

（安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽馬鞍山 243002）

軸向運(yùn)動紙幅－氣墊耦合系統(tǒng)平衡態(tài)分析?

李路雷，蔡忠清，惠 升，徐培民

（安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽馬鞍山 243002）

造紙工業(yè)中采用正弦氣浮干燥器對紙幅進(jìn)行非接觸傳輸并干燥時(shí)，軸向運(yùn)動紙幅的橫向變形與干燥器氣墊區(qū)域的氣體壓力是相耦合的。為獲得平衡狀態(tài)下的紙幅變形和氣墊區(qū)壓力分布這兩項(xiàng)重要的工藝參數(shù)，需要將紙幅和氣墊作為一個(gè)相互耦合的系統(tǒng)來研究。考慮一維模型，將紙幅近似為恒張力作用下的軸向運(yùn)動Euler－Bernoulli梁，并設(shè)氣墊區(qū)域的氣體壓力滿足不可壓縮非定常流動的連續(xù)性方程和N－S方程，建立了紙幅和氣墊的控制方程及耦合條件。采用有限差分法和Newton－Raphson法對氣墊區(qū)的平衡壓力和紙幅變形進(jìn)行數(shù)值求解。最后，對紙幅傳輸速度，紙幅牽引張力等運(yùn)行參數(shù)對所述系統(tǒng)平衡態(tài)的影響進(jìn)行了討論。

紙幅變形；氣墊壓力；耦合系統(tǒng)；平衡態(tài)

1 引 言

氣墊干燥器廣泛應(yīng)用于熱處理線上非接觸穩(wěn)定地支承、傳輸并干燥塑料、紙張等帶狀制品，以保證帶狀制品表面涂層質(zhì)量［1］。作為氣墊干燥器的一種，正弦曲線氣浮干燥器廣泛應(yīng)用于涂布紙，特別是銅板紙干燥過程［2］。由于紙幅抗彎剛度小且跨度大，在氣墊區(qū)壓力的作用下，不可避免地會發(fā)生彎曲變形，甚至產(chǎn)生振動，紙幅的彎曲變形和振動會進(jìn)一步導(dǎo)致氣墊區(qū)壓力分布不均。因此，紙幅的變形和氣墊區(qū)壓力分布的變化是相互耦合的。傳統(tǒng)的針對剛性壁面計(jì)算氣墊壓力分布的附壁邊界理論［3］不再適用。為保證紙幅在干燥過程中表面不受擦傷并保持高速穩(wěn)定運(yùn)行，必須在考慮紙幅變形的基礎(chǔ)上來計(jì)算氣墊區(qū)的壓力分布。理論上，這需利用氣墊區(qū)夾帶空氣處的連續(xù)性條件和平衡條件的微分形式來建模，并聯(lián)立求解紙幅的控制方程和氣墊區(qū)的壓力方程［4］，即對紙幅－氣墊耦合系統(tǒng)進(jìn)行平衡態(tài)分析。這也是進(jìn)一步對該耦合系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)分析的基礎(chǔ)。

HYUN－Ki CHO［5］以軸向運(yùn)動的帶狀制品越過一個(gè)壓力氣墊箱為研究對象，通過彈性理論和流體動力學(xué)建立了系統(tǒng)的氣彈性力學(xué)模型，通過有限差分法對系統(tǒng)平衡態(tài)進(jìn)行求解。然而，由于其研究對象略顯簡單，并沒有考慮相鄰氣墊區(qū)間的壓力耦合，因此并不能完全適用于工程中較為常用的正弦曲線氣浮干燥器。

磁帶驅(qū)動器中磁帶和其跨度間的單個(gè)記錄頭所組成的耦合系統(tǒng)與紙幅－氣墊耦合系統(tǒng)類似，其平衡態(tài)的研究主要集中在為確定磁帶平衡變形和平衡壓力分布的計(jì)算方法上。Stahl［6］采用基于磁帶和雷諾方程空間離散的有限差分法對流體非定常控制方程進(jìn)行離散，得到空間節(jié)點(diǎn)的一系列常微分方程，并對時(shí)間積分，直至達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。此種方法雖可經(jīng)受數(shù)值不穩(wěn)定的考驗(yàn)，但卻需要大量計(jì)算。Adams［7］則采用有限單元法對磁帶和雷諾方程穩(wěn)態(tài)形式離散得到系統(tǒng)的耦合、非線性的代數(shù)方程，并采用Newton－Raphson方法進(jìn)行求解，由于雅可比矩陣是顯式的，因此此種方法求解速度得到了提高。Lakshmikuma?ran［8］采用節(jié)點(diǎn)自動分配的方法來減少非線性方程的數(shù)目，從而提高了求解磁帶平衡態(tài)位形和氣體平衡壓力的速度，發(fā)展了求解系統(tǒng)平衡態(tài)并可減小計(jì)算工作量的數(shù)值求解方法。

本文以正弦氣浮干燥器對紙幅進(jìn)行氣浮非接觸干燥為背景，以紙幅與兩個(gè)相對交錯(cuò)布置的氣墊箱所組成的耦合系統(tǒng)為研究對象，建立其數(shù)學(xué)模型，并對系統(tǒng)的平衡態(tài)進(jìn)行分析求解，得到氣墊區(qū)的壓力分布和紙幅的變形，為工程中同類或更為復(fù)雜的氣墊干燥系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

2 紙幅－氣墊耦合系統(tǒng)建模

在采用氣浮干燥器對紙幅進(jìn)行氣浮干燥的生產(chǎn)線上，由于兩傳送輥之間的紙幅長寬比較大，為便于問題的分析及模型的簡化，考慮一維模型，將紙幅視為恒定張力牽引下并以恒定速度軸向移動的Euler－Bernoulli梁，紙幅兩端邊界可視為鉸支，并考慮正弦氣浮干燥器的典型布置，建立如圖1所示的最簡單力學(xué)模型。

圖1 軸向運(yùn)動紙幅－氣墊耦合系統(tǒng)力學(xué)模型示意圖

紙幅在恒定牽引張力F的作用下以恒定的速度vp越過由兩個(gè)相對交錯(cuò)布置的氣墊箱所組成的氣墊箱組，兩氣墊箱工作表面與紙幅的初始距離均為δ，氣墊箱噴口間距為wa。紙幅在其跨度空間x∈（0，L）上的變形用y（x，t）表示；氣體在氣墊區(qū)域x∈（xLi，xRi）上所形成的氣墊壓力用pi（x，t）表示，氣墊箱工作表面與紙幅間距用hi（x，t）表示。

2.1 紙幅的控制方程

設(shè)紙幅截面面密度為m，單位寬度上的抗彎剛度為EI，張力為T，跨度上的壓力分布為pp（x，t），則軸向勻速運(yùn)動紙幅橫向振動的控制方程［9］為：

由于pp（x，t）僅在x∈（xL1，xR1）∪（xL2，xR2）上存在，因此，根據(jù)單位階躍函數(shù)H（x）的加窗特性［10］，pp（x，t）可表示為：

據(jù)此，方程式（1）可進(jìn)一步表示為：

由于紙幅兩端視為鉸支，則有邊界條件

2.2 氣墊區(qū)域氣體的控制方程

正弦曲線氣浮干燥器在工作過程中氣墊區(qū)氣體的流動形態(tài)較為復(fù)雜。為便于問題分析，引入如下假設(shè)：①氣體是不可壓縮的粘性牛頓流體，且滿足流體的連續(xù)性方程和N－S方程；②氣墊箱足夠?qū)?，即氣體的側(cè)流可以忽略不計(jì)；③氣流幾乎全部平行于x軸流動，并忽略氣流的橫向壓力梯度，認(rèn)為氣體壓力僅是截面位置x的函數(shù)；④氣浮干燥器在工作過程中，通過壓力控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)控制，氣墊箱供應(yīng)壓力保持恒定。

根據(jù)以上所作假設(shè)，并由流體的連續(xù)性方程和N－S方程，在氣墊區(qū)域x∈［xLi，xRi］上的氣體控制方程［5］為：

Qi為流經(jīng)氣墊箱單個(gè)噴口的流量：

其中：ρ為空氣密度；ν為空氣的運(yùn)動粘度；b為噴口寬度；Cd為噴口的流速系數(shù)。

摩擦系數(shù)fi取決于流體的流動狀態(tài)，需以流量Qi的形式來表達(dá)，工程中氣墊區(qū)氣體的流動以湍流為主，故摩擦系數(shù)fi可表示為［5］：

由圖1可知，紙幅的橫向變形和氣墊層厚度之間有如下耦合條件：

2.3 紙幅和氣體控制方程無量綱化

為便于問題的分析以及書寫的簡潔，以無量綱的形式來表示紙幅和氣體的控制方程式（3）～（9），引入獨(dú)立變量：

通過上述變量及參數(shù)的定義，紙幅－氣墊耦合系統(tǒng)控制方程可以以無量綱的簡潔形式來表示，其中，在∈（0，1）上，軸向移動紙幅的無量綱的動力學(xué)方程：

3 平衡態(tài)分析

將式（20）、（23）和（25）代入方程式（26）中，氣體在氣墊區(qū)的平衡壓力可表示為：

方程式（27）是一階微分方程，對其求解則需要一個(gè)邊界條件，這個(gè)條件可由附壁邊界理論給出，應(yīng)用Stanton－Jones的厚壁噴口理論［3］，有：

以上就是紙幅－氣墊耦合系統(tǒng)的氣彈性方程，格林函數(shù)法是求解此類帶有邊界條件非齊次微分方程的有效方法。為構(gòu)建方程式（22）的格林函數(shù)，可將其表示成如下形式

式中：α＝，與紙幅的材料、結(jié)構(gòu)及運(yùn)行參數(shù)有關(guān)。

與方程式（29）相關(guān)聯(lián)的格林函數(shù)為：

方程式（30）表示在≤有單位集中載荷。

由于方程式（30）是線性非齊次微分方程，故滿足疊加原理。將方程式（30）寫成一般形式：

根據(jù)單位階躍函數(shù)的性質(zhì)，以及兩端簡支軸向移動Euler－Bernoulli梁的邊界條件（17）、在處的連續(xù)性條件及剪力條件，可得方程式（31）的解，即兩端簡支軸向移動Euler－Bernoulli梁的格林函數(shù)［4］為：

格林函數(shù)又可稱為結(jié)構(gòu)影響系數(shù)或柔度，它表示紙幅在處作用一單位集中力時(shí)，紙幅在 處的彎曲變形。

由式（29），紙幅的實(shí)際變形可以以氣墊壓力卷積的形式來顯示表達(dá)：

這樣，由于紙幅的實(shí)際變形可以以氣墊壓力卷積的形式來顯示表達(dá)，通過上述方式，將紙幅的變形嵌入到壓力方程中，從而避免彈性方程和壓力方程間的迭代聯(lián)立求解。此外，由于采用這樣的方法只有壓力被離散化，因此，數(shù)值求解系統(tǒng)的平衡態(tài)只需要較少的自由度。

4 有限差分法數(shù)值求解

4.1 有限差分法離散

為便于對壓力方程式（34）進(jìn)行數(shù)值求解，將紙幅在其跨度空間離散化，紙幅跨度區(qū)間及其區(qū)間節(jié)點(diǎn)數(shù)如表1所示。表中：總節(jié)點(diǎn)數(shù)N＝n1＋n2＋n3＋n4＋n5。

表1 節(jié)點(diǎn)在紙幅跨度上的分布

與空間節(jié)點(diǎn)n所對應(yīng)的無量綱坐標(biāo)為：

平衡壓力式（34）和式（35）可用前差分方法和梯形公式離散，對于n＝n1＋1，n1＋2，…，n1＋n2－1：

由式（40）、（41）、（45）、（46）中可以看出，不僅氣墊區(qū)1和氣墊區(qū)2的氣體壓力與紙幅相耦合，而且，氣墊區(qū)1和氣墊區(qū)2的氣體壓力通過紙幅的變形同樣是相互耦合的。

4.2 Newton－Raphson法數(shù)值求解

平衡態(tài)的數(shù)值求解可采用Newton－Raphson數(shù)值方法［11］來計(jì)算

是一系列非線性代數(shù)方程。計(jì)算時(shí)從所估計(jì)的初始壓力開始迭代計(jì)算，直至平衡壓力偏差在誤差所設(shè)定的允許范圍之內(nèi)。

4.3 計(jì)算實(shí)例及討論

對紙幅－氣墊耦合系統(tǒng)的平衡態(tài)采用有限差分法和Newton－Raphson法進(jìn)行數(shù)值仿真分析，圖1所示紙幅－氣墊耦合系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)如下［5］：L＝0.380 m，m＝0.15 kg／m2，EI＝8.64×10－4N·m，T＝30 N／m，vp＝0，xC1＝0.25L，xC2＝0.75L，p01＝690 Pa，p02＝690 Pa，wa＝0.1m，b＝0.003 m，Cd＝0.85，σ＝0.002 m，ρ＝1.21 kg／m3，v＝1.514×10－5m2／s。根據(jù)以上參數(shù)，數(shù)值求解所得到平衡態(tài)時(shí)氣墊區(qū)域的壓力分布和紙幅在其跨度上的變形如圖2、圖3所示。

圖2 氣墊區(qū)壓力分布

圖3 紙幅在其跨度上的變形

由于氣墊箱1和氣墊箱2的中心位置分別位于紙幅跨度的1／4，3／4處，且平衡態(tài)時(shí)紙幅的速度為0，因此，圖2所示的氣墊區(qū)1和氣墊區(qū)2的壓力分布均呈現(xiàn)中間高、兩端低的趨勢，并且關(guān)于各自氣墊中心對稱。由于作用在紙幅跨度上的氣墊壓力載荷呈反對稱分布，因此，圖3所示的紙幅彎曲變形呈現(xiàn)為一個(gè)完整的正弦波狀曲線。

紙幅在運(yùn)行過程中，其運(yùn)行速度和牽引張力是兩項(xiàng)極為重要的操作參數(shù)。下面針對這兩項(xiàng)參數(shù)對系統(tǒng)平衡態(tài)的影響進(jìn)行分析。由于工程中的氣墊箱均呈現(xiàn)對稱布置，氣墊區(qū)1和氣墊區(qū)2的壓力分布基本一致，因此，下文僅給出氣墊區(qū)1的壓力分布。

4.3.1 紙幅速度對系統(tǒng)平衡態(tài)的影響

僅改變紙幅傳輸速度，其他參數(shù)保持不變，所得紙幅速度對系統(tǒng)平衡態(tài)的影響如圖4、圖5所示。

圖4 紙幅速度對氣墊區(qū)壓力的影響

從圖4中可以看出，隨著紙幅移動速度的增加，氣墊區(qū)的壓力逐漸減小，并且壓力減小的速度急劇增加。從圖5中可以看出，隨著紙幅移動速度的增加，紙幅的變形逐漸增大。究其原因，從方程式（1）中可以看出，如果運(yùn)動速度足夠大而達(dá)到紙幅的臨界速度vc，紙幅可能發(fā)生壓桿失穩(wěn)現(xiàn)象，因此，隨著紙幅速度的增加，紙幅的穩(wěn)定性變差，相應(yīng)的變形越來越大。紙幅變形的增大，又會使氣墊區(qū)高度逐漸增加，從而導(dǎo)致氣墊區(qū)壓力的減小。因此，為便于生產(chǎn)現(xiàn)場紙幅的穩(wěn)定和氣墊區(qū)壓力的維持，實(shí)際操作中，紙幅的移動速度不宜太高。

圖5 紙幅速度對紙幅變形的影響

4.3.2 紙幅牽引張力對系統(tǒng)平衡態(tài)的影響

改變紙幅牽引張力，其他參數(shù)保持不變，所得紙幅牽引張力對系統(tǒng)平衡態(tài)的影響如圖6、圖7所示。

圖6 紙幅牽引張力對氣墊區(qū)壓力的影響

圖7 紙幅牽引張力對紙幅變形的影響

從圖6、圖7中可以看出，隨著牽引張力的增加，紙幅的變形逐漸減小，而氣墊區(qū)的壓力則逐漸增加。這是因?yàn)?，紙幅張力的增加提高了系統(tǒng)的剛度，紙幅的變形相應(yīng)減小，紙幅變形的減小使得紙幅和氣墊箱工作表面的間距減小，從而使得氣墊區(qū)的壓力得以提高。因此，生產(chǎn)現(xiàn)場在工藝參數(shù)調(diào)整時(shí)，在保證紙幅強(qiáng)度的條件下適當(dāng)增加紙幅張力有利于維持氣墊區(qū)的壓力穩(wěn)定。

5 結(jié) 論

以工程中應(yīng)用較為廣泛的正弦氣浮干燥器對紙幅進(jìn)行氣浮非接觸干燥為背景，對紙幅－氣墊耦合系統(tǒng)進(jìn)行建模，建立了紙幅和氣墊區(qū)氣體的控制方程和邊界條件，采用有限差分法對壓力方程進(jìn)行空間離散，并采用Newton－Raphson法對系統(tǒng)平衡態(tài)進(jìn)行數(shù)值求解，獲得了氣墊區(qū)的壓力分布和紙幅的平衡位形。最后針對紙幅移動速度和紙幅張力對氣墊區(qū)壓力分布和紙幅變形的影響進(jìn)行了討論，結(jié)果發(fā)現(xiàn)減小紙幅牽引速度并提高的紙幅的牽引張力有利于氣墊區(qū)壓力的維持和紙幅穩(wěn)定性的提高。

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The Equilibrium Analysis of Coupling System between Axially Moving Paper and Air Cushion

LI Lu－lei，CAI Zhong－qing，HUI Sheng，Xu Pei－min
（School of Mechanical Engineering，Anhui University of Technology，Maanshan Anhui 243032，China）

The sine curve gas floating dryer is widely applied to transport and dry the paper without contact in paper industry.To the extent that transverse deformation of axial moving paper couples with the air pressure in air cushion area.In order to ob?tain these two important process parameters in equilibrium state，it is necessary to regard the paper and air cushion as a cou?pling system.In the one－dimensional model considered here，the paper is approximated as an axially moving Euler－Bernoulli beam under tension，and the air pressure in the bearing region satisfies continuity equation andN－Sequation for unsteady in?compressible flow，the governing equations and coupling condition for the paper and the air cushion are established.The equi?librium pressure in air cushion area and the paper deformation are determined through finite difference method and Newton－Raphson method.Finally，the dependence of the system′s equilibrium state on the transport speed and traction tension is dis?cussed.

paper transverse deformation；air cushion pressure；coupling system；equilibrium state

O39

A

1007－4414（2013）04－0017－06

2013－05－28

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（50975003）

李路雷（1989－），男，安徽阜陽人，碩士，主要從事機(jī)械動力學(xué)研究方面的工作。