李 晗

（吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000）

壓縮映射的構(gòu)造及Banach不動點定理的應(yīng)用

李 晗

（吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000）

Banach不動點定理是泛函分析中最常用、最簡單的存在性定理之一，也是數(shù)學(xué)分析中許多定理結(jié)果的特殊情形。因其應(yīng)用廣泛，倍受學(xué)者們青睞，關(guān)于該定理的應(yīng)用性文章也層出不窮。然而，應(yīng)用Banach不動點定理的關(guān)鍵是合理的定義壓縮映射?；诖?，筆者給出了3種不同條件下構(gòu)造壓縮映射的方法：即利用區(qū)間長度的比例構(gòu)造壓縮映射、利用線性方程組形的定義形式構(gòu)造壓縮映射和利用Lipschitz條件構(gòu)造壓縮映射，并對所構(gòu)造的壓縮映射進行了證明。同時，針對每種情況，舉例說明了該種構(gòu)造方法在應(yīng)用Banach不動點定理解決問題中的作用。

Banach不動點定理；壓縮映射；應(yīng)用

對于Banach定理，多見于舉例討論其應(yīng)用性［1－9］，其關(guān)鍵所在——合理構(gòu)造壓縮映射，討論尚不充分。本文將通過具體問題，給出構(gòu)造壓縮映射的方法，并進一步舉例說明Banach定理的應(yīng)用性。

1 利用區(qū)間長度的比例構(gòu)造壓縮映射

定理1設(shè)［a，b］，［c，d］為實軸上2個非零區(qū)間，且滿足［a，b］?［c，d］，則映射

為壓縮映射。

證明 顯然T為R1上區(qū)間［c，d］到自身上的映射。又因為［a，b］?［c，d］，所以于是，在R1中所定義的距離的意義下，T為壓縮映射。

下面用此種構(gòu)造壓縮映射的方法證明Weierstrass聚點定理［10］。

證明 1）（選取區(qū)間）因為S有界，所以?M＞0，使得

將區(qū)間［a1，b1］兩等分，因為S是無限點集，則其中至少有一個區(qū)間包含S中無窮多個點，若區(qū)間［a1，（a1＋b1）／2］含有S中無窮多個點，則記a2＝a1，b2＝（a1＋b1）／2，否則記a2＝（a1＋b1）／2，b2＝b1，則區(qū)間［a2，b2］也含有S中無窮多個點。

如此進行下去，則得到區(qū)間序列｛［an，bn］｝，n＝1，2…，滿足：

①每個［an，bn］都包含S中無窮多個點；

3）（證明x0是聚點）事實上，由［an，bn］的選取可知而［an，bn］包含S中無窮多個點，即U（x0，ε）中包含S中無窮多個點。所以x0為S的一個聚點。證畢。

2 利用線性方程組形的定義形式構(gòu)造壓縮映射

3 利用Lipschitz條件構(gòu)造壓縮映射

在有些求解微分方程的問題中，可先將其轉(zhuǎn)化成等價的積分方程，再利用特定的條件，如Lipschitz條件［11］，構(gòu)造壓縮映射進而求解。

例2對于微分方程

由題設(shè)β＜1／k，所以α＝kβ＜1，T是B上的壓縮映射，故T存在唯一不動點x∈B，此x是積分方程（5）的唯一解，也是微分方程（4）的唯一解。

4 結(jié) 語

應(yīng)用Banach不動點定理的關(guān)鍵是選擇度量空間并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造適當?shù)膲嚎s映射。本文給出了3種構(gòu)造方法，希望這些方法能為利用Banach不動點定理解決其它問題提供一種思路。

［1］夏道行，吳卓人，嚴紹宗，等。實變函數(shù)論與泛函分析［M］.2版.北京：高等教育出版社，2010：68-71.

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［3］李娟.利用壓縮映像原理處理有關(guān)數(shù)列收斂性［J］.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，25（5）：29-31.

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［9］王美娜.巴拿赫（Banach）不動點定理的應(yīng)用［J］.吉林省教育學(xué)院學(xué)報，2010，26（1）：153-154.

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Construction of compression mapping and application of Banach fixed point theorem

Li Han
（Department of Mathematics，Jilin Normal University，Siping 136000，China）

Banach fixed point theorem is one of the most common and simple existence theorems in functional analysis，is also the special case of many theorems of mathematical analysis.Because of its wide range of applications，a number of scholars favor it.Articles about the application of which are endless.However，the key of using Banach fixed point theorem is a reasonable definition compression mapping.Based on this，the paper gives three tectonic compression mapping methods under different conditions：that is，using the ratio of the interval length，using the linear equations definition form and the Lipschitz condition，and then，proves them to be compression mappings.In the same time，in each case，an example was given to show that how to use the method to solve problems.

Banach fixed point theorem；contraction mapping；application

O177

A

10.3969／j.issn.1673-5862.2013.02.026

1673-5862（2013）02-0249-03

2012-08-20。

國家自然科學(xué)基金資助項目（60542002）。

李 晗（1988-），女，內(nèi)蒙古通遼人，吉林師范大學(xué)碩士研究生。