王永弟，丁海勇

（1.南京信息工程大學 遙感學院，江蘇 南京 210044）

2種新的多種觀測量聯(lián)合平差定權方法

王永弟1，丁海勇1

（1.南京信息工程大學 遙感學院，江蘇 南京 210044）

Helmert方差分量估計方法已被廣泛用于測量平差觀測量的定權中，但是，實際應用中該方法卻存在不收斂的現(xiàn)象。為此，將信息熵和變異系數(shù)引入測量平差，提出了2種新的處理不同類型觀測量、同類型不同精度觀測值、甚至同類型同精度觀測值進行定權的方法。數(shù)值實驗表明，提出的方法效果優(yōu)于Helmert方法。

Helmert方差分量；測量平差；信息熵權；變異系數(shù)

1 Helmert方差分量估計

Helmert方差分量估計是由Helmert在1924年提出的一種驗后方差分量估計方法，主要用于解決各類觀測值的權重分配不合理的問題[1]。在此后的幾十年中，人們在理論上對該方法進行了充分的研究，并且在實際應用中對該方法的平差效果進行了分析。付新啟[2]通過數(shù)值實驗對用Helmert方差估計方法進行了驗證，認為初始權的選擇對迭代平差的結果沒有影響。范百興等[3]將Helmert方差分量應用于跨河水準測量中，通過迭代計算確定2類觀測值權的關系。成英燕等[4]就Helmert方差分量簡化算法及Baumker簡化公式用于聯(lián)合平差中方差分量估計問題進行了討論。張朝玉等[5]在Helmert公式的基礎上，推導了多類觀測數(shù)據(jù)聯(lián)合平差中方差分量估計的序貫算法。李希峰等[6]對Helmert方差分量估計在混合水準網(wǎng)平差中的應用進行了研究。武艷強等[7]對Helmert方差分量估計及其近似公式在導線網(wǎng)平差中的應用進行了研究，認為導線網(wǎng)的網(wǎng)形、邊長等因素會影響Helmert方差估計的收斂性。劉長建等[8]采用LS估計的迭代形式調(diào)整2類觀測值權比，同時對現(xiàn)有類型方差分量估計公式進行了擴展[9]。這些研究總體上都是在Helmert驗后方差分量估計的基礎上的應用研究，但實際上Helmert理論與實際運用之間存在較大的差異。Helmert方法存在如下缺陷：

1）不同類型觀測量定權問題。Helmert方差分量估計的主要思路是，根據(jù)經(jīng)驗定權，從先驗方差因子初值出發(fā)估計各類觀測值的方差因子，然后再據(jù)此重新進行定權，再平差，循環(huán)往復，直至各類觀測量的方差因子相等為止[1]。以本文將要介紹的實例1為例，利用Helmert算法進行迭代定權，效果如圖1、圖2所示。

圖1 迭代123次

圖2 迭代2 865次

在迭代過程中，平均點位誤差并不隨迭代次數(shù)的增加而減小，且無明顯規(guī)律，圖形呈鋸齒狀，即Helmert迭代不總是收斂的，會出現(xiàn)無數(shù)個異常值。迭代123次時，異常值比例為41.46%，最優(yōu)平均點位誤差為±10.007 mm；迭代2 865次時，異常值比例為12.32%，最優(yōu)平均點位誤差為±14.204 mm。因此，Helmert方差分量迭代定權時，存在較大風險。

2）同類觀測量不同精度觀測值定權問題。在進行跨河水準測量時，由于水準網(wǎng)中含有2種不同精度的觀測量，在定權時會出現(xiàn)無數(shù)個異常值。因此，利用Helmert方差分量迭代進行同類觀測量不同精度觀測值定權時，亦存在較大風險。

3）同類觀測量同精度觀測值定權問題。同類型觀測量相同精度觀測值的權重也并不總是相同的。例如在水準網(wǎng)平差中，每一次觀測都會有偶然誤差，無論是按測站數(shù)定權還是按距離公里數(shù)定權都沒有考慮每一觀測值讀數(shù)帶來的誤差，因此，在平差結果中會帶來較大的計算誤差。Helmert方法并不能解決這種不合理的定權問題。

4）負方差問題。Helmert方差分量估計還存在負方差的問題[10-12]，吳曉清[13]提出的Helmert-WF方法較好地彌補了Helmert方法中的缺陷，但仍未解決超過2類觀測值的驗后估計的問題。

本文針對以上不合理的定權問題，將信息熵和變異系數(shù)引入測量平差，提出了2種新的適合處理不同類型觀測量、同類型不同精度觀測值、同類型同精度觀測值的定權方法。

2 熵權理論定權與變異系數(shù)定權

2.1 信息熵賦權法

信息熵賦權法，即熵權法是根據(jù)被評價對象的指標值構成的判斷矩陣來確定指標權重的一種方法，具有較強的客觀性[14-15]。其基本原理是：對多指標決策問題，從m個可行方案中選最優(yōu)方案。它取決于這m個可行方案的各個指標向決策者提供的決策信息。誰提供決策的確定信息量大，誰對決策做的貢獻就大，從而該指標的權重值也就越大。

利用熵權法確定影響因素的權重步驟如下：

1）對原始數(shù)據(jù)矩陣X進行無量綱化處理得到標準化矩陣 R=(rij)m×n，2）由標準化矩陣R=(rij)m×n求影響因子的出現(xiàn)概率Pij：

3）求第j個影響因子輸出的信息熵Ej：

式中，0≤Ej≤1。

4）將第j個影響因子的熵權Dj定義為：

Dj與式（2）中Pij的乘積便是第i個觀測值的權，記為Pi，也就是熵權法的定權結果。

2.2 變異系數(shù)賦權法

變異系數(shù)法是直接利用各項指標所包含的信息，通過計算得到指標的權重[15,16]，是一種客觀賦權的方法。其基本思想是：在評價指標體系中，指標取值差異越大、也就是越難以實現(xiàn)的指標，更能反映被評價項目的差距。

評價指標體系中的各項指標量綱不同，不宜直接比較其差別程度。為了消除這種影響，需要用各項指標的變異系數(shù)來衡量各項指標取值的差異程度。各項指標的變異系數(shù)公式如下：

式中，Vj是第j項指標的變異系數(shù)，也稱為標準差系數(shù)；σj是第j項指標的標準差；xj是第j項指標的平均數(shù)。各項指標的權重為：

Wj與式（2）中Pij的乘積便是第i個觀測值的權，記為Pi，也就是變異系數(shù)法的定權結果。

3 實例應用

3.1 不同類型觀測量定權問題

本例取自文獻[17]第137頁中的例7-11。本例中有17個觀測值（其中10個角度觀測值，7個邊長觀測值），5個待定點（D、E、F、G、H），必要觀測數(shù)t=10。分別按4種方案（即經(jīng)驗定權、Helmert迭代定權、按熵權理論定權、按變異系數(shù)定權）進行平差，平差后各待定點的點位中誤差列于表1。

表1 導線網(wǎng)觀測值平差結果/mm

從平均點位誤差來看，方案3最優(yōu)（±9.78 mm），方案1最差（±16.87 mm），后3種方案中方案4稍差，但從總體上，后3種方案均優(yōu)于方案1。其原因是：前2種方案中角度觀測值的權都是1，而在后2種方案中，所有角權和邊權都發(fā)生了較大變化，其權重比例進行了徹底的重新分配，使權重分配更加合理。相對于經(jīng)驗定權方法，后面3種方法都能使最后的平差結果精度有所提高，其中，熵權理論結果最好，變異系數(shù)方案結果稍差。

3.2 同類觀測量不同精度觀測值定權問題

此類問題文獻[3]、[6]已經(jīng)作了詳細的研究，本文不再贅述。

3.3 同類觀測量同精度觀測值定權問題

本例中的水準網(wǎng)取自文獻[17]第104頁的例7-1。本例中觀測值有5個（h1~h5），待定點有3個（B、C、D），由于本例中討論的是同類觀測量同精度觀測值的情況，Helmert方案在這里不適用，故表2只列出其余3種方案的結果。為了便于比較，每個觀測值的權作了標準化處理。

表2 水準網(wǎng)觀測值平差結果/mm

從表2平差后待定點的平均中誤差來看，方案4最優(yōu)（±9.045 8 mm），方案3、4非常接近，方案1最差（±10.380 8 mm）。相對于方案1，方案3、4的定權結果都發(fā)生了較大變化，各觀測值之間的權重比例進行了重新分配，并且后2種方案的定權結果基本趨于一致。后2種定權方案的高差觀測值和待定點平差值的精度都有所提高，采用熵權理論和變異系數(shù)定權最后的平差結果非常接近。

4 結 語

各個觀測值的權重分配在測量平差中是很重要的，無論在導線網(wǎng)平差還是普通的水準網(wǎng)中，采用經(jīng)驗定權方法都不是最合理的，無論是在導線網(wǎng)中將同精度觀測角度視為等權觀測，還是在水準網(wǎng)中按距離公里數(shù)定權的做法，都比較片面，最終平差的結果會受到不同程度的影響。采用Helmert定權方法要冒很大的風險，因為Helmert方差分量估計在實踐中不是很理想。

權重的分配對平差結果具有明顯影響，觀測值精度高低是由所受的不同因素的影響共同決定，因此，在定權時應綜合考慮不同因素的影響大小。如果各個觀測值的權重分配比較科學合理，則能有效提高平差結果的精度。無論是采用熵權理論定權，還是采用變異系數(shù)定權，其平差結果均優(yōu)于經(jīng)驗定權法，其計算量都少于Helmert方法，并且能夠用在同類觀測量同精度觀測值定權問題中。信息熵法和變異系數(shù)法都能夠更加合理地確定測量平差中各觀測值的權重比例，都能夠有效地提高平差值的精度。相對于傳統(tǒng)方法來說，都是更加優(yōu)越的定權方法。

[1] 武漢測繪科技大學測量平差教研室. 測量平差基礎[M] . 北京：測繪出版社，1996

[2] 付新啟. 用赫爾默特方差估計進行迭代平差的初始權問題[J].河北建筑科技學院學報，1997（4）：53-56

[3] 范百興，李廣云. Helmert方差分量估計在跨河水準測量中的應用[J].測繪學院學報，2004（3）：106-109

[4] 成英燕，程鵬飛. 聯(lián)合平差中的方差分量估計問題的探討[J].測繪科學，2005（2）：51-54

[5] 張朝玉，陶本藻，時晉. 多類觀測量聯(lián)合平差中方差分量估計的序貫算法[J].大地測量與地球動力學，2005（3）：34-38

[6] 李希峰，岳東杰，衛(wèi)柳艷. 赫爾默特方差分量估計在混合水準網(wǎng)平差中的應用[J].現(xiàn)代測繪，2005（5）：20-22

[7] 武艷強，黃立人. 赫爾默特方差分量估計及其近似公式在導線網(wǎng)平差中的應用[J].測繪通報，2006（4）：1-5

[8] 劉長建，吳洪舉，黃勇. 一種調(diào)整兩類觀測值權比的新方案[J].測繪通報，2006（9）：47-48，68

[9] 劉長建，柴洪洲，吳洪舉，等. 擴展的Helmert型方差分量估計公式[J]. 測繪學報，2008（1）：1-4

[10] 劉大杰，于正林. 廣義平差原理（下）[M] . 武漢：武漢測繪科技大學，1985

[11] 李德仁. 攝影測量平差系統(tǒng)的誤差處理和可靠性理論（上）[M] . 武漢：武漢測繪科技大學，1985

[12] 吳曉清. 權因子方差分量估計[D] . 武漢：武漢測繪科技大學，1988

[13] 吳曉清. Helmert-WF（權因子）方差分量估計[J].武漢測繪科技大學學報，1992（4）：1-10

[14] 任玉瓏，劉煥，望玉麗，等. 基于熵權法和支持向量機的中長期電力負荷預測[J].統(tǒng)計與決策，2009（14）：46-48

[15] 姜君. 基于熵權與變異系數(shù)組合賦權法的模糊綜合評價模型[D].北京：首都師范大學碩士，2011

[16] 賈玲玲. 條件變異系數(shù)的非參數(shù)估計方法[D]. 濟南：山東大學，2006

[17] 武漢大學測繪學院測量平差學科組. 誤差理論與測量平差基礎[M]. 武漢：武漢大學出版社，2003

[18] 王永弟，許承權. 運用多參數(shù)的信息擴散估計的導線網(wǎng)平差[J]. 地理空間信息，2012，10（3）：91-93，96

Two New Methods of Determining Weight for Multiple Observations in the Process of Jointly Adjustment

byWANG Yongdi

Helmert algorithm has been extensively utilized to estimate the variance components from which the weight of the observations could be identified in a surveying adjustment system. However, the non-convergence of Helmert algorithm has been found in some reality applications. Therefore, we suggested to using entropy theory and variation coefficient to estimate the weight coefficients for different types of observations, the same type of observations with different or same observation accuracy. Numerical experiments made in this study verified that the proposed approach outperforms the Helmert algorithm to provide improved adjustment results.

Helmert variance component, surveying adjustment,information entropy, the coefficient of variation

P207

B

1672-4623（2013）02-0140-03

10.11709/j.issn.1672-4623.2013.02.046

2012-07-17。

項目來源：江蘇省高校自然科學研究資助項目(1KJB420002)；南京信息工程大學科研基金資助項目(S8110063001)。

王永弟，講師，從事工程測量、GPS測量與數(shù)據(jù)處理的教學與研究工作。