趙小興，姜 偉，李 巍

（華中科技大學(xué)數(shù)字制造裝備與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430074）

0 引言

壓電陶瓷作動(dòng)器是高精度定位中的關(guān)鍵部件，如掃描探針顯微鏡、掃描隧道顯微鏡、光學(xué)校準(zhǔn)儀、金剛石車削機(jī)床和硬盤驅(qū)動(dòng)器等［1］。它能滿足納米級(jí)定位精度，具有體積小、剛度高、響應(yīng)快等優(yōu)點(diǎn)。然而，它的響應(yīng)位移與驅(qū)動(dòng)電壓之間存在著非對(duì)稱遲滯特性，同時(shí)自身的蠕變和環(huán)境溫度的變化也會(huì)造成其定位精度的漂移。

壓電陶瓷作動(dòng)器的非對(duì)稱遲滯特性對(duì)其控制精度的影響十分顯著。為減小或消除該不利影響，目前主要有兩種解決途徑：①電荷控制［2］，它需要特別設(shè)計(jì)的電荷驅(qū)動(dòng)放大器，但該放大器價(jià)格昂貴，且存在漂移和過飽和等問題，因此極大地限制了其應(yīng)用范圍；②電壓控制，需要建立非線性遲滯的數(shù)學(xué)模型，并通過逆模型前饋補(bǔ)償來提高控制精度。電壓控制逐漸成為壓電陶瓷作動(dòng)器精密控制的首選方案，其關(guān)鍵是非線性遲滯的精確建模。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者分別提出了多種遲滯模型，如Preisach 模型［3-4］、Prandtl-Ishlin?skii模型［5-6］、Maxwell模型［7］、極坐標(biāo)模型［8］、Bouc-Wen模型［9-10］等。Preisach模型通過對(duì)遲滯因子的雙重積分來逼近遲滯特性，由于模型中含有二次積分項(xiàng)，導(dǎo)致計(jì)算效率低，難以應(yīng)用于實(shí)時(shí)系統(tǒng)。Prandtl-Ishlinskii模型是對(duì)Preisach 模型的改進(jìn)，它由多個(gè)PI 算子加權(quán)疊加組成，建模的計(jì)算量較大且容易產(chǎn)生毛刺。Maxwell模型采用輸出力和滑塊位移模擬壓電陶瓷的驅(qū)動(dòng)電壓和響應(yīng)位移，須增加彈簧滑塊的數(shù)目以提高模型精度，由此導(dǎo)致求解過程復(fù)雜、計(jì)算量大。極坐標(biāo)模型采用橢圓曲線的極坐標(biāo)方法，在獲得主遲滯環(huán)模型前提下，再根據(jù)一定的遞推公式，得到次遲滯環(huán)模型。

Bouc-Wen模型（簡(jiǎn)稱B-W模型）是利用一個(gè)具有不確定參數(shù)的非線性微分方程來描述遲滯特性，通過選擇合適的參數(shù)，可以得到各種形狀的遲滯環(huán)。由于它只需要用一個(gè)輔助的非線性微分方程來描述遲滯行為，因而該方法計(jì)算效率高，實(shí)時(shí)性好，且逆模型求解十分方便。但是傳統(tǒng)B-W 模型是一個(gè)關(guān)于中心點(diǎn)嚴(yán)格對(duì)稱的模型，對(duì)于非對(duì)稱遲滯特性的擬合精度有限。

本研究基于傳統(tǒng)B-W模型，提出一種改進(jìn)的B-W模型來表征壓電陶瓷作動(dòng)器的非對(duì)稱遲滯特性，針對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器的非對(duì)稱遲滯特性，分別基于傳統(tǒng)B-W模型和本研究所提的改進(jìn)B-W模型，對(duì)比研究前饋補(bǔ)償、前饋加PI反饋補(bǔ)償兩種控制方法的效果。

1 改進(jìn)B-W 模型

1.1 傳統(tǒng)B-W模型

傳統(tǒng)B-W模型是由Bouc提出并由Wen改進(jìn)的一種微分方程，它用于描述壓電陶瓷作動(dòng)器遲滯非線性的微分方程為：

式中：x(t)—壓電陶瓷輸出位移；u(t)—壓電陶瓷輸入電壓；h(t)—遲滯變量；ψ(,h)—形狀控制函數(shù)；dp—壓電系數(shù)；α,β,γ—形狀控制參數(shù)。

由于模型參數(shù)的限制，傳統(tǒng)B-W模型的形狀控制函數(shù)只有兩個(gè)自由度(γ-β,γ+β)，它是關(guān)于中心點(diǎn)嚴(yán)格對(duì)稱的，ψ(,h)特性圖如圖1所示。如果直接用它描述非對(duì)稱遲滯現(xiàn)象，很難達(dá)到較高的擬合精度。

1.2 改進(jìn)B-W模型

實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果表明，壓電陶瓷作動(dòng)器的輸出位移與輸入電壓之間存在著較強(qiáng)的非對(duì)稱遲滯特性。因此，采用傳統(tǒng)B-W模型很難達(dá)到較高的擬合精度。為了提高模型精度，研究者必須對(duì)傳統(tǒng)B-W模型進(jìn)行改進(jìn)，使其能夠模擬非對(duì)稱性遲滯特性。由前文分析得知，傳統(tǒng)B-W 模型的形狀控制函數(shù)只有兩個(gè)自由度，其中只有β的符號(hào)在不同象限內(nèi)發(fā)生變化，而γ的大小不會(huì)影響形狀控制函數(shù)自由度的數(shù)目。因此，為了增加自由度，本研究假設(shè)γ=0，并將βsgn(h)變換成βsgn(h)+?sgn()+φsgn(h)，具體微分方程為：

式中：α,β,?,φ—形狀控制參數(shù)；x(t),u(t),h(t),ψ(,h),dp—含義與式（1）相同。

改進(jìn)后的形狀控制函數(shù)有4個(gè)自由度( -β-?+φ,β+?+φ, -β+?-φ,β-?-φ)，它既可以模擬對(duì)稱遲滯，也可以模擬非對(duì)稱遲滯，如圖1所示。因此，與傳統(tǒng)B-W 模型相比，用改進(jìn)B-W 模型來描述非對(duì)稱遲滯特性能夠達(dá)到更高的精度。

圖1 ψ(,h)特性圖

2 模型參數(shù)辨識(shí)

2.1 基于粒子群算法的模型離散化

由式（2）可知，改進(jìn)B-W 模型是由5 個(gè)參數(shù)決定的，它們分別是：dp、α、β、?、φ，這5個(gè)參數(shù)為本研究需要辨識(shí)的參數(shù)。目前，辨識(shí)模型參數(shù)的方法有很多，如最小二乘法、卡爾曼濾波法、差分進(jìn)化法、遺傳算法、粒子群算法等。文獻(xiàn)［11］指出，與遺傳算法相比，粒子群算法容易實(shí)現(xiàn)且調(diào)節(jié)參數(shù)少，此外它對(duì)計(jì)算機(jī)的內(nèi)存和CPU的速度要求較低，故本研究選用粒子群算法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。

為了提高粒子群優(yōu)化算法的計(jì)算效率，避免反復(fù)求解微分方程，將式（2）所示的改進(jìn)B-W 模型離散化如下：

本研究采用Shi 與Eberhart 提出的一種帶慣性權(quán)重的粒子群算法，其進(jìn)化方程為：

式中：N—種群規(guī)模；D—粒子維數(shù)；i=1,2…N,j=1,2…D；其他參數(shù)的含義詳見文獻(xiàn)［12］。

本研究選用模型仿真位移xBW與實(shí)測(cè)位移xr的均方根誤差eRMS作為適應(yīng)度函數(shù)，具體形式如下：

式中：n—采樣點(diǎn)數(shù)。

2.2 模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

在辨識(shí)模型參數(shù)前，首先需要通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到一組壓電陶瓷作動(dòng)器的電壓—位移曲線，再利用該曲線進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。本研究首先由NI-PXI 測(cè)試平臺(tái)產(chǎn)生一個(gè)正弦信號(hào)u(t)=5+5sin(0.2πt-π/2)，經(jīng)過驅(qū)動(dòng)電源放大處理（放大倍數(shù)為15倍），輸出給壓電陶瓷作動(dòng)器（PST 150），壓電陶瓷作動(dòng)器產(chǎn)生伸縮變形，并由激光位移傳感器（LK30，分辨率為10 nm）獲取該伸縮信號(hào)，同時(shí)由NI-PXI 測(cè)試平臺(tái)將信號(hào)采集（采樣頻率為100 Hz）并保存下來。本研究對(duì)采集到的信號(hào)，進(jìn)行粒子群優(yōu)化算法辨識(shí)，即可得到改進(jìn)B-W模型5個(gè)參數(shù)的最優(yōu)解：dp=0.1126μm/V ,α=0.0473μm/V ,β=0.0998V-1,?=-0.0977V-1,φ=-0.0028V-1(其中,eRMS=0.121 7)。利用同樣的數(shù)據(jù)和粒子群優(yōu)化算法，即可得到傳統(tǒng)B-W 模型4 個(gè)參數(shù)的最優(yōu)解：dp=0.0709μm/V ,α=0.0226μm/V ,β=0.0420V-1,γ=-0.0172V-1(其中,eRMS=0.3173)。

實(shí)測(cè)遲滯曲線、傳統(tǒng)B-W 模型遲滯曲線和改進(jìn)B-W模型遲滯曲線的對(duì)比如圖2所示。為了比較上述兩種模型的擬合精度，本研究選用了實(shí)測(cè)位移相對(duì)于仿真位移的下述3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)：均方根誤差eRMS、平均絕對(duì)誤差|e|mean、最大絕對(duì)誤差|e|max。實(shí)測(cè)位移相對(duì)于上述兩種模型的仿真位移的誤差對(duì)比情況如表1所示。

圖2 遲滯曲線的擬合

表1 仿真擬合誤差比較

觀察圖2 和表1 可知，改進(jìn)B-W 模型的擬合誤差要明顯小于傳統(tǒng)B-W模型，原因在于傳統(tǒng)B-W模型是關(guān)于中心點(diǎn)嚴(yán)格對(duì)稱的，它只能用來模擬對(duì)稱遲滯特性，然而改進(jìn)B-W 模型卻能夠模擬非對(duì)稱遲滯特性，更適用于模擬壓電陶瓷作動(dòng)器的非對(duì)稱遲滯特性。

3 非對(duì)稱遲滯的補(bǔ)償控制

3.1 前饋補(bǔ)償控制

本研究對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器的遲滯補(bǔ)償是基于逆模型的前饋控制，即在實(shí)際壓電系統(tǒng)中串入遲滯特性的逆模型作為補(bǔ)償器，實(shí)現(xiàn)對(duì)遲滯非線性的補(bǔ)償。

基于逆模型的前饋遲滯補(bǔ)償原理如圖4中的虛線框所示。設(shè)定期望軌跡xd(t)=4.5+4.5 sin(0.2πt-π/2)，經(jīng)過遲滯補(bǔ)償器計(jì)算出壓電陶瓷作動(dòng)器的控制電壓u(t)=[xd(t)+H(t)]/dp，控制電壓u(t)激勵(lì)壓電陶瓷作動(dòng)器產(chǎn)生伸縮變形，采集實(shí)際輸出軌跡xr(t)，用于評(píng)價(jià)其與期望軌跡xd(t)的誤差e(t)=xr(t)-xd(t)。

本研究分別采用傳統(tǒng)B-W模型和改進(jìn)B-W模型進(jìn)行前饋補(bǔ)償控制實(shí)驗(yàn)，以便對(duì)比改進(jìn)B-W模型對(duì)于前饋補(bǔ)償控制的改善效果。期望運(yùn)動(dòng)軌跡和采用上述兩種模型進(jìn)行前饋補(bǔ)償控制的實(shí)際輸出運(yùn)動(dòng)軌跡及其軌跡跟蹤誤差如圖3所示。其中，跟蹤誤差的均方根值eRMS、平均絕對(duì)值|e|mean、最大絕對(duì)值|e|max的對(duì)比如表2所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：與采用傳統(tǒng)B-W模型進(jìn)行前饋補(bǔ)償控制相比，采用改進(jìn)B-W模型可使誤差降低約42%。

3.2 前饋+PI反饋補(bǔ)償控制

在上一節(jié)中，經(jīng)過逆模型前饋補(bǔ)償，遲滯現(xiàn)象雖然得到了明顯抑制，但是對(duì)于高精密位移控制，其控制精度仍然不足。為了進(jìn)一步提高控制精度，本研究在前饋補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)上，引入比例—積分（PI）反饋控制，其控制原理如圖4所示。

圖3 前饋補(bǔ)償控制的運(yùn)動(dòng)軌跡與誤差

表2 前饋補(bǔ)償控制誤差比較

圖4 前饋補(bǔ)償結(jié)合PI反饋控制原理

首先，在實(shí)驗(yàn)前用傳統(tǒng)B-W 模型作前饋補(bǔ)償，用改進(jìn)B-W 模型代替圖4 中的壓電陶瓷作動(dòng)器進(jìn)行仿真，仿真中不斷調(diào)節(jié)參數(shù)Kp、Ti的大小，觀察誤差e(t)的變化，確定Kp和Ti的調(diào)節(jié)范圍。其次，在實(shí)驗(yàn)過程中，參考仿真時(shí)確定的參數(shù)調(diào)節(jié)范圍，可以很快得到較為理想的Kp和Ti值，從而達(dá)到較高的控制精度。

本研究采用上述兩種模型進(jìn)行前饋補(bǔ)償加PI反饋控制的軌跡跟蹤誤差的對(duì)比如圖5所示，其誤差的均方根值eRMS、平均絕對(duì)值|e|m ean、最大絕對(duì)值|e|max的對(duì)比如表3所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：①與單純采用前饋控制相比，采用前饋加PI反饋控制可將控制精度提高大約一個(gè)量級(jí)；②與采用傳統(tǒng)B-W模型進(jìn)行前饋加PI反饋補(bǔ)償控制相比，采用改進(jìn)B-W模型可使誤差降低約20%。

4 結(jié)束語

圖5 前饋補(bǔ)償結(jié)合PI反饋控制的軌跡誤差

表3 前饋+PI反饋補(bǔ)償控制誤差比較

針對(duì)傳統(tǒng)B-W 模型不能準(zhǔn)確描述壓電陶瓷作動(dòng)器遲滯的非對(duì)稱性問題，本研究提出了一種改進(jìn)的B-W 模型，并采用粒子群優(yōu)化算法辨識(shí)出了模型參數(shù)。在相同的電壓輸入條件下，仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較顯示，改進(jìn)B-W 模型的位移輸出誤差小于傳統(tǒng)B-W模型，表明改進(jìn)B-W模型對(duì)于壓電陶瓷作動(dòng)器非對(duì)稱遲滯特性的描述精度更高；在相同的期望軌跡輸入條件下，分別采用傳統(tǒng)B-W 模型和改進(jìn)的B-W 模型進(jìn)行前饋補(bǔ)償控制實(shí)驗(yàn)，以及前饋加PI反饋補(bǔ)償控制實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在相同的控制方式下，采用改進(jìn)B-W模型可得到更高的軌跡跟蹤精度，并且采用基于改進(jìn)B-W模型的前饋加PI反饋控制效果更好。

（References）：

［1］LEANG K K，DEVASIA S.Design of hysteresis- compen?sating iterative learning control for piezo-poitioners：applica?tion to atomic force microscopes［J］.Mechatronics，2006，16（3-4）：141-158.

［2］SALAH M H，MCLNTYRE M L，DAWSON D M，et al.Charge feedback-based robust position tracking control for piezoelectric actuators［J］.IET Control Theory Applica?tion，2012，6（5）：615-628.

［3］WOLF F，SUTOR A，RUPITSCH S J，et al.A generalized Preisach approach for piezoceramic materials incorporating uniaxial compressive stress［J］.Sensors and Actuators A：Physical，2011，18（4）：1-7.

［4］黨選舉，譚永紅.在Preisach 模型框架下的似對(duì)角動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)壓電陶瓷遲滯模型的研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2005，41（4）：7-12.

［5］JANAIDEH M A，RAKHEJA S，SU C Y.A generalized Prandtl-Ishlinskii model for characterizing the hysteresis and saturation nonlinearities of smart actuators［J］.Smart Materials and Structures，2009，18（4）：1-9.

［6］JIANG Hao，JI Hong-li，QIU Jin-hao，et al.A modified prandtl-ishlinskii model for modeling asymmetric hystere?sis of piezoelectric actuators［J］.IEEE Transactions on Ultrasonics，F(xiàn)erroelectrics and Frequency Control，2010，57（5）：1200-1210.

［7］JUHASZ L，MAAS J，BOROVAC B.Parameter identifica?tion and hysteresis compensation of embedded piezoelectric stack actuators［J］.Mechatronics，2011，21（1）：329-338.

［8］王?；?，郭書祥，葉秀芬，等.壓電陶瓷遲滯特性的建模及復(fù)合控制［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2009，13（5）：766-771.

［9］RAKOTONDRABE M.Bouc-Wen modeling and inverse multiplicative structure to compensate hysteresis nonlineari?ty in piezoelectric［J］.Automation Science and Engineer?ing，2011，4（2）：428-431.

［10］王代華，朱 煒.WTYD型壓電陶瓷微位移器的遲滯特性建模與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證［J］.光學(xué)精密工程，2010，18（1）：205-211.

［11］MONTAZERI A，POSHTAN J，YOUSEFI-KOMA A.The use of 'particle swarm' to optimize the control system in a PZT laminated plate［J］.Smart Materials and Struc?tures，2008，17（4）：1-7.

［12］VALLE Y D，VENAYAGAMOORTHY G K，MOHA?GHEGHI S，et al.Particle swarm optimization：basic con?cepts，variants and applications in power systems［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2008，12（2）：171-195.