徐 琳，任建婭，牛紅玲，岳英強(qiáng)

（河北民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，河北承德 067000）

導(dǎo)數(shù)IM分擔(dān)一個(gè)值的整函數(shù)

徐 琳，任建婭，牛紅玲，岳英強(qiáng)

（河北民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，河北承德 067000）

筆者研究整函數(shù)及其n階導(dǎo)數(shù)的分擔(dān)值問(wèn)題，改進(jìn)了儀洪勛，楊重駿等人的定理，得到了以下結(jié)論：設(shè)f、g是復(fù)平面上非常數(shù)整函數(shù)，f′與g′分擔(dān)1IM，0為f、g的公共Borel例外值，則f≡g或f′·g′≡1。并將結(jié)論推廣到f（n）與g（n）分擔(dān)1IM（n為正整數(shù)）的情況：設(shè)f、g是復(fù)平面上非常數(shù)整函數(shù)，f（n）與g（n）分擔(dān)1IM，0為f、g的公共Borel例外值，則f≡g或f（n）·g（n）≡1。

整函數(shù)；Borel例外值；IM分擔(dān)值

0 引 言

1976年，楊重駿［4］提出如下問(wèn)題：設(shè)f與g為開(kāi)平面上2個(gè)非常數(shù)整函數(shù)，以0為CM公共值（分擔(dān)值），f′與g′以1為CM公共值。問(wèn)f與g之間有何種關(guān)系。

1989年，儀洪勛［5］回答了楊重駿提出的上述問(wèn)題，證明了下面定理。

更一般的，儀洪勛證明了下面定理。

一直以來(lái)，許多唯一性的研究者對(duì)這一問(wèn)題做了進(jìn)一步的探討［8－10］，研究了條件減弱的情況下，對(duì)于整函數(shù)以及亞純函數(shù)［12－15］，是否保持結(jié)論成立。其中以儀洪勛和楊重駿所得定理較為簡(jiǎn)潔。

定理3［6］設(shè)f與g為2個(gè)非常數(shù)整函數(shù)，滿足f′與g′以1為CM公共值，如果δ（0，f）＋δ（0，g）＞1，則f≡g或者f′·g′≡1。

接著自然想到：保持定理3的結(jié)論，分擔(dān)1CM的條件是否可以減弱。于是得到下面定理。

定理4設(shè)f、g是復(fù)平面上非常數(shù)整函數(shù)，f′與g′分擔(dān)1IM，0為f、g的公共Borel例外值，則f≡g或f′·g′≡1。

類似的，可以證明定理5。

定理5設(shè)f、g是復(fù)平面上非常數(shù)整函數(shù)，f（n）與g（n）分擔(dān)1IM，0為f、g的公共Borel例外值，則f≡g或f（n）·g（n）≡1。

1 引 理

2 定理4的證明

類似的，可以證明定理5。

定理5設(shè)f、g是復(fù)平面上非常數(shù)整函數(shù)，f（n）與g（n）分擔(dān)1IM，0為f、g的公共Borel例外值，則f≡g或f（n）·g（n）≡1。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文所得出的關(guān)于導(dǎo)數(shù)IM分擔(dān)一個(gè)值的整函數(shù)的兩個(gè)定理改進(jìn)了儀洪勛、楊重駿兩位教授的定理，部分的解決了楊重駿先生提出的“設(shè)f與g為開(kāi)平面上2個(gè)非常數(shù)整函數(shù)，以0為CM公共值（分擔(dān)值），f′與g′以1為CM公共值，問(wèn)f與g之間有何種關(guān)系？”問(wèn)題，使得該問(wèn)題的研究有所進(jìn)展。

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［4］YANG Chungchun.On two entire functions which together with their first derivatives have the same zeros［J］.J Math Anal Appl，1976，56（2）：1-6.

［5］YI Hongxun.A question of C.C.Yang on the uniqueness of entire functions［J］.Kodai Math J，1990，13（1）：39-46.

［6］儀洪勛，楊重駿.導(dǎo)數(shù)具有相同1－值點(diǎn)的亞純函數(shù)的唯一性定理［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1991，34（5）：675-680.

［7］楊重駿，儀洪勛.具有虧值的亞純函數(shù)的唯一性定理［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1994，37（1）：62-72.

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［10］LIN Xiuqing，LIN Weichuan.Uniqueness of entire functions sharing one value［J］.Acta Math Sci，2011，31B（3）：1062-1076.

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［15］ZHANG Qingcai.Meromorphic functions that shares one small function with its derivative［J］.J Inequal Pure Appl Math，2005，6（4）：116-127.

Entirefunctions which derivative sharing one value

XU Lin，REN Jianya，NIU Hongling，YUE Yingqiang

（Department of Mathematics and Computer Science，Hebei Teachers College for Nationalities，Chengde 067000，China）

In this paper，we study the sharing value problems for entire functions and theirn-th derivatives.We improved some theorems of YI Hongxun and YANG Chengjun and obtain the following result：Letfandgbe two nonconstant entire functions in the complex plane.Iff′andg′share 1IM，and 0be Borel exceptional value offandg，then eitherf′·g′≡1orf≡g.This paper generalizes the conclusion tof（n）andg（n）share 1IM，wheren（＞0）is an integer：Letfandgbe two non-constant entire functions in the complex plane.Iff（n）andg（n）share 1IM，0be Borel exceptional value offandg，then eitherf≡gorf（n）·g（n）≡1.

entire functions；Borel exceptional value；sharing valueIM

O174.5

A

10.3969／j.issn.1673-5862.2013.02.027

1673-5862（2013）02-0252-05

2012-02-06。

河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（A2011205012）。

徐 琳（1966-），女，江蘇徐州人，河北民族師范學(xué)院副教授。